直线的倾斜角和斜率教学设计.docx

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直线的倾斜角和斜率教学设计

《直线的倾斜角和斜率》教学设计

教师

教龄

学校

学科

数学

课题

直线的倾斜角和斜率

教

材

分

析

本课是北师大版数学必修二第二章第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。

“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

学

情

分

析

授课班级中，大部分学生有一定的学习能力，数学基础较好，部分学生喜欢学数学。

虽然学生能用数学语言表达自己的观点，但是这种表述大多时候仅仅停留在感性层面，不严谨，不完整，学生还没有独立抽象、概括出一个新概念的能力。

在此之前，学生已经接触过直线：

平面内，两点确定一条直线；一次函数的图象是不与x轴，y轴平行或重合的直线。

同时他们也接触过坡度的概念。

这些就为倾斜角和斜率概念的得出打下了基础。

教

学

目

标

1.知识与技能：

正确理解直线的倾斜角和斜率概念，并能应用过两点的直线的斜率公式解决简单问题。

2.过程与方法：

通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力。

3.态度情感与价值观：

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度。

教

学

重

点

1、抽象概括直线的倾斜角和斜率概念

2、探究发现过两点的直线的斜率公式

教

学

难

点

倾斜角概念形成

斜率概念的理解。

教学

手段

多媒体课件

教学方法

师生互动、引导学生主动发现探索

教学过程

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

1、在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。

这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。

用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。

2、问题：

直线上点的坐标与方程的解之间有什么关系？

问题:

如何用代数的方法表示平面中简单图形——直

线？

生：

相互讨论完成引例.

师：

引导学生分析归纳概括得出结论．

师生：

共同总结出直线方程的概念。

通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。

同时使学生明确本课学习的内容。

新

知探

究︵

一

︶

直线的倾斜角

新知探究

（一）直线的倾斜角

问题1、：

如图1，对于平面直角坐标系一次函数y=kx+b的图象是什么？

其中k，b的几何意义如何？

你认为它的位置由哪些条件确定？

问题2、：

如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线的区别在哪里？

指定学生回答，教师给与补充、纠正

师生：

引导学生发现：

两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

1、明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。

2、引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。

从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

概

念

形

成

问题3：

在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

概念形成：

倾斜角的定义

倾斜角的范围是什么？

特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，那么直线的倾斜角的取值范围是

思考:

任何一条直线都有倾斜角吗？

不同的直线其倾斜角一定不相同吗？

生：

观察图形，相互讨论，但是在倾斜角定义得出时会有困难。

师：

给学生鼓励、引导，师生共同得出倾斜角概念。

从实例入手，引出用倾斜角的正切值表示斜率。

1、探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

2、让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。

新

知

探

究

︵

二

︶

直

线

的

斜

率

新

知

探

究

︵

三

︶

直

线

的

斜

率

新知探究

（二）直线的斜率

问题1:

函数y=x,y=3x的图象是直线，这两条直线的倾斜角分别是多少？

问题2：

上述两条直线的倾斜角分别与x的系数有什么关系？

问题3:

初中学过的“坡度（比）”是什么含义？

它能否表示直线的倾斜程度？

它与这条直线的倾斜角之间有什么关系？

从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用来刻画直线的倾斜程度

概念形成：

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即k=tanα

思考：

那么任何一条直线都有斜率吗？

思考:

倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？

一般地，直线的斜率的取值范围是什么？

思考:

斜率相等的直线其倾斜角相等吗？

斜率大的直线其倾斜角也大吗？

师:

引导学生在生活中举例，山坡，楼梯等，教师楼梯的教学情景。

生：

探索、交流。

用数学语言表达自己的发现。

1、基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

2、探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念

思考：

任何一条直线都有倾斜角吗？

不同的直线其倾斜角一定不相同吗？

是否每条直线都有斜率？

倾斜角不同，斜率是否相同？

（倾斜角与斜率一一对应吗？

）

学生自己完成然后教师组织间互相交流，共同得出结论。

教师指定学生强调易犯错误

明确可以用斜率表示直线的倾斜程度，但并非所有的直线都有斜率

新知探究（三）直线的斜率公式

问题：

两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？

指定学生回答，如果有错误，教师组织学生纠正。

让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。

思考：

当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?

师生：

总结两点式斜率计算公式：

k=

（x1≠x2）。

通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=

（x1≠x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关。

知

识

应

用

课堂练习

【例1】判断下列命题的真假：

1.任何一条直线都有倾斜角，所以任何一条直线都有斜率；

2.直线的倾斜角与直线的斜率一一对应；

3.直线的倾斜角为

，则

；

4.直线的倾斜角越大，则直线的斜率也越大；

5.直线斜率的范围是

学生回答

帮助学生巩固基本概念，发现易错点。

【例2】已知A（3，2）,B（-4，1）,C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是

钝角？

【例3】在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。

师：

要求学生画图，体验数形结合的思想方法。

1、根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。

2、给学生创造一个动手探究、学以致用的机会，要求学生画图，体验数形结合的思想方法。

【练习】

1、已知直线的倾斜角，口答直线的斜率：

（1）«SkipRecordIf...»＝0°；

（2）«SkipRecordIf...»＝60°；（3）«SkipRecordIf...»＝90°；（４）150°

2、直线«SkipRecordIf...»经过原点和点（－1,－1）,则它的倾斜角是

3、过点P（－2,m）和Q（m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）

或3或4

4、已知A（2，3）、B（－1，4），则直线AB的斜率是.

5、.已知M（a,b）、N（a,c）（b≠c）,则直线MN的倾斜角是.

6、已知直线的倾斜角为α，若sinα=

，求此直线的斜率。

教师根据课堂实际时间，确定练习与否

对斜率进一步巩固。

课

堂

小

结

提问：

（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？

他们之间有什么关系？

（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）、

也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？

学生思考，回答让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：

倾斜角（形）和斜率（数）。

总结本课所学知识，培养学生归纳知识能力及反思的习惯。

作

业

习题组：

1、2、3、4

学生独立完成

通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。

板

书

设

计

课题

一、直线的倾斜角

二、直线的斜率

三、斜率公式

练习

小结

作业

《直线的倾斜角和斜率》教学设计说明

一、授课内容的数学本质和教学目标定位

1、授课内容的数学本质

本节课是北师大版数学必修二第二章第一节直线的倾斜角和斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可

以用直线上两个点的坐标表示。

建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：

把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。

倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。

2、教学的目标定位

在此之前，学生已经对直线有了直观的认识，如：

两点确定一条直线，它具有平直性，并向两方无限延伸等。

但是这只是定性的研究，用这种方法，并不能具体刻画或描述一条直线。

在初中阶段，学生也认识了一次函数的图象是一条直线，但研究途径是先有数量关系（一次函数表达式），后建立其直观表示：

直线。

在解析几何中，我们是先有图形（或曲线）然

后根据图形（或曲线）的几何特征确定图形（或曲线）的代数表达式——方程。

因此，本节课的主要目的就是让学生在已有知识的基础上，将直线放入平面直角系，利用代数方法对它进行研究，从中体会解析几何的一些重要的数学思想。

从知识目标上，使学生正确理解直线的倾斜角和斜率概念；从能力上，让学生在理解概念的基础上，能应用相应概念和公式解决一些简单问题；从情感上，通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，经历几何问题代数化的过程，帮助学生进一步体会数形结合思想。

二、教学内容的基础、地位和作用

本课是解析几何第一课时，本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现，因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想等。

倾斜角和斜率都是反映了直线相对于x轴正方向的倾斜程度。

倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值，通过过两点的直线的斜率公式，把斜率坐标化，所以，在研究直线时，使用斜率常常比使用倾斜角更方便。

建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：

把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

因此，正确理解斜率概念，熟练掌握过两点的直线的斜率公式是学好这一章的关键。

“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

三、教学诊断分析

1、学习本内容时学生容易了解的地方

由于在之前学生已经在初三就经历了建立平面直角坐标系来描述一个点的位置的过程，也学习了一次函数，因此学生对直线以及用坐标表示直角坐标系中最基本的元素——点的过程并不陌生，从而为本节课将直线放在平面直角坐标系中研究打下基础。

2、学习本内容时学生不易理解的地方

平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，从而用解析几何的思想来研究一条直线，是比较困难的。

因此，直角坐标系下刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识也成为学生学习中的一个难点。

四、教法特点以及预期效果分析

1、教法特点

教学的指导思想是：

鼓励学生在教师指导下有目的、有方向地进行思考、探索、交流，让学生亲身经历概念的产生、发展、形成的过程，同时不断内化成为自己的认知结构。

整节课采用教师引导，学生为主体积极参与的方式展开教学，以系列层层递进的问题为纽带引导学生，让学生带着问题学习，尽可能围绕知识的发生、发展过程进行思考，从而理解本节课的新概念。

设置的例题由学生讨论完成，充分发挥学生的主体作用。

在讲解例题时，如何利用图象，使代数问题直观化，用坐标法研究几何问题是讲课的重点。

在整节课中，渗透数形结合的数学思想也是时刻要把握住的主线。

2、预期效果

通过本节课的学习，学生能很好地理解直线的倾斜角和斜率的概念，能较好地理解倾斜角和斜率是分别从几何与代数两个不同的角度来刻画直线的倾斜程度，从而理解解析几何中将几何问题转化代数问题进行研究的数学思想，并能在之后的学习中逐步利用这种思想来研究解析几何问题。

教学中紧紧把倾斜角与斜率概念的得出作为重点，强调学生在得到概念这一过程中的积极参与、主动探索。

通过设计一些具有思考价值的问题，引导学生的思考步步深入，最后概念在头脑中呼之欲出，从而让学生感受到得出概念这一过程是自然的，是清楚的，是水到渠成的。

之后通过一定的例题沟通数形关系，充分利用正切函数的图象，加深概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。

但根据正切函数的定义域，并非所有的直线都有斜率。

让学生逐步体会将几何问题代数化，用代数方法来研究几何问题的思想方法。