中考三角形集锦.docx

1、中考三角形集锦中考三角形（解答）试题集锦三、计算与证明57.（三明市梅列区）如图，已知ABC中，ACB=90，AC=BC，E是BC延长线上一点，D为AC边上的一点，且CE=CD，你认为AE与BD相等吗？请说明理由. 58.（北京市）已知：如图，ABED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC.求证：BC=EF.59.（北京市）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，C=45，BECD于点E，AD=1，CD=.求：BE的长.60.（福建泉州市）如图1，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角为(1)求AO与BO的长；(2)若梯子顶端A沿NO下滑，

2、同时底端B沿OM向右滑行.如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；如图3，当A点下滑到A点，B点向右滑行到B点时，梯子AB的中点P也随之运动到P点若POP，试求AA的长61（广州市）如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，ABDC，BCDF从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B-D-A-E，路线2是B-C-F-E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明62（绍兴市）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显

3、然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略).对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：ABC、A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，C=C1.证明：ABCA1B1C1.(请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点B、B1作BDCA于D，B1D1C1A1于D1，则BDC=B1D1C1=90o.BC=B1C1，C=C1，BCDB1C1D1.BD=B1D1.归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论.63（福建晋州）如图，在ABC中，A=70，ACD=30，CD平分ACB.求B的度数.64（常德市）如图，P是等边ABC

4、内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ60，且BQBP，连结CQ（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由65（襄樊市）如图(1)所示,把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,将重合部分剪去,得到ABF和EDF.(1)试判断ABF与EDF是否全等?并加以证明；(2)将ABF与EDF不重合地拼在一起,可拼成特殊三角形与特殊四边形.在图(2)中,按要求将拼图补画完整.要求:任选一图用尺规作图,保留作图痕迹；其余两图画图工具不限.66（云南省）已知：如图，AB/DE，且AB=DE. (l)请你只添

5、加一个条件，使ABCDEF,你添加的条件是 ；(2)添加条件后，证明ABCDEF.67（武汉市）如图，AC和BD相交于点E，ABCD，BE=DE.求证：AB=CD.68（扬州市）如图, ABC中, D、E分别是AC、AB上的点, BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD. 上述三个条件中, 哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)； 选择第小题中的一种情形, 证明ABC是等腰三角形.69（温州市）如图，点D、C在BF上，ABEF，A=E，BC=DF.求证：AB=EF70（浙江省）如图，ABC与ABD中， AD与BC相交于O点，1=2,请你添加

6、一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD,并给出证明.你添加的条件是: _71（诸暨市） 严先生能言善辨，他说，他能证明图中的直角等于钝角.请你仔细审阅他的证明过程，指出错误所在.如图，分别作AB、CD的垂直平分线ME、NE，两线相交于点E.连接AE、BE、CE和DE，那么根据垂直平分线的性质，得到AE=BE,CE=DE.又可得AC=BD，所以EACEBD，由此得EAC=EBD. 另一方面，在EAB中，从AE=BE，得到EAB=EBA，将以上两式相减，最后得到BAC=ABD.即：直角等于钝角！ 72. （重庆市）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF,AE=BC

7、, 且 AEBC.求证：(1)AEFBCD；(2) EFCD.73（浙江省）已知：如图，直线ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P求证：P=9074（内江市）如图，在ABD和ACE中，有下列四个等式：AB=AC； AD=AE； 1=2；BD=CE.请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）.75（日照市）如图，已知，等腰RtOAB中，AOB=90o，等腰RtEOF中，EOF=90o，连结AE、BF求证：（1）AE=BF；（2）AEBF76（徐州市）已知：如图，ABC中，ABAC，D为BC上一点，过点

8、D作DEAB交AC于点E.求证：CCDE.77(江阴市)已知，如图，ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DGBC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDC，连接AE、BD.（1）求证：AGEDAB；（2）过点E作EFDB，交BC于点F，连AF，求AFE的度数.78（大连市）如图，已知1 = 2，AB = AC求证：BD = CD. （要求：写出证明过程中的重要依据）四、三角与函数79（淄博市）如图，在ABC中，AB=AC=1,点D、E在直线BC上运动，设BD=x,CE=y.（1）如果BAC=30,DAE=105，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果BAC的度数为，DAE的度数为，

9、当、满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立.试说明理由.80（常德市）把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中ABCDEF90，CF45，ABDE4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q（1）如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证APDCDQ此时，APCQ_； （2）将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中090，问APCQ的值是否改变？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，设CQx，两块三角板重

10、叠面积为y，求y与x的函数关系式（图，图供解题用）81（云南省楚雄州双柏县）如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE （1）当CD=1时，求点E的坐标；（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由82（重庆市）如图所示，一张三角形纸片ABC，ACB=90，AC=8，BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形(如图所示).将纸片AC1D

11、1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移.在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.(1)当AC1D1平移到如图所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；(2)设平移距离D2D1为x，AC1D1和BC2D2重复部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x，使得重复部分面积等于原ABC纸片面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.五、作图题83（浙江省）已知RtABC中，C=90.（1）根据要求作图（尺规作图，

12、保留作图痕迹，不写画法）. 作BAC的平分线AD交BC于D；作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；连接ED；（2）在（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形：_；_.并选择其中一对加以证明.84.（锦州市）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是(如图)：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB.则ABD就是直角三角形.(1)请你说明其中的道理；(2)请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30(不写作

13、法，保留作图痕迹).85（江苏省淮安市）已知：线段m、n.(1)用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m,腰等于n(保留作图痕迹，不写作法、不证明)；(2)用至少4块所作三角形，拼成一个轴对称多边形(画出示意图即可)六、探究题86（广州市）在ABC中，AB=BC，将ABC绕点A沿顺时针方向旋转得AB1C1，使点Cl落在直线BC上(点Cl与点C不重合).(1)如图，当C60时，写出边ABl与边CB的位置关系，并加以证明；(2)当C=60时，写出边ABl与边CB的位置关系(不要求证明)；(3)当C60时，请你在图中用尺规作图法作出AB1C1(保留作图痕迹，不写作法)，再猜想你在(1)、(2)中得出

14、的结论是否还成立?并说明理由87（武汉市）已知：将一副三角板(RtABC和RtDEF)如图摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点.将RtDEF绕点D顺时针方向旋转角(090，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H.（1）当30时(如图)，求证：AG=DH；（2）当60时(如图)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当090时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图说明理由.88（锦州市）如图，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)

15、观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.89（旅顺口）如图、中，点E、D分别是正ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE = CD，DB交AE于P点求图中APD的度数；图中，APD的度数为_，图中，APD的度数为_；根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由9

16、0（旅顺口）操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；在你经历说明的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明ANNC（如图）；DMAC（如图）附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图中画出图形，并说明理由91（河北省）探索：在如图至图中，ABC的面积为a （1）如图,

17、 延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA若ACD的面积为S1，则S1=_（用含a的代数式表示）；（2）如图，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE若CDE的面积为S2，则S2=_（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到DEF（如图）若阴影部分的面积为S3，则S3=_（用含a的代数式表示）发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF（如图），此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的_倍应用：去年在面积为10m2

18、的ABC空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC向外进行两次扩展，第一次由ABC扩展成DEF，第二次由DEF扩展成MGH（如图）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？92(江西省南昌市)问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON=60，则BM=CN；如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON=90，则BM=CN；然后运用类似的思想提出了如下命题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于

19、点O，若BON=108，则BM=CN.任务要求：(1)请你从,，三个命题中选择一个进行证明；(2) 请你继续完成下面的探索：如图4，在正n(n3)边形ABCDEF中，M，N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当BON等于多少度时，结论BM=CN成立(不要求证明)如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，BON=108时，试问结论BM=CN是否还成立，若成立，请给予证明若不成立，请说明理由.(1)我选 _.证明：参考答案或提示57相等.证ACEBCD即可58证ABCDEF即可59略解：过D作DFBC，易求FC=2，因此BC=3，所以BE=6

20、0答案：BO=2，AO=61相等.因为由已知得BD=FC，EF=AE，BC=FD=AD62略解：由ABA1B1，ADBAAD1B190，得ADBAAD1B1，AA1.又CC1，BCB1C1，得ABCA1B1C1若ABC和A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，ABA1B1，BCB1C1，CC1，则ABCA1B1C1635064略解：易证ABPCBQ直角三角形.由得AP=CQ，BP=PQ，易得PC2=PQ2+CQ265解:全等.ACE，AB=CD=DE，AFBEFD66答案不唯一.AD或ACDF67易证：ABECDE68解：或略69易证：ABCEFD70答案不唯一.CD或AD

21、=BC或CADDBC.证明略71解：图形错误72用边角边定理证明全等.由全等得EFACDB，进而得出EFCD73证明：略74解：由得（边角边）或由得（边边边）75证明：（1）在AEO与BFO中，RtOAB与RtEOF是等腰直角三角形，AO=OB，OE=OF，AOE=90-BOE=BOF. AEOBFO.AE=BF （2）延长AE交BF于D，交OB于C，则BCD=ACO.由（1）知OAC=OBF，BDA=AOB=90.AEBF76证明：由AB=AC，得BC.DEAB，得EDCB，故CCDE77解：（1）ABC是等边三角形，DGBC，AGD是等边三角形 ，AGGDAD，AGD60.DEDC，GEG

22、DDEADDCACAB.AGDBAD，AGAD，AGEDAB （2）由（1）知AEBD，ABDAEG.EFDB，DGBC，四边形BFED是平行四边形.EFBD.EFAE DBCDEF，ABDDBCAEGDEF,即AEFABC60.ABC是等边三角形，AFE60 78证明：用边角边易证ABDACD79略解：DAB与EAC相似，得y=2=180+80答案：APCQBDADBD2=8ADP=，EDF45，则CDQ135，因此DQC，所以APDCDQ，则APCQCDAD8情形1：当045时，2CQ4，即2x4，此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DGAP于G，DNBC于N.DGDN2. 由（2

23、）知：APCQ8，得AP.于是 yABACCQDNAPDG.情形2：当4590时，0CQ2时，即0x2，此时两三角板重叠部分为DMQ.由于，易证PBMDNM，MQ4BMCQ4x，于是y=MQDN4x （0x2 ).综上所述，当2x4时，y=8x；当0x2时，y=4-x-(或y=)81解：(1) 正方形OABC中，因为EDOD，即ODE =90，所以CDO+EDB=90，即COD=90-CDO，而 EDB =90-CDO，所以COD =EDB. 又因为OCD=DBE=90，所以CDOBED.所以.则AE4-,因此点E的坐标为（4，）(2) 存在S的最大值由于CDOBED，所以,BE=tt2， 4

24、(4tt2)=故当t=2时，S有最大值1082.解：（1）D1ED2F.因为C1D1C2D2，所以C1AFD2.又因为ACB90，CD是斜边上的中线，所以，DCDADB，即C1D1C2D2BD2AD1. 所以，C1A.所以AFD2A. 所以，AD2D2F.同理BD1D1E.又因为AD1BD2，所以AD2BD1.所以D1ED2F. （2）因为在RtABC中，AC8，BC6，所以由勾股定理，得AB10. 即AD1BD2C1D1C2D25.又因为D2D1x，所以D1EBD1D2FAD25x,所以C2FC1Ex.在BC2D2中，C2到BD2的距离就是ABC的AB边上的高，为.设BED1的BD1边上的高

25、为h，由探究，得BC2D2BED1，所以.所以.又因为C1+C2=90，所以FPC2=90.又因为C2=B，sinB=,cosB=.所以PC2=x，PFx ，.而y=,所以(0x5).(3)存在.当y=SABC时，即.整理，得3x2-20x+25=0.解得，x1=,x2=5.即当x1=或x2=5时，重叠部分的面积等于原面积的.83略84解：(1)理由：连接BC.由作图可知，AC=BC=CD，A=ABC，CBD=CDB. A+ABC+CBD+CDB=180，2ABC+2CBD=180. ABC+CBD=90，即ABD=90.ABD是直角三角形. (2)如图所示，则EFG就是所求作的直角三角形，其

26、中EGF=30.85（1）略（2）如图86平行.易证B1AB=B87证明：（1）AADM30，AMMD. BDC90ADM60B，CBCD.MGAD，NHBD，AGAD，DHBD.ADBD，AGDH.（2）解结论成立.ADM60，BDN30. 在AMD和DNB中，ADMB，ADDB，ABDN，AMDDNB.AMDN.MGAD，NHBD，AMGDNH.AGDH.（3）结论成立.RtAGMRtNHB,RtDGMRtNHD,AGDH88(1)猜想：AF=BD且AFBD. 证明：设AF与DC交点为G. FC=DC，AC=BC，BCD=BCA+ACD，ACF=DCF+ACD，BCA=DCF=90，BCD=ACF.ACFBCD.AF=BD.AFC=BDC.AFC+FGC=90, FGC=DGA，BDC+DGA=90.AF