线段树详解C++版.docx
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线段树详解C++版
线段树的定义及特征
定义1：
线段树
线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
一棵二叉树，记为T（a,b），参数a,b表示该节点表示区间[a,b]。
区间的长度b-a记为L。
递归定义T[a,b]：
若L>0：
[a,（a+b）div2]为T的左儿子
[（a+b）div2+1,b]为T的右儿子。
若L=0：
T为一个叶子节点。
表示区间[1,5]的线段树表示如下：
线段树支持的操作有：
构造，插入，查找，更新，删除；这些操作不一定都有，在实现上也不一定都是一个套路，这都取决于实际问题；实际上，通过在线段树节点上记录不同的信息，线段树可以完成很多不同的任务；线段树的高度为logn，这也就使得线段树可以在O（lgn）的时间完成插入、查询、删除等操作。
1、忠诚（TYVJ1038）
Description
老管家是一个聪明能干的人。
他为财主工作了整整10年，财主为了让自已账目更加清楚。
要求管家每天记k次账，由于管家聪明能干，因而管家总是让财主十分满意。
但是由于一些人的挑拨，财主还是对管家产生了怀疑。
于是他决定用一种特别的方法来判断管家的忠诚，他把每次的账目按1，2，3…编号，然后不定时的问管家问题，问题是这样的：
在a到b号账中最少的一笔是多少？
为了让管家没时间作假他总是一次问多个问题。
Input
输入中第一行有两个数m,n表示有m（m<=100000）笔账,n表示有n个问题，n<=100000。
第二行为m个数,分别是账目的钱数后面n行分别是n个问题,每行有2个数字说明开始结束的账目编号。
Output
输出文件中为每个问题的答案。
具体查看样例。
SampleInput
103
12345678910
27
39
110
SampleOutput
231
参考程序：
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
intn,m,i,k,x,y,num,a[100000],f[100000];
structss
{
intl,r,ls,rs,f,data;
}t[400001];
voidbuild（intl,intr）
{
inth;
num++;
h=num;
t[h].l=l;
t[h].r=r;
if（l!
=r）
{
t[h].ls=num+1;
t[num+1].f=h;
build（l,（l+r）/2）;
t[h].rs=num+1;
t[num+1].f=h;
build（（（l+r）/2）+1,r）;
t[h].data=min（t[t[h].ls].data,t[t[h].rs].data）;
}
else
{
t[h].data=a[l];f[l]=h;
}
}
intfind（inth,intp,intq）
{
intv;
if（（t[h].l==p）&&（t[h].r==q））return（t[h].data）;
v=（t[h].l+t[h].r）/2;
if（q<=v）return（find（t[h].ls,p,q））;
if（p>v）return（find（t[h].rs,p,q））;
return（min（find（t[h].ls,p,v）,find（t[h].rs,v+1,q）））;
}
intmain（）
{
num=0;
t[1].f=0;
scanf（"%d%d",&m,&n）;
for（i=1;i<=m;i++）scanf（"%d",&a[i]）;
build（1,m）;
for（i=1;i<=n-1;i++）
{
scanf（"%d%d",&x,&y）;
printf（"%d",find（1,x,y））;
}
scanf（"%d%d",&x,&y）;
printf（"%d",find（1,x,y））;
return0;
}
2、忠诚2（TYVJ1039）
Description
老管家是一个聪明能干的人。
他为财主工作了整整10年，财主为了让自已账目更加清楚。
要求管家每天记k次账，由于管家聪明能干，因而管家总是让财主十分满意。
但是由于一些人的挑拨，财主还是对管家产生了怀疑。
于是他决定用一种特别的方法来判断管家的忠诚，他把每次的账目按1，2，3…编号，然后不定时的问管家问题，问题是这样的：
在a到b号账中最少的一笔是多少？
为了让管家没时间作假他总是一次问多个问题。
在询问过程中账本的内容可能会被修改
Input
输入中第一行有两个数m,n表示有m（m<=100000）笔账,n表示有n个问题，n<=100000。
接下来每行为3个数字，第一个p为数字1或数字2，第二个数为x，第三个数为y
当p=1则查询x,y区间
当p=2则改变第x个数为y
Output
输出文件中为每个问题的答案。
具体查看样例。
SampleInput
103
12345678910
127
220
1110
SampleOutput
20
题解一：
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
intn,m,i,k,x,y,num,a[100000],f[100000];
structss
{
intl,r,ls,rs,f,data;
}t[400001];
voidbuild（intl,intr）
{
inth;
num++;
h=num;
t[h].l=l;
t[h].r=r;
if（l!
=r）
{
t[h].ls=num+1;
t[num+1].f=h;
build（l,（l+r）/2）;
t[h].rs=num+1;
t[num+1].f=h;
build（（（l+r）/2）+1,r）;
t[h].data=min（t[t[h].ls].data,t[t[h].rs].data）;
}
else
{
t[h].data=a[l];f[l]=h;
}
}
voidrebuild（intx）
{
if（x==0）return;
if（t[x].data!
=min（t[t[x].ls].data,t[t[x].rs].data））
{
t[x].data=min（t[t[x].ls].data,t[t[x].rs].data）;
rebuild（t[x].f）;
}
}
voidchange（intm,intx）
{
t[f[m]].data=x;
rebuild（t[f[m]].f）;
}
intfind（inth,intp,intq）
{
intv;
if（（t[h].l==p）&&（t[h].r==q））return（t[h].data）;
v=（t[h].l+t[h].r）/2;
if（q<=v）return（find（t[h].ls,p,q））;
if（p>v）return（find（t[h].rs,p,q））;
return（min（find（t[h].ls,p,v）,find（t[h].rs,v+1,q）））;
}
intmain（）
{
intflag=1;
num=0;
t[1].f=0;
scanf（"%d%d",&m,&n）;
for（i=1;i<=m;i++）scanf（"%d",&a[i]）;
build（1,m）;
for（i=1;i<=n;i++）
{
scanf（"%d",&k）;
if（k==1）
{
if（flag==1）
{
scanf（"%d%d",&x,&y）;
printf（"%d",find（1,x,y））;
flag=0;
}
else
{
scanf（"%d%d",&x,&y）;
printf（"%d",find（1,x,y））;
}
}
if（k==2）
{
scanf（"%d%d",&x,&y）;
change（x,y）;
}
}
return0;
}
3、线段树练习
题目描述:
一行N个方格，开始每个格子里都有一个整数。
现在动态地提出一些问题和修改：
提问的形式是求某一个特定的子区间[a,b]中所有元素的和；修改的规则是指定某一个格子x，加上或者减去一个特定的值A。
现在要求你能对每个提问作出正确的回答。
1≤N<100000，,提问和修改的总数m<10000条。
输入描述InputDescription
输入文件第一行为一个整数N，接下来是n行n个整数，表示格子中原来的整数。
接下一个正整数m，再接下来有m行，表示m个询问，第一个整数表示询问代号，询问代号1表示增加，后面的两个数x和A表示给位置X上的数值增加A，询问代号2表示区间求和，后面两个整数表示a和b，表示要求[a,b]之间的区间和。
输出描述OutputDescription
共m行，每个整数
样例输入SampleInput
6
4
5
6
2
1
3
4
135
214
119
226
样例输出SampleOutput
22
22
数据范围及提示DataSize&Hint
1≤N≤100000，m≤10000。
参考程序：
#include
#include
usingnamespacestd;
structtree{
intl;
intr;
intls;
intrs;
intsum;
}t[500000];
intn,m,i,k,x,y,num,a[100000],f[100000];
boolflag;
voidbuild（intp1,intl,intr）
{
intm,ii;
t[p1].l=l;
t[p1].r=r;
m=（t[p1].l+t[p1].r）/2;
for（ii=l;ii<=r;ii++）t[p1].sum+=a[ii];
if（l==r）return;
build（2*p1,l,m）;
build（2*p1+1,m+1,r）;
}
voidmodify（intp,intx1,inty1）
{
intm;
if（（t[p].l<=x1）&&（t[p].r>=x1））t[p].sum+=y1;
if（t[p].l==t[p].r）return;
m=（t[p].l+t[p].r）/2;
if（m>=x1）modify（2*p,x1,y1）;
elsemodify（2*p+1,x1,y1）;
}
intfind（inth,intp,intq）
{
intm;
if（（t[h].l==p）&&（t[h].r==q））return（t[h].sum）;
m=（t[h].l+t[h].r）/2;
if（q<=m）return（find（2*h,p,q））;
elseif（p>=m+1）return（find（2*h+1,p,q））;
elsereturn（find（2*h,p,m）+find（2*h+1,m+1,q））;
}
intmain（）
{
scanf（"%d",&m）;
for（i=1;i<=m;i++）
{
scanf（"%d",&a[i]）;
}
build（1,1,m）;
scanf（"%d",&n）;
for（i=1;i<=n;i++）
{
scanf（"%d",&k）;
if（k==2）
{
scanf（"%d%d",&x,&y）;
printf（"%d\n",find（1,x,y））;
}
if（k==1）
{
scanf（"%d%d",&x,&y）;
modify（1,x,y）;
}
}
return0;
}
4、线段树练习2
题目描述Description
给你N个数，有两种操作
1：
给区间[a,b]的所有数都增加X
2：
询问第i个数是什么？
输入描述InputDescription
第一行一个正整数n，接下来n行n个整数，再接下来一个正整数Q，表示操作的个数.接下来Q行每行若干个整数。
如果第一个数是1，后接3个正整数a,b,X，表示在区间[a,b]内每个数增加X,如果是2，后面跟1个整数i,表示询问第i个位置的数是多少。
输出描述OutputDescription
对于每个询问输出一行一个答案
样例输入SampleInput
3
1
2
3
2
1232
23
样例输出SampleOutput
5
数据范围及提示DataSize&Hint
数据范围
1<=n<=100000
1<=q<=100000
参考程序：
#include
#include
usingnamespacestd;
intn,q,a[100001];
structdata{
intl,r,x;
}tr[400001];
voidbuild（intk,ints,intt）
{
tr[k].l=s;tr[k].r=t;
if（s==t）{tr[k].x=a[s];return;}
intmid=（s+t）>>1;
build（k<<1,s,mid）;
build（k<<1|1,mid+1,t）;
}
voidupdate（intk,inta,intb,intx）
{
intl=tr[k].l,r=tr[k].r;
if（l==a&&b==r）{tr[k].x+=x;return;}
intmid=（l+r）>>1;
if（b<=mid）update（k<<1,a,b,x）;
elseif（a>mid）update（k<<1|1,a,b,x）;
else
{
update（k<<1,a,mid,x）;
update（k<<1|1,mid+1,b,x）;
}
}
intask（intk,intx）
{
intl=tr[k].l,r=tr[k].r;
if（l==r）{returntr[k].x;}
intmid=（l+r）>>1;
if（x<=mid）returntr[k].x+ask（k<<1,x）;
elsereturntr[k].x+ask（k<<1|1,x）;
}
intmain（）
{
scanf（"%d",&n）;
for（inti=1;i<=n;i++）
scanf（"%d",&a[i]）;
build（1,1,n）;
scanf（"%d",&q）;
for（inti=1;i<=q;i++）
{
intt,a,b,x;
scanf（"%d",&t）;
if（t==1）{
scanf（"%d%d%d",&a,&b,&x）;
update（1,a,b,x）;
}
else{
scanf（"%d",&x）;
printf（"%d\n",ask（1,x））;
}
}
return0;
}
4.1线段树练习3
题目描述Description
给你N个数，有两种操作：
1：
给区间[a,b]的所有数增加X
2：
询问区间[a,b]的数的和。
输入描述InputDescription
第一行一个正整数n，接下来n行n个整数，
再接下来一个正整数Q，每行表示操作的个数，
如果第一个数是1，后接3个正整数，
表示在区间[a,b]内每个数增加X,如果是2，
表示操作2询问区间[a,b]的和是多少。
pascal选手请不要使用readln读入
输出描述OutputDescription
对于每个询问输出一行一个答案
样例输入SampleInput
3
1
2
3
2
1232
223
样例输出SampleOutput
9
数据范围及提示DataSize&Hint
数据范围
1<=n<=200000
1<=q<=200000
参考程序：
#include
#include
usingnamespacestd;
intn,q,a[200001];
structdata{
intl,r;
longlongsum;
inttag;
}tr[800001];
voidbuild（intk,ints,intt）
{
tr[k].l=s;tr[k].r=t;
if（s==t）{tr[k].sum=a[s];return;}
intmid=（s+t）>>1;
build（k<<1,s,mid）;
build（k<<1|1,mid+1,t）;
tr[k].sum=tr[k<<1].sum+tr[k<<1|1].sum;
}
voidpushdown（intk）
{
intx=tr[k].r-tr[k].l+1;
tr[k<<1].tag+=tr[k].tag;
tr[k<<1|1].tag+=tr[k].tag;
tr[k<<1].sum+=（x-（x>>1））*tr[k].tag;
tr[k<<1|1].sum+=（x>>1）*tr[k].tag;
tr[k].tag=0;
}
voidupdate（intk,inta,intb,intx）
{
intl=tr[k].l,r=tr[k].r;
if（a==l&&r==b）
{
tr[k].tag+=x;
tr[k].sum+=（b-a+1）*x;
return;
}
if（tr[k].tag）pushdown（k）;
intmid=（l+r）>>1;
if（b<=mid）update（k<<1,a,b,x）;
elseif（a>mid）update（k<<1|1,a,b,x）;
else
{
update（k<<1,a,mid,x）;
update（k<<1|1,mid+1,b,x）;
}
tr[k].sum=tr[k<<1].sum+tr[k<<1|1].sum;
}
longlongask（intk,inta,intb）
{
intl=tr[k].l,r=tr[k].r;
if（a==l&&b==r）{returntr[k].sum;}
if（tr[k].tag）pushdown（k）;
intmid=（l+r）>>1;
if（b<=mid）returnask（k<<1,a,b）;
elseif（a>mid）returnask（k<<1|1,a,b）;
elsereturn（ask（k<<1,a,mid）+ask（k<<1|1,mid+1,b））;
}
intmain（）
{
scanf（"%d",&n）;
for（inti=1;i<=n;i++）
scanf（"%d",&a[i]）;
build（1,1,n）;
scanf（"%d",&q）;
for（inti=1;i<=q;i++）
{
intt,a,b,x;
scanf（"%d",&t）;
if（t==1）{
scanf（"%d%d%d",&a,&b,&x）;
update（1,a,b,x）;
}
else{
scanf（"%d%d",&a,&b）;
printf（"%lld\n",ask（1,a,b））;
}
}
return0;
}
5、简单题（easy）
有一个n个元素的数组，每个元素初始均为0。
有m条指令，要么让其中一段连续序列数字反转——0变1，1变0（操作1），要么询问某个元素的值（操作2）。
例如当n=20时，10条指令如下：
操作
回答
操作后的数组
1110
N/A
11111111110000000000
26
1
11111111110000000000
212
0
11111111110000000000
1512
N/A
11110000001100000000
26
0
11110000001100000000
215
0
11110000001100000000
1616
N/A
11110111110011110000
11117
N/A
111101*********01000
212
1
11110111111100001000
26
1
11110111111100001000
【输入文件】
输入文件easy.in第一行包含两个整数n，m，表示数组的长度和指令的条数，以下m行，每行的第一个数t表示操作的种类。
若t=1，则接下来有两个数L,R（L<=R），表示区间[L,R]的每个数均反转；若t=2，则接下来只有一个数I，表示询问的下标。
【输出文件】
每个操作2输出一行（非0即1），表示每次操作2的回答。
【样例】
easy.in
easy.out
2010
1110
26
212
1512
26
215
1616
11117
212
26
1
0
0
0
1
1
【限制】
50%的数据满足：
1<=n<=1,000，1<=m<=10,000
100%的数据满足：
1<=n<=100,000，1<=m<=500,000
这道题标准算法是用线段树来实现
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
constintmaxn=100005;
structnode{
inta,b;
boollazy;
}Tree[maxn*4];
intN,M;
voidyin（int&x）
{
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