学年辽宁省大连市高二上学期期中考试数学试题6.docx
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学年辽宁省大连市高二上学期期中考试数学试题6
高二上学期期中考试数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“
，
”的否定是（）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．已知平面内动点
满足
，其中
，则
点轨迹是（）
A．直线B．线段C．圆D．椭圆
3．数列
满足
，
，
，则
等于（）
A．5B．9C．10D．15
4．已知关于
的不等式
的解集为
，则
的最大值是（）
A．
B．
C．
D．
5．下列说法正确的是（）
A．
是
的充分条件B．
是
的必要条件
C．
是
的必要条件D．
是
的充要条件
6．定义
为
个正数
的“均倒数”，已知数列
的前
项的“均倒数”为
，又
，则
（）
A．
B．
C．
D．
7．函数
（
且
）的图象恒过定点
，若点A
在直线
上，其中
，则
的最小值为（）
A．
B．
C．7D．11
8．设
满足约束条件
，则
的最大值为（）
A．1B．3C．5D．6
9．命题
，命题
，则下列命题是真命题的是
A．
B．
C．
D．
10．正方形
的四个顶点都在椭圆
上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
11．设实数
满足
，则
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
12．设椭圆
的右顶点为
，右焦点为
，
为椭圆在第二象限内的点，直线
交椭圆于点
，
为原点，若直线
平分线段
，则椭圆的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知方程
表示椭圆，则
的取值范围为．
14．已知项数为奇数的等差数列
共有
项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则项数
的值是．
15．如图，已知椭圆Ⅰ与椭圆Ⅱ有公共左顶点
与公共左焦点
，且椭圆Ⅰ的长轴长是椭圆Ⅱ的长轴长的
（
，且
为常数）倍，则椭圆Ⅰ的离心率的取值范围是．
16．下列命题中为真命题（把所有真命题的序号都填上）．
①“
”成立的必要条件是“
”；
②“若
成等差数列，则
”的否命题；
③“已知数列
的前
项和为
，若数列
是等比数列，则
成等比数列.”的逆否命题；
④“已知
是
上的单调函数，若
，则
”的逆命题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数
，
.
（1）若对任意
，任意
都有
成立，求实数
的取值范围.
（2）若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
18．已知数列
为等差数列，其中
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）记
，设
的前
项和为
，求最小的正整数
，使得
.
19．已知经过原点的直线与椭圆
交于
两点，点
为椭圆上不同于
的一点，直线
的斜率均存在，且直线
的斜率之积为
.
（1）求椭圆
的离心率；
（2）若
，设
分别为椭圆的左、右焦点，斜率为
的直线
经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于
两点，若点
在以
为直径的圆内部，求
的取值范围.
20．设数列
的前
项和为
，且
，数列
为等差数列，且
.
（1）求
；
（2）求数列
的前
项和
.
21．已知椭圆
的左、右顶点分别为
，左、右焦点分别为
，离心率为
，点
，
为线段
的中点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若过点
且斜率不为0的直线
与椭圆
交于
两点，已知直线
与
相交于点
，试判断点
是否在定直线上？
若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.
22．已知椭圆
的短轴长为2，离心率为
，直线
与椭圆
交于
两点，且线段
的垂直平分线通过点
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）当
（
为坐标原点）面积取最大值时，求直线
的方程.
高二期中考试数试卷
参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:
DBDDB6-10:
CACDA11、12：
AC
二、填空题
13．
14．715．
16．②④
三、解答题
17．解：
（1）由题设知：
，
∵
在
上递增，∴
又∵
在
上递减，∴
∴有
，
的范围为
（2）由题设知
，
∴有
，即
，∴
的范围为
.
18．解：
（1）设等差数列
的公差为
，
依题意有
，解得
，
，
从而
的通项公式为
；
（2）因为
，
所以
.
令
，解得
，故取
.
19．解：
（1）设
则
，
，∵点
三点均在椭圆上，
∴
，
，
∴作差得
，
∴
，
∴
.
（2）∵
，
，∴
，
，
设
，
，直线
的方程为
，记
，
，
联立
得
，
，
∴
，
，
当点
在以
为直径的圆内部时，
，
∴
，
得
，
解得
.
20．解：
（1）因为
，所以当
时，得
当
时，因为
，代入
得
所以
，又
，即
为以
为首项，
为公比的等比数列
所以
，所以
（2）因为
，所以
，
因为数列
为等差数列，且
所以
，
，∴
，即公差为1
所以
，所以数列
的前
项和
①
②
①-②得
∴
21．解：
（1）设点
，
，
由题意可知：
，即
①
又因为椭圆的离心率
，即
②
联立方程①②可得：
，
，则
所以椭圆
的方程为
.
（2）根据椭圆的对称性猜测点
是与
轴平行的直线
上.
假设当点
为椭圆的上顶点时，
直线
的方程为
，此时点
，
则联立直线
和直线
可得点
据此猜想点
在直线
上，下面对猜想给予证明：
设
，
，联立方程
可得，
，
由韦达定理可得
，
（）
因为直线
，
，
联立两直线方程得
（其中
为
点的横坐标）
即证：
，
即
，即证
将（）代入上式可得
此式明显成立，原命题得证，所以点
在定直线
上.
22．解：
（1）由已知可得
解得
，
，
故椭圆
的标准方程为
.
（2）设
，
联立方程
消去
得
.
当
，
即
时，
，
.
所以
，
.
当
时，线段
的垂直平分线显然过点
因为
，所以
，
当
时，取到等号，则
当
时，因为线段
的垂直平分线过点
，所以
，
化简整理得
，由
得
，
又原点
到直线
的距离为
.
所以
而
且
，则
，
.
所以当
，即
时，
取得最大值
.综上
的最大值为
，
此时直线
或
或
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