动量守恒定律中的共速模型.docx
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动量守恒定律中的共速模型
动量守恒定律中的共速模型
（总7页）
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动量守恒定律中的W其模型"
力的观点、动量的观点、能量的观点是力学问题分析中总的思路，通过对多过程问题受力分析抓住特殊状态及状态之间的相互联系，利用动量和能量的解决问题，可以避开中间的的复杂问题。
在动量守恒定律的应用中，两物体相互作用后以相同的速度运动即“V人模型”的题LI出现的频率很高，在这里将这类问题做简单的归纳。
对于"V人模型”中通常是围绕能量的转化为主线，下面分别从以下儿个方面加以分析说明。
1.动能转化为内能
这一类型的问题主要是物体之间存在相对滑动或物体间的完全非弹性碰撞，通过滑动摩擦力做功实现了能量的转化。
例1.如图1所示，质量为M的足够长木板置于光滑水平地面上，一质量为m的木块以水平初
的摩擦因数为“，求:
Q：
速度％滑上长木板，已知木块与木板之间
（1）m的最终速度卩；
（2）m与M相对滑动产生的焦耳热
（3）m在M上相对滑动的距离L。
分析：
m与M之间速度不同，必然存在相对运动，在相互的摩擦力作用下m减速而M加速，当两者速度相同时无相对运动达共速，所以m的最终速度卩即为两者的共同速度片屮对m、M整体分析知，系统所受合外力为零，动量守恒，既然两者出现共速，动能必然要减少，从能量守恒的角度看，减少的动能转化为内能产生焦耳热。
产生的热就其原因看是山于两者的相互摩擦，所以可以利用摩擦力产生热的特点即Q=f.^动/相对得解。
解：
（1）对m、M组成系统受力分析知，其合外力为零，由动量守恒得
（2）对系统山能量守恒得产生焦耳热
Q=—niVy-—（m+M2③
22
（3）山滑动摩擦力生热特点得Q=f・L=pmg・L
变式题1-1•如图1-1所示，在光滑水平面上一质量为m的物块以初速度％
与质量为M的物块发生碰撞后粘在一起，则在两物块碰撞过程中产生的焦耳热Q为多少?
分析：
两物块发生碰撞后“粘在一起”,即碰撞后一共同速度运动，典型的“卩共模型”o象这
类问题属于完全非弹性碰撞，其处理方法大都是采用动量和能量的观点加以分析。
答案：
2（/7?
+M）
2.动能转化为弹性势能丄
例2.如图2所示，一轻弹簧两端连接质量分别为m、M的两滑块，加整个装置置于光滑水平面，弹簧处于自由伸长状态，现给m—水平向右的图J
初速度％,求弹簧的最大弹性势能E-
分析：
对m、M及弹簧组成系统分析受力知，系统的合外力为零，对m、H的运动悄况分析知，弹簧的弹性势能取得最大值，也即弹簧被圧缩到最短时，此时m、M共速。
显然，山动量守恒及能量守恒可解此题。
解：
对m、M及轻弹簧组成系统分析知，系统动量守恒
/nv0={m+A/）v①得：
v=〃八"②
m+M
对系统由能量守恒得弹簧的最大弹性势能Ep=-mv~-［（加+M）,
22
得：
山②、③解得
变式题2-1.如图2-1所示，一轻弹簧两端连接质量分别为m、M的两滑块，整个装置置于光滑水平面，弹簧处于自由伸长状态，现给m—水平向左的初速度仏，求弹占厂必
簧的最大弹性势能耳。
图2・1
解（略）
变式题2-2.如图2-2所示，，质量分别为M和m的两物块用轻弹簧连接，静止在光滑水平面上，且此时弹簧处于自由伸长状态，若一质量为％的子弹以水平初速度射入m中未穿出，求
（1）弹簧的最大弹性势能；％m
►
（2）系统产生焦耳热。
m巳》‘
解（略）图2・2
3.动能转化为重力势能
例3•如图3所示，在光滑水平面上放置一质量为M的足够长的光滑曲面，现有一质量为m的小球以初速度％冲上曲面，则小球能够达到的最大高度h为多少并讨论小球返回曲面左端时的速度
分析：
在m冲上曲面的过程中，对m、H组成系统分析受力知，在水平方向合外力为零，可利用水平方向动量守恒，当m不具有竖直方向速度，即竖直速度为零时，M、m在水平方向上共速，整个过程中系统减少的动能转化为m的重力势能。
肖m到达最大高度时与M具有的共同水平速度
乂整个系统机械能守恒得mgh=-inv^-丄（m+M）v2
22
联立解得"益%
变式题3-1・如图所示，质量为H的小车A置于水平光滑的轨道上，其下端通过质量可忽略的绳将质量为m的货物B悬挂在空中，系统处于静止状态。
若突然给A—水平向右的初速度％,求货物B能摆起的最大高度。
解（略）
上c
/[IB
图3・2
变式题3-2.如图所示，质量均为M的两相同的小车A、B置于光滑水平面上，在B上固定一直角支架，支架的末端通过一细绳悬挂质量为m的小球C,不计直角支架及细绳的质量，若给A—水平初速度％向右运动，且A、B碰撞后粘在一起，求小球C摆过的最大高度h。
解（略）
4.动能转化为电势能
例4•如图所示，质量分别为血、应的带同种电荷的小球A、B置于光滑绝缘的水平面上，现A球具有水平初速度％向B球运动，若A、B始终不相碰，则在A、B靠近的过程中，系统转化的电势能的最大值乙
分析：
A、B系统所受的合外力为零，显然要考虑动量守恒定律，要出现电势能最大，只有在
A、B出现共速之时，因为A、B共速时A、B系统减少的动能最多，故用动量守恒找到共速时的，再利用能量守恒，找到减少的动能也即转化的最大电势能。
解：
对A、B组成系统分析知，系统动量守恒
i•一〃LM
lftA+叫
对系统由能量守恒得最大电势能=-/waVq--（^a+wb>2
22
③
得：
由②、③解得必=_叫〃込.@
2伽A+W）
变式题4-1.如图所示，质量分别为叫、血的带异种电荷的小球A、B置于光滑绝缘的水平面
上，现A球具有水平初速度％背离B球运动，则在A、B远离的过&严两的最大值
£“。
解（略）
通过以上儿种情况的分析讨论可以看出，题目中如果出现了诸如"粘在一起”、'‘未穿出”、
“最长”、“最短”、“最远”、“最近”、“最高”等关键词，其所处的状态通常都是在共速之时。
反过来，如果题LI中需要求解当其达到共速的情景，则需分析是否存在“粘在一起”、“未穿出”、“最长”、“最短”、“最远”、“最近”、“最高”等关键词。
分析出相应的状态，将其归纳为模型”，用共模型”的分析方法基本上就成了一种固定的模式。
1、如图所示，质量为M的物体静止在光滑的水平面上，质量为m的小球以初速度vO水平向右碰撞
物体M,结果小球以大小为vl的速度被水平反弹，物体M的速度为v2,取向右为正方向，则物体M动量的变化量为多少小球m的动量变化量为多少m和M组成的系统动量守恒吗若守恒，请写出其表达式。
总结：
结论:
⑴当ml=m2时，vl‘=0,v2‘=vl,两球碰撞后交换了速度。
（2）当ml〉m2时,vlf>0,v2z>0,碰撞后两球都向前运动。
⑶当ml0,碰撞后质量小的球被反弹回来。
④乃十”乙0W十,即相互作用前后
系统内各物体的动量都在同一直线上时，作用前总动量写作用后总动量相零。
（3）常见的几种守恒形式及成立条件=
1理想寺恒二系统不受夕卜力或所受外力的合力为
2近似寺恒二系统所受外力虽不为零，但内力谨大于外力。
2：
那卅碰箍的规律
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守垣。
以质量为加”速度为V±的小球写质量为加2的静止小球发生正面沖性碰撞为例，则有
f9tlV1=f9f1V±9+”^2^2"
（2）
由①②得I'=怨二占
:
撞，则根据动量守恒和机
1•分析碰擁冋题的三个依据
（1）动量守恒，BPp!
+p2=px9+p2ro22勺
（2）
（3）速度要合理。
动能不增加，即瓯i+EgNEf+£*』或£；i+盒J
瓠则碰掠之后二者连在
1碰前两物体同向，则空A伽；碰后，原来在前的物社守恒定律'知〃2=（心体速度一定增大，且伽，工怕=
2两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都
不改变。
思考1、质量为m、速度为v
世的
B球发生正碰。
碰撞可能是弹性的,?
也勰蜀握圈，脚匕，碰硒§值。
请你分析：
碰撞后B球的速度勰胡毬萨可以畀皿’袖
（1）
（2）（3）
练习2、质量为m的物块甲以3m/s的速度在光滑水平面上运动，有一轻弹簧固定其上，另一质量也为m的物块乙以4m/s的速度与甲相向运动，如图1所示。
则（）
A.屮、乙两物块在弹簧压缩过程中，由于弹力作用，系统动量不守恒
B.当两物块相距最近时，甲物块的速率为零
C.当中物块的速率为1m/s时，乙物块的速率可能为2m/s,也可能为0
D.甲物块的速率可能达到5m/s
解析：
屮、乙两个物块通过弹簧发生相互碰撞，遵循动量和能量守恒，当两个物块离开弹簧时交换速度，即屮的速度为4m/s,乙的速度为3m/s,方向相反，且整个碰撞过程中中的速度不可能大于4m/s,乙的速度不可能大于3m/s,当两物块相距最近时速度相等为m/s,所以A、B、D错，C正确。
3、质量为2kg的小平板车B,静止在光滑水平面上，板的一端静止着一物体A,MA=2kg,如图所示，一颗子弹质量为20名，以600m/s的水平速度射穿A后，速度变为100m/s,若A、B间动摩擦因数为，g=10m/s2,求：
（1）子弹射穿A时，A的速度.
（2）当A与B相对静止时，它们的共同速答案：
VA=5m/sV=s
4.
解析：
（1）B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于爪B.C三者组成的系统动虽守恒.有
（mA+mB）v=（mA+mB+mc）vA
（2）B、C碰撞时B、C组成的系统动虽守恒■设碰后瞬间&C两者速度为卩'•则
设物块A速度为g时弹簧的弹性势能最大为E和根据能虽守恒
5二*（叫+陶+*型才2_1+%•+购力诂二12』
⑶由系两物块.4、〃用盛弹簧相连，殒量均为'2炬，初始时弹簧处于原长,A、〃两物块都以p=6m/s的速度在光滑的水平地面上运设a的动,质量为4滋的物块C静止在前方，如图所示.〃与C碰撞后二者会粘在一起运动.求在以后的运动屮：
鸟二丄，
（1）当弹簧的弹性势能最大时,物块月的速度为多大？
2
（2）系统屮弹性势能的最大值是多少？
<3）.4物块的速度有可能向左吗？
简略说明理由.
El=Sp+—（加k+陶凭+型=487
实际上系统的机械能2
根据能虽守恒定律.芯'E1是不可能的°故A不可能向左运动。
（2013.35）如图18,两块相同平板P”匕置于光滑水平面上，质量均为m。
匕的右端固定一轻质
弹簧，左端A与弹簧的自由端B相距L。
物体P置于匕的最右端，质量为2m可看作质点。
匕与P以
共同速度％向右运动，与静止的匕发生碰撞，碰撞时间极短。
碰撞后玖与匕粘连在一起。
P圧缩弹
簧后被弹回并停在A点（弹簧始终在弹性限度内）。
P与间的动摩擦因数为口。
求
（1）Pl、P2刚碰完时的共同速度乙和P的最终速度％；
（2）此过程中弹簧的最大压缩量X和相应的弹性势能
35考点：
动量守恒、能量守恒、临界分析
解析：
（1）P1和P:
碰撞动量守恒：
mvo=（m+m）Vi①得：
引=丄v（）
2
P在P：
上滑行过程Pl、P2、P系统动量守恒:
2mv0+2mvi=4mv2②得出：
v2=-|
（2）pip：
p第一次等速时弹簧压缩量最大，由能量守恒得
^•2mg（L+x）+Ep=i（2/?
z）v02+y（2/w）v12-1（4/h）v22乙乙乙
P刚进入P2到PlP2P第二次等速时有能量守恒得
“•2ing（2L+lx）=—（2/w）v（）2+—（2in）v}2-—（4/n）v22④
222
由③©得：
"卫】—LE„=^
32“卩16
1ZUR分）如图所示.-KfiM=1.5kg的实鲨用半时停存览滑的术卩地面上，车身平板上表面光滑且离地面的离度力=1.25m,车左端放有一质fif为w-=2kg的物块乩右端囲定一弹敎.车左边紧旅一个因定在竖直面内的半径为R=LSm的+圆弧形光滑孰逍•轨逋底端
的切线水肛且高度与车表而相平•现启质虽为W1=1kg的物块川物块力山眉可视为质点〉从圆弧轨道的灰端由静止禅放•然后勺B发生碰撞•蘭物块錢后立即粘在一起不再分开.JkHlt平仮乍上淆行,并与固定在乎板乍右端的水平轻质用后被弹回.取g=10n虫，谊A跡时间极更可以忽略.试求：
1
仃】物块八、B磯掩右的麟冋两物块共同运动速度的大小"谓
弹费在乐缩过程中所具有的械大禅性势能垢.1
（3）两物块落地时，它们的落地点匀平扳车左端的水半距离＞.:
块A从為H紈逋巒清MLi时的速度"一=Sm・・t<1孙〉
A・启理结.J»J,i=Cm（-4-^JvC2分］
町車為^"=2甲/玛（1
C2>弄漢股笔封最垣对'育铁块与小车共詞速度J■由詁畳守！
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Cmt+jwy■Fwr-+M》tZ«2介7
3牝■借事的it大卉苣勢tt.片•■古5执十沏丫）1/1"。
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心〉连彌㈱块与龚H兮再后■飽块的連便为S•乎扳玉牛速度为化.忙im\Pxnw）u=txuj+*叫）巾+耐5©2*分）
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粉块从子扳车上请出至下簷河地面跛时阿为^Vy=°5s心分）則育舸块蓉迪时•诉担点与平嶽车左维洒水卩充离为L
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