高中数学集合及其基本运算讲义教案.docx
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高中数学集合及其基本运算讲义教案
第1课集合及其基本运算
（1）
一、教学目标
了解集合的含义、体会元素与集合的“属于”关系；
能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；
了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
在具体悄境中，了解全集与空集的含义；理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集；
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
会用韦恩图（Venn）表示集合的关系及运算。
二、基础知识回顾与梳理
1、下面四个命题中正确的命题序号为
1）某班个子较高的同学构成集合A；
2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1）；
3）方程?
-2x+l=0的解集是{1,1}；4）0与{0}表示同一个集合.
【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解集合的概念，集合元素的三性（无序性、互异性和确定性）。
它是正确解决有关集合问题的关键之一，特别是集合的互异性，在解题中常常被忽视而出错。
2、判断下列表示是否正确：
（l）ac{a};
（2）{a}e{a,b}（3）{a,b}^{a,b}（4）0c{-1,1}
【教学建议】本题选自课本习题，主要是复习集合与集合，元素与集合之间的关系以及集合中的有关符号。
强调0是任意非空集合的子集，这在解题中不能忽视。
3、写出集合他耐的所有子集，其中真子集的为o
【教学建议】本题选自课本习题，主要是复习集合的子集和真子集的概念问题。
教学时追问：
1）集合的子集与真子集的联系与区别是什么？
2）集合UM—，…皿」的子集个数为多少？
真子集的个数呢？
非空真子集？
4、已知集合A=[_l,2）,对于下列全集U分别求CUA：
（1）U=R：
（2）U=（-s,3]；
（3）U=[-l,2）.
【教学建议】本题选自课本习题，主要是复习补集和全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;教学时可以设计如下问题：
在GA中，集合A与全集U之间有什么关系？
（强化概念）
三、诊断练习
1、教学处理：
课前山学生自主完成5道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评：
题1：
已知集合A={1,3,a）,3={1,/-。
+1},且BUA,则a=
【点评】提问：
如何理解子集的概念？
求得a后要注意什么？
（本题考察了集合中元素的互异性、子集的概念，要关注学生思维的严密性。
）
【练习】（反馈1）设集合A={-1丄3}.B={a+2,/+4},Af）B={3},则实数的值为。
【点评】对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性。
题2.已知集合A={aIx2<3x+4,xe/?
},则AQZ中元素的个数为.
【点评】问题1：
各个数集分别用什么字母表示？
【注意】求交集即寻找两个集合中的公共元素是什么。
题3.已知全集U二R,集合A={x|x+1>0},则CbA=.
【点评】问题：
补集定义？
如何计算Q/?
结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，提醒学生要注意区间端点的取舍。
【变式】已知全集U=R,集合M={a|-2N={x|x=2£—1,R=1,2,.・.}的关系的韦恩（Venn）图如图
所示，则阴影部分所示的集合的元素共有个.（答案：
2）
题4.已知集合M={（x,y）lx+y=2},N={（x,y）lx-y=4},
则MDN=.
【点评】问题1：
本题中儿何内的元素是什么？
问题2：
—个集合内的元素是点的坐标，这样的集合如何表示？
3、要点归纳
1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，如回顾4.
2.弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；
3.抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验，如诊断1；
4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化，如诊断4.
5.数形结合是解决集合问题的有效手段，以形助数，形象、直观、方便，如诊断
3、4.
四、范例导析
例1、
（1）已知集合A={—2,-1,3,4}"={_1,2,3},贝.
（2）已知集合4={l,2,3,4,5},B={（x,y）lxeeA},则中所含元素的
个数为.
【教学处理】可以考虑学生板演并讲解或有学生说思路，分析，教师引导并板书。
【引导分析与精讲建议】
1、求交集即寻找两个集合中的公共元素是什么。
2、如何理解集合B中的元素？
3、如何确定集合B中的元素有哪些？
［方法归纳］
（1）对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果.
（2）对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩（Venn）图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解.
【练习］全集/=/?
集合A={x|y=j2x_l},B={yy=lg（十一2x+2）},则
AUS）=
例2已知集合A={xl-2【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学惜;再结合板演情况进行点评。
也可在学生作差变形遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。
【引导分析与精讲建议】
问题1：
如何理解BUA?
问题2：
如何处理不等式型集合之间的关系？
（利用数轴，数形结合）。
问题3：
参数的端点你单独考虑了吗？
解题时注意验证区间端点是否符合题意
【变式】将例2中集合B改为B=（/h+1,2/h-1）,则实数的取值范围为？
【引导分析与精讲建议】
本题的难度在于集合B是否为空集的讨论
【练习】已知集合A=|x|.r2-2-3=o|,B=1=0},若BqA,则的值为
【点评】1.含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题;
2.集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键.例3：
若集合A二丘/?
眄+俶+]=0}中只有一个元素，求的值
【教学处理】指导学生圈出题中的关键词，独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程.
【引导分析与精讲建议】
可提出以下问题与学生交流：
分析题意，你认为本题的解题切入点在什么地方？
两个方面：
1、什么构成了集合A?
即集合A中的元素是什么？
2、只有一个元素说明什么？
3、这样一个“伪”二次方程处理要注意什么？
变式：
题日中的“中只有一个元素，求的值”改为“只有一个子集，求的取值范围”
集合只有一个元素和集合只有一个子集的区别在哪里?
五、解题反思
1•集合是一个相对的概念，儿个对象在一起就可以成为一个集合；
2.集合中元素的三个特性：
确定性、互异性、无序性，它是正确解决有关集合问
题的关键之一，特别是集合的互异性，在解题中常常用到；
3.弄清集合山哪些元素组成，这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化，也就是善于对集合的三种语言（文字、符号、图形）进行相互转化；
4.注意表示集合的列举法如心｛1,3,〃?
｝和描述法如M=｛x|x2-4<0｝在形式上的区别。
列举法一般适合于有限集，而描述法适合于无限集；
5.要关注数形结合、等价转化、分类讨论等基本数学思想的应用.
第2课集合及其基本运算
（2）
一、教学目标
熟练地掌握集合间的各种运算，能应用集合的思想研究简单的问题。
二、基础知识回顾与梳理
1、
（1）设U为全集，集合A为U的子集，则
AflA=AUA=,Af]0=,A（J0=,AUCliA=,Ap|CuA=
（2）Ap|B=A,AcB,AUB=B三者之间的互推关系如何？
【教学建议】本题改编自书本习题，复习了集合的运算性质。
教学时，可要求学生运用集合的运算定义说理，借助韦恩图加深理解。
通过辨析和说理，可复习有关概念，帮助学生理解一些常见的结论。
重要结论：
Ap|B=AoAuBoAUB=B,（AcB又需要分A=0和AH0讨论）。
2、求满足{1,3}uA={1,3,5}的集合A的个数是
【教学建议】本题选自书本习题。
一方面考虑集合中元素较少可以釆用穷举法，另一方面由于集合A中必含有元素3,即此题可转化为求集合{1,3}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有2?
=4个.
3、对于集合A,B,我们将集合{x\xeA^x^B}叫做集合A与B的差集，记作A-B。
（1）若A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},贝ijA-B=;B-A=;
（2）如果
A-B=,那么集合A与B之间具有怎样的关系？
【教学建议】本题改编自课本习题，在集合中定义新运算进行考查是近年来一个新的命题背景，要求学生学生读懂所约定的运算法则并熟练地求解是解决问题的关键，重在考查考生阅读迁移的能力，应予以足够重视。
（本题建议启发学生借助韦恩图求解）
4、已知集合P={y=x2+1）,Q={y\y=x2+\},£={x|y=x2+1）,
F={^y）\y=x2+\},则与G={x\x>\}为同一集合的是
【教学建议】观察事物要看本质，读懂集合语言，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，集合P的表示方法是例举法，集合有唯一元素即代数式y=?
+l,集合F的代表元素为（料），表示的是抛物线y=/+1±的点集，E和Q尽管所用字母不同，但表示的都是数集，不过E是函数的定义域，Q是函数的值域。
三、诊断练习
1、教学处理：
课前山学生自主完成5道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评
题1：
已知集合A={-1,O,1）,B={xl-l【点评】本题主要考察了集合的基本运算，不等式型集合的交、并、补集通常可以利用数轴进行，解题时注意两点：
1、审题准确，是求“并”不是“交”2、注意区间端点的开闭。
题2.若集合M={x|xv1},N={x卜2_2xS0},则.
2
【点评】本题主要考察了集合的基本运算，不等式型集合的交、并、补集通常可以利用数轴进行，解题时注意两点：
1、审题准确，是求“并”不是“交”2、注意区间端点的开闭。
题3.⑴已知集合A={y|y=log2（x—1）},集合B={y卜=2*,贝。
⑵已知集合A={x|y=log2（x-l）},集合B={yy=T|,则A[]B=。
（3）已知集合A={（x,y）|j=log2x],集合3={（x,y）|y=x_l},则
【点评】问：
三小题中集合中的代表元素分别是什么？
对应的范围？
第一问：
A和B中的元素代表的是函数的值域；
第二问：
A中的元素代表的是函数的定义域A={x\x>\},B中的元素代表的是函
数的值域B={y|y>0}o
第三问：
A和B中的元素是函数图像上的点，AQB是两个图像的交点的集合，注
意点集的书写形式。
通过对上述集合的识别，进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解；
【变式】已知集合P={（x,y）|y=m],P={（x,y）y=/+l,a>0,a工1}，如果PflQ有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是.（答案：
m>l）
题4.已知集合人={3,加2},3={-1,3,3加-2},若AcB=A，则实数m的值为
问：
AoB=A得到什么结论，结合本题中A,B中元素的构成，你能得到结论？
考虑到〃『的值非负，得m2=3m-2o注意对集合元素互异性的检验。
【变式1】集合A={0,2,a},B={l,/},若Af]B={2}，则a的值为
【变式2】集合A={0,2,a},B={l,/},若ADBH0,则a的值为
【点评】集合与集合间的关系是通过元素与集合间的关系定义的，解决集合问题是要善于把握集合中元素之间的关系，寻求解题的突破口。
3、要点归纳
1•注意数集与点集的区别，防止出现以下偏差：
⑴书写上的错误，误把点集{（2,3）}写成{2,3}或{x=2,y=3}o
⑵理解上的错误，误认为{y|y=x2+l,xe/?
}等价于{（“）卜"+1,血/?
}或{xy=x2+l,xeo如巩固3；
2.关注空集“0”，在考查两个集合的关系时，不要忽视0,0是任何非空集合的真子集。
3.两个重要结论，如巩固4；
1若AC\B=A,则AgB,反之也成立；
2若AUB=B,则AgB,反之也成立。
应用这两个结论时一定要注意不要忘记集合A=0这一特例。
4.解题中应时时注意分类讨论、数形结合（韦恩图）等数学思想、方法的运用。
四、范例导析
例1、已知集合A={x\3（1）求AUB;
（2）（CrA）DB；（3）如果ADCH0,求的取值范围.
【教学处理】可以考虑学生板演并讲解或有学生说思路，分析，教师引导并板书。
【引导分析与精讲建议】
第一问：
如何准确地求出两个集合的并集？
尤其是端点的开和闭如何确定？
建议熟练使用数轴，利用数形儿何这一思想方法。
第二问：
如何准确地求出一个集合的补集？
如何准确地求出两个集合的交集？
尤其是端点的开和闭如何确定？
还是要熟练地使用数轴，利用数形儿何这一思想方法。
第三问：
先考虑空集是什么？
两个集合的交集是空集是什么含义？
集合A已经确定，那么集合C可能是什么悄形？
最终注意参数a的取值范圉是什么，并注意端点能否取到。
【点评】1）熟记集合中一些简单性质有助于解题。
2）解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范兩取值时所给的集合可能是0这种1W况。
由于思维定势的原因，我们在解题中往往会遗忘。
3）最终答案的端点能否取到要特别小心，最好验证一下。
例2改为：
已知集合A={yly=-2—已[2,3]},B=|xlx2+3x-a2-3a>0j,
（1）当"=4时，求AcB；
（2）
（2）若A^B,求实数的取值范围。
【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情;再结合板演惜况进行点评。
也可在学生作差变形遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。
【引导分析与精讲建议】
问题1：
如何解分式不等式？
一般方法是：
移项、通分，转化为整式不等式；
问题2：
含参的一元二次不等式如何求解？
注意分类讨论；
问题3：
参数的端点你单独考虑了吗？
【点评】已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、韦恩图帮助分析。
例3、已知集合人={円05+135},集合3=卜•一丄＜虫2卜
⑴若AgB,求实数的取值范围；
⑵若BgA,求实数的取值范圉；
（3）A、B能否相等？
若能，求出的值；若不能，试说明理由。
【教学处理】指导学生圈出题中的关键词，独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。
【引导分析与精讲建议】
第一、二问：
集合A中元素的取值范围怎么求？
（分类讨论）
R,a=0
将AqB和ByA转化为不等式组求
解…第三问：
A、B相等条件是什么？
角度1：
（从元素角度）利用A和B中元素的取值范兩相同建立等式。
需要分类讨
论吗？
角度厶（定义：
若A^B且ByA,则A二B）,如何理解定义中的且?
••
【点评】1、关键是准确理解AgB、以及A二B的具体意义，才能提出解决问题的具体方法。
2、在解决两个集合间问题时，利用数轴工具，可以问题分析直观方便。
五、解题反思
1.复习集合，可以从两个方面入手：
一是集合的概念之间的区别与联系，二是对集合知识的应用.
2.把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，分清楚集合中元素的属性.
3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解.
4.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通。
5.一元二次不等式常考常新，经常地与集合、简单逻辑用语相结合。
6.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质。
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