中考第一轮复习《方程与不等式》专题讲解一.docx
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中考第一轮复习《方程与不等式》专题讲解一
中考数学“方程与不等式”专题讲解
●中考命题形势与趋势
透过近几年的中考试题，有关方程与不等式知识的考查重点是方程（组）、不等式（组）的解法与应用，而且每年都有所创新，特别是应用问题，一般都是取材于生活之中，预计2018年的中考有关这部分知识的考查力度和题型大致与以往相当，因此，同学们在复习除了注重基础知识的演练外，还应注意对生活中的问题的研究.
●方程与不等式试题的特点
方程与不等式内容比较整齐，但方法灵活，技巧性强，是历年各地中考的常规考点之一，试题类型多样化，既有填空题、选择题、解答题，又有阅读题、方案设计题和分析探索性问题，从知识结构看，试题既有基础题，又有拉分的综合题和压轴题.一般的分值要占整个试卷的20％左右.
●典型问题归类例析
专题1 一元一次方程
一、考点扫描
1.方程的有关概念：
含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只含有—个未知数的方程的解，也叫做根.
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程.
2.解一元一次方程的一般步骤是：
去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1.
3.列一元一次方程解应用题的基本步骤是：
审、设、列、解、答.列一元一次方程解应用题的常见题型有以下几种情形：
①和、差、倍、分问题；②行程类问题；③工程问题；④浓度问题；⑤分配问题；⑥数字问题；⑦经济问题.等等.
二、考题分析（所选例题均出自2009年全国部分省市中考试卷，下同）
考点1 方程解的运用
例1（安顺市）已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是＿＿＿.
分析 关于x的方程4x－3m＝2中含有两个字母，但知其解是x＝m，于是，要求m的值，只要将其解代入原方程，得到m的一元一次方程.
解 因为x＝m是关于x的方程4x－3m＝2的解，所以4m－3m＝2，解得m＝2.
说明 有关方程解的问题，虽然比较简单，但每年中考都有所涉及，求解时一定要注意方程解的意义，将方程中未知数用其代换，构造新的方程.
考点2 巧解方程
例2（江西省）方程0.25x＝1的解是＿＿＿.
分析 已经是一元一次方程的标准形式了，只要化系数为1即可，但考虑未知数前面的系数的特殊性，化系数为1时，可在方程两边同乘以4即得.
解 因为0.25×4＝1，所以方程两边同乘以4，得x＝4.
说明 解一元一次方程的一般步骤同学们一定了如指掌，可要想灵活运用，还得辅之适量的习题加以训练，以便从中有所体会.
考点3 构造方程求解简单的几何问题
例3（嘉兴市）在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小.
分析 要求∠A，∠B，∠C的大小，由于四边形的四个角的和等于360°，去掉一个已知∠D，就是说，∠A+∠B+∠C＝300°，而∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，这样可设∠A＝x°，从而构造方程求解.
解 设∠A＝x°，那么∠B＝x°+20°，∠C＝2x°，则根据题意，得x+（x+20）+2x+60＝360，
解得x＝70.所以∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°.
考点4 确定字母的取值范围
例4（泸州市）关于x的方程kx－1＝2x的解为正数，则k的取值范围是＿＿＿.
分析 先通过移项化关于x的方程kx－1＝2x为一般形式，再化系数为1，用字母k表示方程的解，由解是正数即得.
解 移项，合并，得（k－2）x＝1，化系数为1，得x＝
，
因为原方程的解为正数，而此时解的分子是1，所以只要求分母是正数，
此时，只要求k取大于2的任意数，即k的取值范围是k＞2.
说明 本题在求得方程的解时，代数式只要考虑k－2中k取什么数时代数式的值是大于0的，其他无需多考虑.
考点5 用一元一次方程解决生活中的问题
例5（德州市）为了贯彻落实国务院关于促进家电下乡的指示精神，有关部门自2007年12月底起进行了家电下乡试点，对彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品给予产品销售价格13%的财政资金直补.企业数据显示，截至2008年12月底，试点产品已销售350万台（部），销售额达50亿元，与上年同期相比，试点产品家电销售量增长了40%.
（1）求2007年同期试点产品类家电销售量为多少万台（部）？
（2）如果销售家电的平均价格为：
彩电每台1500元，冰箱每台2000元，手机每部800元，已知销售的冰箱（含冰柜）数量是彩电数量的
倍，求彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售多少万台（部），并计算获得的政府补贴分别为多少万元？
分析
（1）考虑增长40％以后销量达到350台，此时若设2007年销量为a万台，则可列出一元一次方程求解.
（2）由于三大类产品的销售额是50万元，若设销售彩电x万台，则销售冰箱
x万台，销售手机（350－
x）万台，则由各自的销售单价，列出一元一次方程求得，进而计算获得的政府补贴分别为多少万元.
解
（1）2007年销量为a万台，则根据题意，得a（1+40%）＝350，解得a＝250（万台）.
（2）设销售彩电x万台，则销售冰箱
x万台，销售手机（350－
x）万台.
则根据题意得：
1500x+2000×
x+800（350－
x）＝500000，解得x＝88.
所以
x＝132，
x＝130.
所以，彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品分别销售88万台、132万台、130万部.
所以88×1500×13%＝17160（万元），132×2000×13%＝34320（万元），130×800×13%＝13520（万元）.
即获得的政府补贴分别是17160万元、34320万元、13520万元.
说明 本题以家电下乡为设计背景，体现了政府的惠民政策.求解时，只要能及时地发现各自问题中的等量关系，引进必要的未知数，用一元一次方程即可求解.
三、同步训练
1.下列变形符合等式性质的是（ ）
A.如果2x－3＝7，那么2x＝7－3 B.如果3x－2＝x+1，那么3x－x＝1－2
C.如果－2x＝5，那么x＝5+2 D.如果－
x＝1，那么x＝－3
2.如果3x+2＝8，那么6x+1的值为（）
A.11 B.26 C.13 D.－11
3.如果方程3x+2a＝12和方程3x－4＝2的解相同，那么a＝＿＿＿.
4.一捆粗细均匀的钢丝，重量为132kg，剪下35米后，余下的钢丝重量为121kg，求原来这根钢丝的长度.
专题2 二元一次方程组
一、考点扫描
1.方程组的有关概念：
含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程.两个二元—次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.
2.使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解.
3.解二元一次方程组，或三元一次方程组的一般方法是：
代入消元法和加减消元法.
4.列二元一次方程组解应用题的方法与列一元一次方程解应用题方法大致相同.
二、考题分析
考点1 解方程组
例1（大连市）解方程组：
分析 考虑未知数y的系数都是1，并由未知数x的系数特点，可采取第二个方程减去第一个方程，即可求解.
解 由第二个方程－第一个方程，得2x＝10，解得x＝5，
把x＝5代入第一个方程，得5+y＝7，解得y＝2.
所以
是原方程组的解.
说明 本题用代入消元法，同理可以简洁求解，另外，中考中有关解方程组的题目一般都不难，只要用心求解即可获得满分.
考点2 方程组解的应用
例2（日照市）若关于x，y的二元一次方程组
的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（ ）
A.－
B.
C.
D.－
分析 若视k为常数，解关于x，y的二元一次方程组
再将其解代入2x+3y＝6，即可得到关于k的方程，从而使问题获解.
解 解关于x，y的二元一次方程组
得
把x＝7k，y＝－2k代入2x+y＝6，得2×7k+3×（－2k）＝6，解得k＝
.故应选B.
说明 本题是二元一次方程组中有关解的问题的典型题目，每年的中考也少不类似试题，同学们应注意多加训练.
考点3 看错题目
例3（株州市）孔明同学在解方程组
的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为
又已知直线y＝kx+b过点（3，1），则b的正确值应该是＿＿＿.
分析 错把b看成了6，即把方程y＝kx+b看成y＝kx+6，于是可以将
代入求得k，进而再将（3，1）代入线y＝kx+b，即可求得b.
说明 根据题意把
代入y＝kx+6，得2＝k×（－1）+6，解得k＝4，
即y＝kx+b转化为y＝4x+b，而y＝4x+b过点（3，1），所以1＝4×3+b，
解得b＝－11.
说明 本题实际上就是方程的两组解为
和
或理解为直线y＝kx+b过两点（－1，2）、（3，1）.
考点4 实际应用
例4（长沙市）某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：
“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.”
小芳：
“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元.”
小明：
“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满.”
根据以上对话，解答下列问题：
（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？
分析 通过仔细分析李老师和二位同学的对话，我们可以发现的两个相等关系，即一是60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元；二是4辆60座和2辆45座的客车一天的租金共5000元，由此可以求解第
（1）问题，进而利用小明的话可求解
（2）.
解
（1）设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x元，y元，
则根据题意，得
解得
（2）由
（1），得九年级师生共需租金：
5×900+1×700＝5200.
答：
（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和700元.
（2）年级师生共需租金5200元.
说明 求解此类应用题时一定要正确理解各自提供的信息，及时发现等量关系，进而引进恰当的未知数列出方程组.
考点5 古代问题
例5（济宁市）请你阅读下面的诗句：
“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？
”诗句中谈到的鸦为＿＿＿只、树为＿＿＿棵.
分析 诗句的大意是：
树林里面有一群鸦，3只鸦1棵树，有5只鸦没有树，5只鸦1棵树，有1棵树没有鸦，问有多少只鸦？
多少棵树？
在这个问题中鸦的只数和树的棵数都是不变量，由此可以引进两个未知数，列出方程组求解.
解 设有x只鸦，y棵树，则根据题意，得
解得
即诗句中谈到的鸦有20只，树5棵，所以应分别填上20和5.
说明 本题以古诗为背景，设计二元一次方程组的应用题，既可以巩固方程组的知识，又可以让同学们从古诗中体会数学的乐趣，增强同学们的爱国热情.
考点6 开放型问题
例6（江苏省）一辆汽车从A地驶往B地，前
路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.
请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程.
分析 本题的条件已经给定了三个量：
一是AB两地的路程中前
路段为普通公路，后
的路段是高速公路，二是汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，三是从A地到B地一共行驶了2.2h.，由此，要提出的问题比较多，即答案不惟一，答题题意即可.
解 答案不惟一.如，问题：
普通公路和高速公路各为多少千米？
解答：
设普通公路长为xkm，高速公路长为ykm.
则根据题意，得
解得
答：
普通公路长为60km，高速公路长为120km.
或，问题：
汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？
解答：
设汽车在普通公路上行驶了xh，高速公路上行驶了yh.
则根据题意，得
解得
答：
汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1.2h.
说明 本题是一道结论开放型问题，求解时一定要抓住行程中“速度、路程、时间”这三者之间的关系，注意条件中提供的量，紧靠题目，以避免走弯路.另外，应注意条件中
的含义，不能以此为求解带来错误.
考点7 方案设计
例7（荆门市）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完.
（1）有几种购买方式？
每种方式可乐和奶茶各多少杯？
（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？
分析 依题意可知有一个等量关系，即2元一杯可乐，奶茶3元一杯奶茶，共20元，由此，我们先引进两个未知数，列出一个二元一次方程，由于这两个未知数均为自然数，所以可直接通过列举法求得购买的方式，进而可以求解第
（2）小题.
解
（1）设买可乐、奶茶分别为x、y杯，
则根据题意，得2x+3y＝20，即x＝
＝10－
y≥0，
因为x、y均为自然数，而由
y可知y必须保证是偶数，还必须满足x为自然数，
所以当y＝0时，x＝10；当y＝2时，x＝7；当y＝4时，x＝4；当y＝6时，x＝1，
即有四种购买方式：
方式一：
可乐10杯，奶茶0杯；方式二：
可乐7杯，奶茶2杯；方式三：
可乐4杯，奶茶4杯；方式四：
可乐1杯，奶茶6杯.
（2）根据题意，每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y满足不少于2，且x+y满足不少于8，这样由
（1）可知，有二种购买方式.
说明 本题利用二元一次方程整数解的意义，设计方案，这是近年来有关二元一次方程应用的创新题型，同学们在学习量一定要注意把握.
三、同步训练
5.如果
中的解x、y相同，则m的值是（）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
6.方程组
的解为
则被遮盖的两个数分别为（）
A.1，2 B.1，3 C.2，3 D.2，4
7.若方程x+y＝－1，2x－y＝4和x－my＝7有公共解，则m的取值为＿＿＿.
8.足球联赛得分规定：
胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，大地足球队在足球联赛的5场比赛中得8分，那么这个队比赛的胜、平、负的情况如何？
专题3 分式方程
一、考点扫描
1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般步骤是：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；（3）检验.即把解得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去；或不为答0，进而作答.显然，解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程.
3.分式方程的增根问题：
增根的产生：
分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；验根：
因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.
4.分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性.
二、考题分析
考点1 新款解分式方程
例1（邵阳市）请你给x选择一个合适的值，使方程
＝
成立，你选择的x＝＿＿＿.
分析 本题实际上就是要求解分式方程，由此最简公分母是（x－1）（x－2），两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程求解即可.
解 去分母，得2（x－2）＝x－1，解得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解.所以选择的x＝3.
说明 本题的本质就是解分式方程，只是对解分式方程换一种设问，其解法步骤仍然和以往一样.另外，通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题.
考点2 依据分式方程解的符号，确定字母系数
例2（孝感市）关于x的方程
＝1的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A.a＞－1 B.a＞－1且a≠0 C.a＜－1 D.a＜－1且a≠－2
分析 若将字母a看作是一个常数，那么就可以按照解一般的解分式方程步骤进行，只是在求得其解以后，不能忘记：
一是必须检验，保证不是增根，即x≠1，二是解是正数，对此要进行讨论.
解 去分母，得2x+a＝x－1，解得x＝－1－a，
因为方程的解是正数，所以－1－a＞0，解得a＜－1，
又因为x－1≠0，即x≠1，所以－1－a≠1，解得a≠－2，
综上，a的取值范围是a＜－1且a≠－2.故应选D.
说明 本题既属于分式方程，也属于含有字母系数的方程，求解时除了要检验外，还要注意对字母的范围加以讨论，否则容易出现错误.
考点3 依据分式方程的无解，确定字母系数
例3（牡丹江市）若关于x的分式方程
－
＝1无解，则a＝＿＿＿.
分析 已知关于x的分式方程无解，则表明方程有增根，此时当x－1＝0，或x＝0都会使方程出现增根而导致方程无解，由此，可先按照正常的解分式方程的第一步，化分式方程为整式方程，再将增根代入求得，同时利用方程无解进一步求解.
解 去分母，得x（x－a）－3（x－1）＝x（x－1），整理，得（a+2）x＝3，
因为原方程无解，即原方程有增根，所以x－1＝0，即x＝1，或x＝0.
当x＝1时，有（a+2）×1＝3，解得a＝1；
当x＝0时，有（a+2）×0＝3，难以求得a，
但另一方面，由方程无解，可知a+2＝0，解得a＝－2，
所以a＝1，或－2.
说明 对于求解分式方程无解问题的一般方法是先将分式方程转化为整式方程，进而利用增根代入即可求得字母系数.事实上，本题若不是利用方程无解，还难以求得a＝－2，可见，分式方程的增根与无解是有本质的区别的.
考点4 分式方程的应用
例4（桂林市、百色市）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：
甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？
还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
分析
（1）依题意有等量关系：
甲20天的工作量+甲24天的工作量+乙24天的工作量＝1，由此，引进未知数即得方程求解.
（2）在
（1）求得的结果下，若设甲、乙合作完成需y天，则同样有等量关系：
甲y天的工作量+乙y天的工作量＝1，由此求得y，再分别计算甲、乙单独完成需付工程款的数额，并比较.
解
（1）设乙队单独完成需x天，则根据题意，得
×20+（
+
）×24＝1，
解这个方程，得x＝90，经检验，x＝90是原方程的解，所以乙队单独完成需90天.
（2）设甲、乙合作完成需y天，则根据题意，得（
+
）×y＝1，解得y＝36（天）.
甲单独完成需付工程款为60×3.5＝210（万元），乙单独完成超过计划天数不符题意.
甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）＝198（万元）.
答：
在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱.
说明 和列整式方程解工程类应用题一样，这里的工作总量可以看成是1.
考点5 自编型
例5（达州市）某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天.
（1）求改进设备后平均每天耗煤多少吨？
（2）试将该题内容改编为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列的方程相同或相似（不必求解）.
分析
（1）若设改进设备后平均每天耗煤x吨，那么改进设备前平均每天耗煤2x吨，由此，改进设备前5天耗煤量为5×2x吨，此时，还剩煤（45－5×2x）吨，于是，有等量关系是：
改进设备后的天数－改进设备前的天数＝10，从而列出方程求解.
（2）依题意，答案不惟一，只要所编应用题的方程与原题的方程相同或相似均可.
解
（1）设改进设备后平均每天耗煤x吨，那么改进设备前平均每天耗煤2x吨，
则根据题意，得
－
＝10，解得x＝1.5.
经检验x＝1.5是原方程的解.答：
改进设备后平均每天耗煤1.5吨.
（2）答案不惟一.如，某工人原计划若干天内生产840个零件，开始4天按原计划进行生产，以后每天生产的零件比原计划增加了25%，结果提前2天完成了任务.求原计划多少天完成任务？
设原计划每天做x个零件，则根据题意，得
－[4+
]＝2，或
－
＝2.解得x＝14.经检验：
x＝14是原方程的解.答：
原计划14天完成任务.
说明 第
（2）小题属于自编型问题，不过本题的自编要比一般自编题来得容易些，因为毕竟只需要所列的方程与
（1）相同或相似，但仍属于开放型问题.另外，同学们在平时学习和生活中一定注意观察发现问题，多积累些数学素材，到时才能在求解此类问题时得心应手.
三、同步训练
9.当a为何值时
与
的值相等（ ）
A.a＝0B.a＝
C.a＝1D.a≠1
10.若x＝－
是下列某方程的解，则此方程为（ ）
A.
＝2B.
＝0C.
＝
D.
＝
11.若方程
＋3＝
有增根，则增根为x＝＿＿＿.
12.甲、乙在电脑上合打一份稿件，4小时后，甲另有任务，余下部分由乙单独完成又要6小时，已知甲打6小时的稿件乙要打7.5小时，问：
甲、乙单独完成此任务各需多少小时？
专题4 一元一次不等式
一、考点扫描
1.表示不等关系的式子，叫做不等式.
2.不等式的基本性质：
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
3.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.
4.解一元一次不等式的步骤：
①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1，此时要注意不等号的方向问题.
5.求不等式的正整数解，负整数解等特解，可先求出这个不等式的解集，再从中找出所需特解.
6.列不等式解应用题的一般步骤：
列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：
①设未知数；②找不等关系；③列不等式；④解不等式；⑤检验.其中检验是正确求解的必要环节.
二、考题分析
考点1 不等式的基本性质
例1（柳州市）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）
A.a－1＜b－1 B.
＞
C.－a＜－b D.ac＜bc
分析 利用不等式的基本性质求解.
解 因为a＜b，所以有a－1＜b－1.故应选A.
说明 熟练掌握不等式的基本性质是求解不等式的关键，运用时，要特别注意未知数前面的系数是负数时，不等号的符号变化问题.
考点2 解不等式
例2（钦州市）解不等式：
x－1＜0，并把它的解集在数轴上表示出来.
分析 先利用解一元一次不等式的一般步骤，求出不等式的解集，进而再将其解集在数轴上表示出来
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