随机事件与概率习题.docx

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随机事件与概率习题

课题：

第一章随机事件与概率总复习

教学目的：

使学生系统的掌握第一章得重点内容

重点：

知识点的回顾

难点：

应用混合知识点做题

基本能力：

可以分清楚不同类型概率的计算方法

课的类型：

复习课

教学过程

一、组织教学

检查出席，相互问好

二、讲新课

第一章习题课

一、知识点归纳

1、事件之间的关系与事件的运算（包含、并、交、差、互斥、互逆）

2、事件的运算法则

2、古典概型的概率定义及计算

3、概率的性质

4、条件概率及其计算公式

5、与条件概率有关的三个公式:

乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。

6、事件的独立性

7、贝努力概型

详细讲解：

1、事件之间的关系有7种：

（1）包含关系--如果事件A的发生必然导致事件B的发生，则称事件B包含事件A，或称事件A是事件B的子事件，记作A

B或B

A。

（2）相等关系—如果

和

同时成立，则称事件

与

相等，记为

。

（3）事件的和（并）--“二事件A与B中至少有一个事件发生”，这样的一个事件称为事件A与B的和（或并），记作

（或A+B）。

（4）事件的积（交）--“二事件A与B同时发生”这样的事件称为事件A与B的积（或交），记作

（或AB）。

AB是由既包含在A中又包含在B中的试验结果构成。

（5）事件的差—“事件A发生而事件B不发生”这样的事件称为事件A与B的差，记作A-B。

A-B是由所有包含在A中而不包含在B中的试验结果构成，即A-B=A-AB。

（6）事件的互不相容（互斥）--如果事件A与事件B不能同时发生，即AB=

，则称事件A与B互不相容（或互斥）。

互不相容事件A与B没有公共的样本点。

（7）事件的对立（互逆）--若A是一个事件，令

，称

是A的逆事件（或对立事件）。

这说明A与

中必然有一个发生，且仅有一个发生，即事件A与

满足条件：

A

=

，A

=

。

2、（a）交换率：

A

B=B

A，AB=BA；

（b）结合率：

（A

B）

C=A

（B

C），（AB）C=A（BC）

（c）分配率：

A（B

C）=AB

AC，A

（BC）=（A

B）（A

C）

（d）德·摩根（DeMorgan）律：

=

，

=

3、古典概型：

具有

（1）全部基本事件的个数是有限的；

（2）每个基本事件发生的可能性是相等的。

这样两个特点的随机试验模型称为古典概型。

古典概型的计算方法（概率的古典定义）：

对于给定的古典概型，若样本空间中基本事件总数为

，事件

包含

个基本事件，则事件

的概率为

4、概率的性质：

（1）对于任一事件

，有

（2）

（3）（互斥事件的概率加法公式）：

如果两个事件

与

互补相容，则

（4）（逆事件的概率公式）：

对于任一事件

（5）（概率的加法公式）：

对于任意两个事件

与

，有

5、条件概率：

如果事件

，

是同一试验的两个随机事件，则称在事件

发生的条件下，事件

发生的概率为条件概率，记为

。

计算方法：

6、

乘法公式：

【用于计算两个事件的交事件的概率的一种方法】

乘法公式的推广：

全概率公式：

设设事件

，

，

，

构成完备事件组，

，则对任意事件

，有

【用于计算比较发杂且可以分解为几个若不相关的简单事件之和的事件的概率的一种方法，其关键是找到导致事件B发生的所有互不相容的事件（完备事件组），事件B的发生要受

，

，

，

的影响，因而可将B分解成若干个互不相容的事件，只要知道了各种原因

，

，

，

发生的概率以及在各种原因发生的条件下事件B发生的概率】

贝叶斯公式：

设事件

，

，

，

构成完备事件组，

，则对任意事件

，有

【用于计算在观察事件B发生的条件下，导致B发生的每个原因的概率】

7、两个事件的独立性：

如果事件A的发生不影响事件B发生的概率，即

，则称事件B对事件A是独立的。

事件的独立性的性质：

若事件B对事件A独立，且

，则事件

对事件

也是独立的，即事件的独立是相互的。

事件

与事件

相互独立的充要条件

如果事件

与事件

相互独立，则有

，

，

8、有限个事件的独立性的性质：

（1）

（2）

9、贝努力试验：

如果构成N次独立试验的每一次试验都只有两个可能结果：

事件A发生或不发生（

），并且每次试验中事件A发生的概率都不变，则称这样的n次独立试验为贝努力概型。

计算方法：

在

重贝努力试验中，若事件

发生的概率为

（

），则在

次试验中，事件

恰好发生了

次得概率为

【用于计算事件

在N次重复试验中出现

次得概率】

二、习题讲解

1、指出下列事件中那些是必然事件、不可能事件、随机事件？

（1）某地明年5月1日最高温度不低于

；随机事件

（2）从一副扑克牌中任取一张是红桃；随机事件

（3）某公交车站有5人在候车；随机事件

（4）当

时，曲线

开口向下；不可能事件

（5）上抛一物体，经过一段时间物体落在地面上。

必然事件

2、设

为是三个基本事件，试将下列事件用

的运算式表示：

（1）

发生，但

不发生；

（2）

都发生；

（3）

都不发生；

（4）

至少有一个发生；

（5）

中不多于一个发生；

（6）

恰有两个发生；

（7）

中至少有两个发生。

3、写出下列随机试验的样本空间

（1）从甲乙丙丁4为学生中推选2名参加数学竞赛，其中一位参加省级竞赛，另一个参加国家级竞赛；

（2）3枚硬币同时投掷一次，

表示“第

枚硬币掷出正面”；

（3）在10件产品中有3件次品，每次从中取1件，去后不放回，直到3件次品都取出为止，记录可能抽取的次数；

（4）在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

6、一副52张的扑克牌中任取4张，求其花色各不相同的概率。

7、掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率。

8、从

这10个数字中每次任取1个，然后放回，共取3次，求下列事件的概率：

（1）5个数字各不相同；

（2）5个数字不含1和0；

（3）5个数字中，1恰好出现2次。

9、10件产品中有8件正品，从中任取3件，求：

（1）3件都是正品的概率；

（2）2见正品，1件次品的概率；

（3）至少有一件次品的概率。

10、房间里有10个人分别佩戴从1到10号纪念章，任选3个人，记录他们的纪念章号，求：

（1）最小号码为5的概率；

（2）最大号码为5的概率

11、甲乙两炮同时向一架敌机射击，已知甲炮击中率是0.5，乙炮击中率为

，甲乙同时击中的概率为

，求飞机被击中的概率。

12、按由小到大的次序排列下面4个数

13、某工厂的产品分为一级品、二级品、三级品三档。

在正常生产的条件下，出现二级品的概率是

出现三级品的概率为

，其余都是一级品，求出现一级品的概率

14、某公司购进一批电视机，经检验，外观有缺陷的占

，显像管有缺陷的占

，其他部分有缺陷的占

，外观及显像管都有缺陷的占

，显像管及其他部分由缺陷的占

，外观及其他部分有缺陷的占

，三者都有缺陷的占

，从中任取一件，问至少有一种缺陷的概率是多少。

15、在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大理研究广告的效果，50%的公司在进行短期的销售预测，而30%的公司在从事这两项研究，假设从这200家公司中任选一家，记事件

为该公司在研究广告效果，事件

为该公司进行短期销售预测。

求：

，

16、10个零件中有3个次品，每次从中任取一个，取出的不再放回，如果已知第一、二次取出的都是次品，求第三次取出的是正品的概率。

解：

设

，则

17、罐子中有一个白球和一个黑球，每次取一个，直到取出黑球为止，当取出白球时，把该白球放回并补充放入两个白球，求在前三次取出球中黑球不出现的概率。

解：

设

，则

18、制造一种零件可以采用两种工艺，第一种经过三道工序，每道工序出废品的概率为0.1,0.2,0.3,；第二种经过两道工序，每道工序出废品的概率均为0.3,。

。

如果采用第一种工艺，则在合格的零件得到一级品的概率为0.9，而采用第二种工艺为0.8，是确定那种工艺得到一级品的概率较大。

19、袋中有3个红球，2个白球，每次任取一个，无放回的取两次，求：

（1）第二次才取到红球的概率；

（2）第二次取到红球的概率。

解：

设

表示“第i次取到红球“

（1）

（2）

20、市场供应的蔬菜中，东城区生产的占70%，西城区生产的占30%；东城区生产的蔬菜中甲级品占95%，西城区的蔬菜中甲级品占80%，求

（1）买到甲级品的概率；

（2）如果已知买到的是甲级品，求他是东城区生产的概率；

（3）如果已知买到的蔬菜不是甲级品，求他是西城区生产的概率。

解：

设

表示“东城区生产”，

表示“西城区生产”

表示“买到的是甲级品”，则

（1）

（2）

（3）

21、两台机床加工同种零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且知道第一台加工的毕第二台加工的多一倍，

（1）求任取一个零件是合格品的概率；

（2）如果任取的零件经检查是废品，求他是第二台机床生产的概率。

解：

设

表示“第i台机床生产的”，B表示“取出的是废品”

则可知，

（1）

（2）

22、设甲乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7，在两批种子中各随机取1粒，求：

（1）2粒都发芽的概率；

（2）至少一粒发芽的概率；

（3）恰有一粒发芽的概率。

23、某零件需经4道工序才能成形，4道工序出废品与否是相互独立的，且出废品的概率依次是0.1,0.2，0,3,0.15。

试求零件为废品的概率。

解：

设

表示“第i道工序出废品”

表示“零件为废品”

24、某光学仪器厂生产的透镜进行下落试验，第一次落下打破的概率为

，第二次落下打破的概率为

，第三次下落打破的概率为

，求透镜下落三次打破的概率。

25、如图所示，有4个阀门连接在一起，如果阀门发生故障，水便不能通过，假设

4个阀门出故障的概率均为0.2，求水流过

间的概率。

26、设

为两个事件，

证明：

相互独立。

27、一批产品次品率为

，每次抽取1件，有放回的抽取5次，求恰有2件是次品的概率。

28、某类灯泡使用时数在5000h以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用5000小时以后最多只有1个损坏的概率。

29、某举重运动员在每次试举中打破世界纪录的概率为

，如果在举重比赛中可以试举3次，求他打破世界纪录的概率。

30、一个工人负责维修12台同种类型的机器，若每台车床在任一时刻处于停车的概率为

，求任一时刻车间里恰有4台车床处于停车状态的概率。

31、某班有20名男生，10名女生，教师提出3个问题，每个问题有一个学生回答，试求回答问题者是两名男生和一名女生的概率

解：

设

由题知

，

一共有三个问题，结果有两个“男生回答”或“女生回答”，

所以为3重贝努力试验，其中

32、一大批产品中有

的一级品，从中抽取5件进行检查，求：

（1）取出5件中恰有2件一级品的概率；

（2）取出5件中至少2件一级品的概率.

三、补充习题

1、掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为（A）。

（A）1/3（B）2/3（C）1/6（D）3/6

解析：

设A={出现奇数点}，B={出现3点}

则，P（B|