全国1卷概率压轴题源于竞赛和自招.docx
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全国1卷概率压轴题源于竞赛和自招
全国1卷概率压轴题源于竞赛和自招
1．（2019全国I理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施
以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i=0,1,,8）表示“甲药的累计得分为i时，
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则
p0=0，
p8=1，
pi=api-1+bpi+cpi+1
（i=1,2,,7）
，其中
a=P（X=-1）
，b=P（X=0），
c=P（X=1）．假设α=0.5，β=0.8．
（i）证明：
{pi+1-pi}（i=0,1,2,,7）为等比数列；
（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：
X的所有可能取值为-1,0,1.
P（X=-1）=（1-α）β，P（X=0）=αβ+（1-α）（1-β），P（X=1）=α（1-β）
所以X的分布列为
（2）（i）由
（1）得a=0.4,
b=0.5,
c=0.1.
因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，故0.1（pi+1-pi）=0.4（pi-pi-1），即pi+1-pi=4（pi-pi-1）.
因为p1-p0=p1≠0，所以{pi+1-pi}（i=0,1,2,,7）为公比为4，首项为p1的等比数列．
（ii）由（i）可得p8=p8-p7+p7-p6++p1-p0+p0
=（p8-p7）+（p7-p6）++（p1-p0）=
由于p8=1，故p1=48-1，所以
48-1
p
31
.
44-11
p4=（p4-p3）+（p3-p2）+（p2-p1）+（p1-p0）=p1=.
3257
p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈
率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4=257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
【点评】看似很复杂，实则简单。
在实际问题情境中，数列知识与概率相结合。
这在清北的自主招生或竞赛题中都有所见，此题可以视为2011清华大学七校联考自主招生考试中的15题的改编。
变式1：
（2011清华大学七校联考自主招生第15题）将一枚质量均匀的硬币连续抛掷n次，
以pn表示未出现连续3次正面的概率。
（1）求p1,p2,p3,p4；
（2）探究数列{pn}的递推公式，并给出证明；
（3）讨论数列{pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。
变式2：
（2012全国高中数学联赛第8题）某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）
61
【解析】
，用Pk表示第k周用A种密码的概率,则第k周末用A种密码的概率为1-Pk.
1
243
于是P=1（1-P）,k∈N*,即P
-1=-1（P-）由P=1
⎧P-1⎫是首项为3，
k+13k
k+143k4
1知，⎨k4⎬4
1
公比为-的等比数列。
所以P
-1=3（-1）k-1，即P
⎩⎭
=3（-1）k-1+1，故P=61．
3k443
k434
7243
【点评】淘宝博约书斋店铺的《全国卷高考数学压轴题的解题研究三部曲》做了深入剖析。
此书有很多特点。
1.把全国卷高考压轴题作了深入剖析，且全面结合竞赛和自招给出了变式和拓展，每一个压轴题都变成了微专题，有利于学生强化全国卷高考命题思路。
2.2019高考有很大的变化，其实就是对修订后的课标的直接体现，对2019高考试题特点进行了深入剖析。
比如备受关注的维拉斯，如果改成填空题，求范围，作为16题，是经典的好题。
3.上升到看问题的一般观念是解题质的飞跃是本书追求的境界。
子曰：
“不愤不启，不悱不发。
举一隅不以三隅反，则不复也。
”即“不到他努力想弄明白而不得的程度不要去开导他；不到他心里明白却不能完全表达出来的程度不要去启发他。
如果他不能举一反三，就不要反复给他举例了。
”孔子告诉我们了教育的时机和期望达到的目标——举一反三。
举一反三、触类旁通都是我们一直追求的境界，但怎么能够真正地做到呢？
老子《道德经》第四十八章：
为学日益，为道日损。
损之又损，以至于无为。
无为而无不为。
可以这样理解：
为学是量变，为道是质变。
在求学的过程中，一个人的知识会一天比一天增加，而求道的过程中，恰好相反，从知识中汲取精华，反而越来越少，少之又少，以至于很接近道的状态——无为，无为而无不为。
美国的著名心理学家伯尔赫斯·弗雷德里克·斯金纳说：
“当所学的东西都忘掉之后，剩下的就是教育。
”爱因斯坦曾经在一次演讲中说道：
如果你把学校教授给你的一切知识都忘记了以后，剩下的那部分内容就是教育，我们的生活就是去运用剩下的内容去思考，去迎接并战胜困难，去开创我们的事业，去追求我们的美好生活。
老子的“道”和斯金纳“剩下的”又是什么？
布鲁纳在《教育过程》的“结构的重要性”中希望学生的学习从特殊迁移上升到原理和态度的迁移，即学习一个一般观念，然后以此作为认识后续问题的基础，这些后继问题是开始所掌握的观念的特例。
奥苏贝尔认为“当学生把教学内容与自己的认知结构联系起来时，意义学习便发生了，所谓认知结构，就是指学生现有的知识数量、清晰度和组织结构，它是由学生眼下能回想出的事实、概念、命题、理论构成的。
”奥苏贝尔认为同化理论的核心是：
学生是否习得信息，主要取决于他们认知结构中已有的观念。
Schoenfeld认为成为一个成功的问题解决者，与一个人的数学知识（资源）、自我控制、探索思路和观念有关。
康德说“人类的一切知识都是从直观开始，从那里进入到概念，而以理念结束。
”
观念决定视野，视野决定格局，格局决定境界；观念是思想的升华，决定了看问题的深度和层次。
4.、、、、、、
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