中考三角形集锦.docx
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中考三角形集锦
中考《三角形》（解答）试题集锦
三、计算与证明
57.（三明市梅列区）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E是BC延长线上一点，D为AC边上的一点，且CE=CD，你认为AE与BD相等吗？
请说明理由.
58.（北京市）已知：
如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC.求证：
BC=EF.
59.（北京市）已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=45°，BE⊥CD于点E，AD=1，CD=
.求：
BE的长.
60.（福建泉州市）如图1，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为
．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.
①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:
BD=2:
3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；
②如图3，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点．若∠POP′＝
，试求AA′的长．
61．（广州市）如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B---D---A---E，路线2是B---C---F---E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．
62．（绍兴市）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？
⑴阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）.
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：
△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.
证明：
△ABC≌△A1B1C1.
（请你将下列证明过程补充完整）
证明：
分别过点B、B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，则∠BDC=∠B1D1C1=90o.∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1.∴BD=B1D1.
⑵归纳与叙述：
由
（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.
63．（福建晋州）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ACD=30°，CD平分∠ACB.求∠B的度数.
64．（常德市）如图，P是等边△ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：
PB：
PC＝3：
4：
5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
65．（襄樊市）如图
（1）所示,把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,将重合部分剪去,得到△ABF和△EDF.
（1）试判断△ABF与△EDF是否全等?
并加以证明；
（2）将△ABF与△EDF不重合地拼在一起,可拼成特殊三角形与特殊四边形.在图
（2）中,按要求将拼图补画完整.要求:
①任选一图用尺规作图,保留作图痕迹；②其余两图画图工具不限.
66．（云南省）已知：
如图，AB//DE，且AB=DE.
（l）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF,你添加的条件是；
（2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF.
67．（武汉市）如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE.求证：
AB=CD.
68．（扬州市）如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.
⑴上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
⑵选择第⑴小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
69．（温州市）如图，点D、C在BF上，AB∥EF，∠A=∠E，BC=DF.
求证：
AB=EF．
70．（浙江省）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2,请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD,并给出证明.你添加的条件是:
_______．
71．（诸暨市）严先生能言善辨，他说，他能证明图中的直角等于钝角.请你仔细审阅他的证明过程，指出错误所在.
如图，分别作AB、CD的垂直平分线ME、NE，两线相交于点E.连接AE、BE、CE和DE，那么根据垂直平分线的性质，得到AE=BE,CE=DE.又可得AC=BD，所以△EAC≌△EBD，由此得∠EAC=∠EBD.另一方面，在△EAB中，从AE=BE，得到∠EAB=∠EBA，将以上两式相减，最后得到∠BAC=∠ABD.即：
直角等于钝角！
72.（重庆市）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.求证：
（1）△AEF≌△BCD；
（2）EF∥CD.
73．（浙江省）已知：
如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD
于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．
求证：
∠P=90°．
74．（内江市）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：
①AB=AC；②AD=AE；③1=∠2；④BD=CE.
请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）.
75．（日照市）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．
76．（徐州市）已知：
如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E.
求证：
∠C＝∠CDE.
77．（江阴市）已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD.
（1）求证：
△AGE≌△DAB；
（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数.
78．（大连市）如图，已知∠1=∠2，AB=AC．求证：
BD=CD.（要求：
写出证明过程中的重要依据）
四、三角与函数
79．（淄博市）如图，在△ABC中，AB=AC=1,点D、E在直线BC上运动，设BD=x,CE=y.
（1）如果∠BAC=30°,∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，
（1）中y与x之间的函数关系式还成立.试说明理由.
80．（常德市）把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图①，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP·CQ＝_______________；
（2）将三角板DEF由图①所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP·CQ的值是否改变？
说明你的理由；
（3）在
（2）的条件下，设CQ＝x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图②，图③供解题用）
81．（云南省楚雄州双柏县）如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．
（1）当CD=1时，求点E的坐标；
（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？
若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．
82．（重庆市）如图①所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图②所示）.将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移.在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.
（1）当△AC1D1平移到如图③所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1和△BC2D2重复部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于
（2）中的结论是否存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的
？
若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.
五、作图题
83．（浙江省）已知Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）.
①作∠BAC的平分线AD交BC于D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；
③连接ED；
（2）在
（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形：
△________∽△________；△________≌△________.并选择其中一对加以证明.
84.（锦州市）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是（如图）：
画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于
AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB.则△ABD就是直角三角形.
（1）请你说明其中的道理；
（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°（不写作法，保留作图痕迹）.
85．（江苏省淮安市）已知：
线段m、n.
（1）用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m,腰等于n（保留作图痕迹，不写作法、不证明）；
（2）用至少4块所作三角形，拼成一个轴对称多边形（画出示意图即可）．
六、探究题
86．（广州市）在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△AB1C1，使点Cl落在直线BC上（点Cl与点C不重合）.
（1）如图①，当∠C>60°时，写出边ABl与边CB的位置关系，并加以证明；
（2）当∠C=60°时，写出边ABl与边CB的位置关系（不要求证明）；
（3）当∠C<60°时，请你在图②中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在
（1）、
（2）中得出的结论是否还成立?
并说明理由．
87．（武汉市）已知：
将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点.将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°＝，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H.
（1）当α＝30°时（如图②），求证：
AG=DH；
（2）当α＝60°时（如图③），
（1）中的结论是否成立？
请写出你的结论，并说明理由；
（3）当0°＜α＜90°时，
（1）中的结论是否成立？
请写出你的结论，并根据图④说明理由.
88．（锦州市）如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题
（1）中猜想的结论是否仍然成立？
若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
89．（旅顺口）如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．
⑴求图①中∠APD的度数；
⑵图②中，∠APD的度数为___________，图③中，∠APD的度数为___________；
⑶根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
90．（旅顺口）操作：
如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
探究：
线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
说明：
⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①AN＝NC（如图②）； ②DM∥AC（如图③）．
附加题：
若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．
91．（河北省）探索：
在如图①至图③中，△ABC的面积为a．
（1）如图①,延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；
（2）如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△CDE的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图②的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图③）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图③），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图④）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？
92．（江西省南昌市）问题背景：
课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN；
然后运用类似的思想提出了如下命题：
③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN.
任务要求：
（1）请你从①,②，③三个命题中选择一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索：
①如图4，在正n（n≧3）边形ABCDEF
中，M，N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立（不要求证明）
②如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立，若成立，请给予证明．若不成立，请说明理由.
（1）我选 _______.
证明：
参考答案或提示
57．相等.证△ACE≌△BCD即可
58．证△ABC≌△DEF即可
59．略解：
过D作DF⊥BC，易求FC=2，因此BC=3，所以BE=
60．答案：
⑴BO=2，AO=
⑵①
②
61．相等.因为由已知得BD=FC，EF=AE，BC=FD=AD
62．略解：
⑴由AB＝A1B1，∠ADB＝∠AAD1B1＝90°，得△ADB≌△AAD1B1，∠A＝∠A1.又∠C＝∠C1，BC＝B1C1，得△ABC≌△A1B1C1
⑵若△ABC和△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1，则△ABC≌△A1B1C1
63．50°
64．略解：
⑴易证△ABP≌△CBQ ⑵直角三角形.由⑴得AP=CQ，BP=PQ，易得PC2=PQ2+CQ2
65．解:
⑴全等.∠A＝∠C＝∠E，AB=CD=DE，∠AFB＝∠EFD
66．答案不唯一.∠A＝∠D或AC∥DF
67．易证：
△ABE≌△CDE
68．解：
⑵①③或②③ ⑵略
69．易证：
△ABC≌△EFD
70．答案不唯一.∠C＝∠D或AD=BC或∠CAD＝∠DBC.证明略
71．解：
图形错误
72．用边角边定理证明全等.由全等得∠EFA＝∠CDB，进而得出EF∥CD
73．证明：
略
74．解：
由①②③得④（边角边）或由①②④得③（边边边）
75．证明：
（1）在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF是等腰直角三角形，
∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF.∴△AEO≌△BFO.∴AE=BF
（2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO.由
（1）知∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=
∠AOB=90ｏ.∴AE⊥BF．
76．证明：
由AB=AC，得∠B＝∠C.DE∥AB，得∠EDC＝∠B，故∠C＝∠CDE
77．解：
（1）∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴△AGD是等边三角形，
AG＝GD＝AD，∠AGD＝60°.∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝AB.
∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD，∴△AGE≌△DAB
（2）由
（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG.
∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形.∴EF＝BD.∴EF＝AE．
∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD＋∠DBC＝∠AEG＋∠DEF,即∠AEF＝∠ABC＝60°.
∴△ABC是等边三角形，∠AFE＝60°
78．证明：
用边角边易证△ABD≌△ACD
79．略解：
⑴△DAB与△EAC相似，得y=
⑵2β=180°+α
80．答案：
⑴AP·CQ＝BD·AD＝BD2=8
⑵∠ADP=α，∠EDF＝45°，则∠CDQ＝135°－α，因此∠DQC＝α，所以△APD∽△CDQ，则AP·CQ＝CD·AD＝8
⑶情形1：
当0°＜α＜45时，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N.
∴DG＝DN＝2.
由
（2）知：
AP·CQ＝8，得AP＝
.
于是y＝
AB·AC－
CQ·DN－
AP·DG
.
情形2：
当45°≤α＜90°时，0＜CQ≤2时，即0＜x≤2，此时两三角板重叠部分为△DMQ.
由于
，易证△PBM∽△DNM，
∴
∴MQ＝4－BM－CQ＝4－x－
，于是y=
MQ·DN＝4－x－
（0＜x≤2）.
综上所述，当2＜x＜4时，y=8－x－
；
当0＜x≤2时，y=4-x-
（或y=
）
81．解：
（1）正方形OABC中，因为ED⊥OD，即∠ODE=90°，
所以∠CDO+∠EDB=90°，即∠COD=90°-∠CDO，而∠EDB=90°-∠CDO，
所以∠COD=∠EDB.又因为∠OCD=∠DBE=90°，
所以△CDO∽△BED.所以
.则AE＝4-
因此点E的坐标为（4，
）．
（2）存在S的最大值．由于△CDO∽△BED，所以
BE=t－
t2，
×4×（4＋t－
t2）=
．
故当t=2时，S有最大值10．
82.解：
（1）D1E＝D2F.
因为C1D1∥C2D2，所以∠C1＝∠AFD2.
又因为∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，
所以，DC＝DA＝DB，即C1D1＝C2D2＝BD2＝AD1.
所以，∠C1＝∠A.所以∠AFD2＝∠A.
所以，AD2＝D2F. 同理BD1＝D1E.
又因为AD1＝BD2，所以AD2＝BD1.所以D1E＝D2F.
（2）因为在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以由勾股定理，得AB＝10.
即AD1＝BD2＝C1D1＝C2D2＝5.
又因为D2D1＝x，所以D1E＝BD1＝D2F＝AD2＝5－x,所以C2F＝C1E＝x.
在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，为
.
设△BED1的BD1边上的高为h，由探究，得△BC2D2∽△BED1，所以
.
所以
.
又因为∠C1+∠C2=90°，所以∠FPC2=90°.
又因为∠C2=∠B，sinB=
cosB=
.
所以PC2=
x，PF＝
x，
.
而y=
所以
（0≤x≤5）.
（3）存在.当y=
S△ABC时，即
.
整理，得3x2-20x+25=0.解得，x1=
x2=5.
即当x1=
或x2=5时，重叠部分的面积等于原
面积的
.
83．略
84．解：
（1）理由：
连接BC.由作图可知，AC=BC=CD，∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB.
∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°，∴2∠ABC+2∠CBD=180°.
∴∠ABC+∠CBD=90°，即∠ABD=90°.∴△ABD是直角三角形.
（2）如图所示，则△EFG就是所求作的直角三角形，其中∠EGF=30°.
85．
（1）略
（2）如图
86．平行.易证∠B1AB=∠B
87．证明：
（1）∵∠A＝∠ADM＝30°，∴AM＝MD.
∵∠BDC＝90°－∠ADM＝60°＝∠B，∴CB＝CD.
∵MG⊥AD，NH⊥BD，∴AG＝
AD，DH＝
BD.∵AD＝BD，∴AG＝DH.
（2）解结论成立.∵∠ADM＝60°，∴∠BDN＝30°.
在△AMD和△DNB中，∵∠ADM＝∠B，AD＝DB，∠A＝∠BDN，∴△AMD≌△DNB.
∴AM＝DN.
∵MG⊥AD，NH⊥BD，∴△AMG≌△DNH.∴AG＝DH.
（3）结论成立.∵Rt△AGM∽Rt△NHB,Rt△DGM∽Rt△NHD,
∴
∴
∴
∴AG＝DH
88．
（1）猜想：
AF=BD且AF⊥BD.
证明：
设AF与DC交点为G.∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF.∴△ACF≌△BCD.∴AF=BD.
∴∠AFC=∠BDC.∵∠AFC+∠FGC=90°,∠FGC=DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90°.∴AF
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