完整版初中数学实际问题与二次函数详解与练习含答案.docx
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完整版初中数学实际问题与二次函数详解与练习含答案
初中数学：
实际问题与二次函数_详解与练习（含答案）
初中数学专项训练：
实际问题与二次函数
一、利用函数求图形面积的最值问题
一、围成图形面积的最值
1、只围二边的矩形的面积最值问题
例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？
最大面积是多少？
分析：
关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。
解：
（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18-x）（米），
根据题意，得：
yx（18x）x218x；
又∵x＞0,0＜x＜18
18x＞0
（2）∵yx（18x）x218x中，a=-1＜0，∴y有最大值，b184acb20182
9时，ymax即当x812a2
（1）4a4
（1）
故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：
在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、只围三边的矩形的面积最值
例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养
鸡场的面积最大？
分析：
关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式
解：
设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（
根据题意，得：
yx（50x）（米），250x1）x225x；22
x＞0又∵50x,0＜x＜50＞02
∵yx（50x11）x225x中，a=＜0，∴y有最大值，222
b即当x2a2512（）225时，ymax4acb2025262514a24（）2
625平方米。
2故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为
点评：
如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？
请读者自己完成。
3、围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
2
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
2
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm吗?
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：
设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm
20x2）17解得：
x116,x244
当x116时，20-x=4；当x24时，20-x=16由题意得：
（）（2x4
答：
这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
（2）不能。
理由是：
设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为
围成两个正方形的面积为ycm，
根据题意，得：
yx2（5x）22x210x25，
∵yx2（5x）22x210x25中，a=2＞0，∴y有最小值，2204x（5x）cm，4
b1054acb2422510225时，ymin即当x=12.5＞12,2a2224a422
故两个正方形面积的和不可能是12cm.
练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）正方形EFGH有没有最大面积？
若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.
2
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1如图
（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当
水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽
4m．如图
（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式
是.
图
（1）图
【解析】试题分析：
由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解
2析式为：
y=ax，利用待定系数法求解.
试题解析：
设此函数解析式为：
y=ax，a¹
则-2=4a即得a=-2y=-12x.20；那么（2，-2）应在此函数解析式上．112，那么y=-x．22
考点：
根据实际问题列二次函数关系式.
练习1
某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图
（1）所示.图
（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与
2水平距离x（米）之间的关系是yx2x5.请回答下列问题：
4
（1）柱子OA的高度是多少米？
（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
三、利用抛物线解决最大利润问题
例题1某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看做一次函数：
y＝－10x＋500.
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（6分）
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3分）
（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）（3分）
答案：
（1）35；
（2）30或40；（3）3600.
【解析】
试题分析：
（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．
试题解析：
（1）由题意得出：
Wx20yx2010x50010x2700x10000，∵a10<0，b35，2a
∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：
10x2700x100002000，
解这个方程得：
x1=30，x2=40．
∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．
（3）∵a10<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，W≥2000.
∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000.
设成本为P（元），由题意，得：
P2010x500200x10000，
∵k=200＜0，∴P随x的增大而减小．
∴当x=32时，P最小=3600．
答：
想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
考点：
二次函数的应用．
练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．
（1）平均每天的销售量y（只）与销售价x（元／只）之间的函数关系式为；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售只x（元／只）之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
最大利润是多少元
2．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：
y2x80.设这种产品每天的销售利润为w元.
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？
最大利润是多少元？
3．某公司营销A,B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：
销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系
yax2bx.当x1时，y1.4；当x3时，y3.6．
信息2：
销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y0.3x．根据以上信息，解答下列问题：
（1）求二次函数解析式；
（2）该公司准备购进A,B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A,B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：
由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：
y10x500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：
以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为x元/个.
（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；
（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？
最大利润是多少元？
6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.
（
2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:
（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？
请求出公司的最大月收益是多少元．
四、利用二次函数解决动点问题
例1如图8，如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，
BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速
运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面
积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线
运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的
速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t
2≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm.
①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值.
解：
（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE
.
∴SΔAPE=.2
（2）①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，
tt，QF=t，AP=t+2，AG=1+，PG=3t.2222
3∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.t22
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G，QN与AD交于
tt，DF=4-，QF=t，BP=t-6，CP=10-t，PG=（10t），222
532t3t34.而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=8
当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动.设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则则AQ=t，AF=点F，则AQ=t，AF=CQ=20-2t，QF=（20-2t
，CP=10-t，PG=（10t）.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=332t3t.2
（0t6）2故S关于t
的函数关系式为S（6t8）2（8t10）
7当6≤t≤8时，S的最大值为62
当8≤t≤10时，S的最大值为6所以当t=8时，S有最大值为63.
②当0≤t≤6时，S的最大值为
初中数学专项训练：
实际问题与二次函数
参考答案
一、1
22
（1）y=2x-2ax+a
（2）有.当点E是AB的中点时，面积最大.【解析】本题考查了二次函数的应用.
（1）先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求出2
EF，即可得到S与x之间的函数关系式；
（2）先将
（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解．解：
∵四边形ABCD是边长为a米的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=a米．∵四边形EFGH为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH．在△AEF与△DHE中，
∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH
∴△AEF≌△DHE（AAS），
∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，
2222222
∴y=EF=AE+AF=x+（a-x）=2x-2ax+a，
22
即y=2x-2ax+a；
a2a2
（2）∵y=2x-2ax+a=2（x-）+，
24
2
2
∴当x=
a
时，S有最大值．2
故当点E是AB的中点时，面积最大．
二、练习1
（1）
955
（2）（3）442
【解析】本题考查了二次函数的应用.
（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y的值，即可求出答案．
（2）通过抛物线的顶点坐标求得（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x的值，即可求出答案．解：
（1）把x=0代入抛物线的解析式
55
，即柱子OA的高度是44
92
=1时，y=,即水流距水平面的最大高度
（2）由题意得：
当x=
42
（1）
得：
y=
（3）把y=0代入抛物线
155
=0，解得，x1=（舍去，不合题意），x2=
224
5
故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外
2
2
得：
x2x
2．
（1）①y
12
x4；②10；
（2）①14.5
；②25
【解析】试题分析：
（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x的值即可；
222
（2）①构造直角三角形利用BW=BC+CW，求出即可；
222
②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：
GF=WF﹣WG，求出即可．
试题解析：
（1）①设抛物线解析式为：
yax2c，∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，
1
a100ac0
∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：
25，∴抛物线解析式
c4c4
为：
y
12
x4；25
12
x4，解得：
x5，∴EF=10米；25
②∵要使高为3米的船通过，∴y3，则3
222
（2）①设圆半径r米，圆心为W，∵BW=BC+CW，∴r2（r4）2102，解得：
r14.5；
②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：
GF=WF﹣WG，即GF=14.5﹣13.5=28，所以
GF=
EF=
2
2
2
222
考点：
1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．
2
三、1．
（1）y=-3x+240；
（2）w=-3x+360x-9600；（3）定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.
【解析】试题分析：
（1）根据题意知销售量y（只）与销售价x（元／只）之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；
2
（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x+360x-9600；
2
（3）求获得最大利润，也就是求函数w=-3x+360x-9600的最大值.试题解析：
（1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；
2
（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x+360x-9600；（3）当x≤60，y随x的增大而减小，
当x=55时，w最大=1125
所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.考点：
（1）一次函数；
（2）二次函数．
2．
（1）w2x2120x1600；
（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.【解析】试题分析：
（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；
（2）用配方法将
（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：
（1）由题意得：
wx20yx202x802x2120x1600，∴w与x的函数关系式为：
w2x2120x1600.
（2）w2x2120x16002x30200，
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.
答：
该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.考点：
1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.3．见解析【解析】
试题分析：
（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入yaxbx得
2
2
ab1.4a0.12
解得，所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x；
9a3b3.6b1.5
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
222
根据题意可列函数关系式为：
W=-0.1m+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（m-6）+6.6，因为-0.1＜0，根据二次函数的性质知当m=6时，W有最大值6.6，试题解析：
（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，∴
ab1.4
9a3b3.6
a0.1
，
b1.5
2
解得
所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x；3分
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
222
则W=-0.1m+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（m-6）+6.6，∵-0.1＜0，
∴当m=6时，W有最大值6.6，
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
考点：
1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质.4．
（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；
（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【解析】试题分析：
（1）根据每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.
（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）w3000同时满足x£25，根据函数图象的性质知道，k<0随x的增大而减小，当x=25时，该函数有最大值时，p有最小值500.
试题解析：
（1）当x=20时，y1x05001020，300?
（1210）=300?
2600，
∴政府这个月为他承担的总差价为600元。
（2）依题意得，w=x-1010x+500=10x2+600x-5000=-10x-30+4000，
a=-10<0，
2
∴当x=30时，w有最大值4000.
∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．（3）由题意得：
10x2+600x-50003000，解得：
x1=20，x2=40.
a=-10<0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：
当20＃x40时，w³3000.
又x£25，∴当20＃x25时，w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p元，\p121010x50020x1000.
k=-20<0，\p随x的增大而减小.
∴当x=25时，p有最小值500.
∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用.
2
5．
（1）（220－10x）；
（2）w10x320x2200（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平
均每周的销售利润最大是320元．【解析】
试题分析：
用含x的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x）个，列出函数关系式w（22010x）（x10），再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知10x14所以
x=1４时，W最大为320.试题解析：
（1）（220－10x）；
（2）w（22010x）（x10）3分
10x2320x22005分w10x2320x2200
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