第6章参数估计1.docx

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第6章参数估计1

第6章参数估计

1,设总体X〜U（0,b）,BaO未知，X1,X2，…，X9是来自X的样本。

求b的

矩估计量。

今测得一个样本值0.5,0.6,0.1,1.3,0.9,1.6,0.7,0.9,1.0，求b的矩估计值。

解：

因为总体X〜u（o,b），所以总体矩E（X）=b/2。

根据容量为9的样

A9

本得到的样本矩X=6三Xi。

令总体矩等于相应的样本矩：

E（X）=x，

得到b的矩估计量为i?

=2X。

把样本值代入得到b的矩估计值为^=1.69。

丨2（8—X）0

2,设总体X具有概率密度fX（X）十2（0）其他’参数0未知,

X1,X2，…,Xn是来自X的样本，求0的矩估计量。

解：

总体X的数学期望为E（x）=：

||（e-x）dx=?

令E（x）=X可得e的

0®3

3,设总体X~B（m,P）,参数m,p（0Cpc1）未知，，…，X.是来自X的

样本，求m,p的矩估计量（对于具体样本值，若求得的m不是整数,

则取与m最接近的整数作为m的估计值）。

解：

总体X的数学期望为E（X）=mp,D（X）=mp（1-p）,

二阶原点矩为E（X2）=D（X）+[e（X）]2=mp（mp-p+1）。

令总体矩等于相应的样本矩:

—1n

A2

E（X）=X，E（X2）=A2=—2Xi2ni」

得到？

=1+刃-乞，m?

=—

XX+（X）-A2

4，

（1）设总体X^^.）^>0未知，X1,X2，…，Xn是来自X的样本,

Xi,X2，…，Xn是相应的样本值。

求A的矩估计量，求A的最大似然估计值。

（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数X〜兀仏），下

面是X的一个样本:

6496101163710

求A的最大似然估计值。

解：

（1）因为总体的数学期望为A,所以矩估计量为，?

=X。

n

ZX,

，相应的对数似然函数为

似然函数为L仏）=n士=宵U

rx」g（xi!

n「n1

InL（Q=（In入»Xj-naTn曲W。

令对数似然函数对A的一阶导数为零，得到A的最大似然估计值为

（2）根据

（1）中结论，A的最大似然估计值为紅x=7.2。

5，

（1）设X服从参数为P（0

P{X=x}=（1-p）x4p,X=1,2,…。

参数P未知。

设X1,X2，…,Xn是一个样本值，

求P的最大似然估计值。

求P的最大似然估计值。

n

nr.yXi-Q

解：

（1）似然函数为L（p）=□（1—p）2p]=（1-p）7pn，相应的对数

iz1

似然函数为

InL（P）=fsXi-n]ln（1-p）+ninp。

"丿

令对数似然函数对P的一阶导数为零，得到P的最大似然估计值为

（2）根据

（1）中结论，P的最大似然估计值为0=2=—。

2,

未知，X1,X2,,Xn

X26

为一相应的样本值。

求b的最大似然估计值。

n

Dx-H2

id:

「飞厂，相应

n2

送（Xi-H2n

InL（A）=-——2—-1n（厉CT）。

2

令对数似然函数对

卩的一阶导数为零，得到卩的最大似然估计值为

n

ZXi

（?

：

=上一：

=X。

n

n

（XdV

Z（Xi4V

i2

（2）似然函数为

亠兀L，相应的

对数似然函数为

n

2S（Xi-A）2n2

InL（cr2）=-2——--1n（2兀CT2）。

2。

2

求参数日的最大似然估计值。

n

解：

（1）似然函数为L（巧［畚ef/日卜兽相应的对数似

然函数为

nn

k4

InL（0）=送InXi_2nIn0-艺xi/^。

iA

相应的最大似然估计量为#=△。

2n乏Xi/Q

e7，相应的对数似然

函数为

nn

InL（日）2InXj-3nln2日）一送x/9。

iJy

令对数似然函数对e的一阶导数为零，得到0的最大似然估计值为

（3）因为X〜B（m,P）,其分布律为P{X=x}=cmPx（1-P）2,x=0,1,2,…m

nn

nn2Ximn壬X

所以，似然函数为L（pwnCm，pXi（i-p）^]=0胃咒pTx（i-P）y

相应的对数似然函数为

n/n、n

L（p）=（Inp更Xi中mnXiIn（1一p）In臨。

irn

令对数似然函数对P的一阶导数为零，得到P的最大似然估计值为

n—

Q1宁X

P=—ZXi=—。

mni#m

8,设总体X具有分布律

X

1

2

3

Pk

02

2日（1-0）

（1-8）2

其中参数日（0<0<1）未知。

已知取得样本值X1=1,X2=2,x3=1，试求8的

最大似然估计值。

解：

根据题意，可写出似然函数为

3

L（0）=县P{X=人}=02x20（1-0）咒02=205（1-0），

相应的对数似然函数为

InL（0）=1n2+51n9+丨n1（-9）。

令对数似然函数对e的一阶导数为零，得到9的最大似然估计值为

#=5/6。

2），

9，设总体X~N（a+P,cr2），Y~N（a-P,cr2），a,P未知，cr2已知,

Xi,X2，…,Xn和丫1,丫2,…,Yn分别是总体X和丫的样本，设两样本独立。

试

求d,P最大似然估计量。

解：

根据题意，写出对应于总体X和丫的似然函数分别为

L（a—P）=n

（Yi七■

2Cf

S（yy+S2

1e~

（』22J

相应的对数似然函数为

n2

Z（X^-P）2_n

2u2

InL（a+P）=一1n（j22），

nc2

2（Y-a+P）2_n

2/

令对数似然函数分别对a+P和a_P的一阶导数为零，得到

InL（a_P）=一一|n（j2g），

算出。

邛最大似然估计量分别为宀y，孕=筈丫。

10,

（1）验证均匀分布u（o月）中的未知参数e的矩估计量是无偏估计量。

（2）设某种小型计算机一星期中的故障次数丫〜兀仏），设Y,Y2,…，Yn是来自总体丫的样本。

①验证丫是A的无偏估计量。

②设一星期中故障维修费用为Z=3Y+Y2,求E（Z）。

—彳n

（3）验证U=3丫+-ZYi2是E（Z）的无偏估计量。

ny

解：

（1）均匀分布U（0月）中的未知参数日的矩估计量为

$=2X。

由于E（n）=2E（X）=2冷=日，所以療=2X是日的无偏估计量。

（2）①因为E&W1£E（Yi）=」xnk=A，所以丫是几的无偏估计量。

nvn

②E（Z）=3E（Y）+E（Y2）=3几+（a+几2）=4几+几2。

_1n1

所以，U是E（Z）的无偏估计量。

11,已知Xi,X2,X3,X4是来自均值为日的指数分布总体的样本，其中9

未知。

设有估计量

11

t1=6（X1+X2）+3（X3+X4），

T2=（Xi+2X2+3X3+4X4）/5，

T^（X^X2+X3+X4）/4。

（1）指出Ti,T2,T3中哪几个是0的无偏估计量。

（2）在上述0的无偏估计量中哪一个较为有效?

解：

（1）因为

1111

E（T1）=-（E（X1）+E（X2））+-（E（X3）+E（X4））+9）+-e+£）=日

6363

E（T2）=（E（Xi）+2E（X2）+3E（X3）+4E（X4））/5=2日，

E（T3）=（E（Xi）+E（X2）+E（X3）+E（X4））/4=9。

所以，T1,T3是0的无偏估计量。

（2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出

d（Ti）=丄（d（Xi）+d（X2））+-（d（X3）+d（X4））=丄（日2+02）+〕（日2+e2）=52/18369369

D（T3）=（D（Xi）+D（X2）+D（X3）+D（X4））/16=02/4cD仃-），

所以，T3是比Ti更有效的无偏估计量。

，设

12，以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计）

X〜N（片1296），今取得一容量为n=27的样本，测得其样本均值为

X=1478，求

（1）4的置信水平为0.95的置信区间，

（2）4的置信水平为0.90的置信区间。

解：

这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。

根据标准的

结论，卩的置信水平为1-a

f、

的置信区间为h±^Za/2。

UJn丿

（1）卩的置信水平为0.95的置信区间为

h478±^Z0j

I历丿

=（1478±74^x1.96）=（1478±13.58）=（1464.42,1491.58）。

（2）卩的置信水平为0.90的置信区间为

1478±^^P6Z0.05

I阿丿

=（1478±J48X1.645）=（1478±11.40）=（1466.60,1489.40）。

13,以X表示某种小包装糖果的重量（以g计），设X〜N（比4），今取

得样本（容量为n=10）

55.95,56.54,57.58,55.13,57.48,56.06,59.93,58.30,52.57,58.46

（1）求卩的最大似然估计值。

（2）求卩的置信水平为0.95的置信区间。

解：

（1）根据已知结论，正态分布均值卩的最大似然估计量和矩估计

量相同：

P=X。

所以卩的最大似然估计值为刃=x=56.8

（2）卩的置信水平为0.95的置信区间为

〔56.8乎Zj

IV10丿

=（56.8±704X1.96）=（56.8±1.24）=（55.56,58.04）。

14,一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测

得的糖含量（以某种单位计）

15.8,15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.4

15.4,13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8

设样本来自正态总体N（P,b2），巴b2均未知。

（1）求巴b2的无偏估计值。

（2）求卩的置信水平为90%的置信区间。

解：

（1）匕CT2的无偏估计值为

1n

l?

=X=14.72，s2=——Z（Xi—X）2=1.9072。

n—1i4

（2）卩的置信水平为90%的置信区间为

15，一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。

在面积相同的

12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值x=66.3分,

样本标准差s=9.4分。

设样本来自正态总体N（比b2）,»,b2均未知。

求

干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间。

解：

这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。

根据已知结

论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为

ppm计）

16，Macatawa湖（位于密歇根湖的东侧）分为东、西两个区域。

下

面的数据是取自西区的水的样本，测得其中的钠含量（以

20.8,19.3,18.8,23.1,15.2,19.9,19.1,18.1,

25.1,16.8,20.4,17.4,25.2,23.1,15.3,19.4,16.0,21.7,15.2,21.3,21.5,16.8,15.6,17.6

设样本来自正态总体N（A,b2），巴b2均未知。

求卩的置信水平为0.95的置信区间。

解：

根据题中数据，计算可得样本均值x=19.07，样本方差3.245。

卩的置信水平为0.95的置信区间为

x±—j=t0.025（n—1）、vn丿

'3245）

19.072.0395=（19.07±1.17）=（17.90,20.24）

、、J32丿

17,设X是春天捕到的某种鱼的长度（以cm计），设X~N（y2），,b2

均未知。

下面是X的一个容量为n=13的样本:

13.1,5.1,18.0,8.7,16.5,9.8,6.8,12.0,17.8,25.4,19.2,15.8,23.0

（1）求b2的无偏估计;

（2）求b的置信水平为0.95的置信区间。

解：

根据题中数据计算可得S2=37.75。

（1）方差b2的无偏估计即为样本方差S2=37.75。

⑺©2的置信水平为0.95的置信区间为

所以b的置信水平为0.95的置信区间为

-W19.41,#102.86）=（4.406,10.142）。

J（n-1）s2]（n-1）s2'

l^V0.025（^1）^f^^975（^1）J

18,为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校

a的9个学生，得分数的平均值为XA=81.31，方差为sA=60.76；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为X^78.61，方差为sB=48.24。

设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本

独立。

求均值差Aa-4b的置信水平为0.95的置信区间。

解：

根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差般-4b

的置信水平为0.95的置信区间为

=（2.7±6.35）=（—3.65,9.05）

19,设以X,Y分别表示有过滤嘴和无过滤嘴的香烟含煤焦油的量（以

mg计），设X〜N（Px,cr2x），Y~N（4Y,b2Y），卩xFy'Lx'CTy2均未知。

下

面是两个样本

X:

0.9,1.1,0.1,0.7,0.3,0.9,0.8,1.0,0.4

Y:

1.5,0.9,1.6,0.5,1.4,1.9,1.0,1.2,1.3,1.6,2.1

两样本独立。

求cr2x/cr2Y的置信水平为0.95的置信区间。

20，设以X,Y分别表示健康人与怀疑有病的人的血液中铬的含量（以

10亿份中的份数计），设X-N（»x,b2x）,Y~N（AY,cr2Y），卩X,4Y,b2x,貯丫2

4的置信水平为0.95的单侧置信上限，以及bX的置信水平为

0.95的单侧置信上限。

解：

根据题中数据计算得到sX=6.82=46.24，sY=9.6272=92.68。

cr2x/cr2Y的置信水平为0.95的单侧置信上限为

介的置信水平为0.95的单侧置信上限为

所以，CTx的置信水平为0.95的单侧置信上限为

2={149.37=12.22。

70.95（8—1）

21,在第17题中求鱼长度的均值卩的置信水平为0.95的单侧置信下

限。

解：

根据单侧区间估计的结论，正态总体均值卩的置信水平为0.95

的单侧置信下限为

4=x--^t005（n-1）=14.71—■6144咒1.7823=11.67。

—Jn<13

22,在第18题中求的置信水平为0.90的单侧置信上限。

解：

两个正态总体的均值差Pa-»b的置信水平为0.90的单侧置信上

限为

Pa-PB=（Xa-Xb）+SwJ-+丄t01（22）=2.7+7.266咒0.422咒1.3212=6.75。

V915

（第6章习题解答完毕）

解：

（1）似然函数为的对数似然函数为