一元一次方程经典题型.docx

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一元一次方程经典题型

1.（2003•重庆）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在5分钟同通过这4道门安全撤离，假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生．问：

建造的4道门是否符合安全规定？

请说明理由．

（1）根据题意可知，本题有两个未知数：

平均每分钟一道正门和一道侧门各通过多少名学生．等量关系有两个：

当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生．当同时开启一道正门和一道侧门时，4min内可以通过800名学生．根据以上条件可以列出方程组求解；

（2）根据

（1）的数据，可以求出拥挤时5min四道门可通过的学生人数，教学大楼最多的学生人数，还可以求出全大楼学生通过这4道门所有的时间，再比较．

【解析】

（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生．

则

，解得

．

答：

平均每分钟一道正门可通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；

（2）解法一：

这栋楼最多有学生4×8×45=1440（名），

拥挤时5min四道门可通过5×2（120+80）×（1-20%）=1600（名），

∵1600＞1440．

∴建造的4道门符合安全规定．

解法二：

还可以求出紧急情况下全大楼学生通过这4道门所用时间：

=4.5min．4.5＜5，因此符合安全规定．

2.有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校．

（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？

（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？

（1）先分别求得通过拥挤的通道和绕道去学校的时间，比较即可选择；

（2）设维持秩序的时间x分钟，如果不维持秩序，王老师要等36÷3=12分钟才能通过，现在提前6分钟，说明他只等了12-6=6分钟，在这6分钟内，花了x分钟维持秩序，通过3x人，又花了（6-x）分钟按正常秩序等待，通过了9（6-x）人，共通过36人，所以可列方程3x+9（6-x）=36，解方程即可求解．

【解析】

（1）36÷3=12

12+7=19

19＞15；

所以应该选择绕道去学校；

（2）设维持秩序的时间x分钟，根据题意得：

3x+9（6-x）=36

解得：

x=3

答：

维持秩序的时间是3分钟．

3.（2006•重庆）农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和渝江Ⅱ号两种新型良种稻谷．在田间管理和土质相同的条件下，Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号稻谷低20%，但Ⅱ号稻谷的米质好，价格比Ⅰ号高．已知Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克．

（1）当Ⅱ号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、图纸和面积相同的两块田丽分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同；

（2）去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷，且进行了相同的田间管理．收获后，小王把稻谷全部卖给国家．卖给国家时，Ⅱ号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，Ⅰ号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖Ⅱ号稻谷比卖Ⅰ号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？

此题文字量大，数量关系复杂．关键是等量关系式：

（1）比较简单：

Ⅱ号稻谷收购价×（1-20%）=Ⅰ号稻谷国家的收购价；

（2）Ⅱ号稻谷的产量×2.2=Ⅰ号稻谷的产量×1.6，设卖给国家的Ⅰ号稻谷x千克，则设卖给国家的Ⅱ号稻谷x（1-20%）千克，据题意列方程即可解得．

【解析】

（1）由题意得：

（元）

（2）设卖给国家的Ⅰ号稻谷x千克，根据题意得：

x（1-20%）×2.2=1.6x+1040．

解得：

x=6500（千克）

x+（1-20%）x=1.8x=11700（千克）

答：

（1）当Ⅱ号稻谷的国家收购价是2元时，种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同；

（2）小王去年卖给国家的稻谷共为11700千克．

4.某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：

已改装后的车辆每天的燃料费占剩下的未改装车辆每天燃料费用的

，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天的燃料费用的

．问：

（1）公司共改装了多少辆出租车？

改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？

（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？

（1）根据题意可知本题的等量关系有，第一次改装的车辆每天的燃料费=

×剩下的未改装车辆每天燃料费，第一、第二次所有改装的车辆每天的燃料费=

×剩下未改装车辆每天的燃料费．根据这两个等量关系，可列出方程组．

【剩下未改装车辆每天的燃料费=未改装车辆的数量×80，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分比=1-（改装后的每辆车平均每天的燃料费÷80）×100%】；

（2）根据

（1）可得到出租车的总量和改装前后每天燃料费下降的百分点，可知一次性改装全部出租车可以从节省的燃料费中收回成本需要的天数=4000×100÷（100×80×40%）．根据这个等量关系可列方程．

【解析】

（1）设公司第一次改装了y辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x．依题意得方程组：

．

解得x=

=40%，y=20．

故两次共改：

2y=40（辆）．

答：

公司共改装了40辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%；

（2）设一次性改装后，m天可以收回成本，

则100×80×40%×m=4000×100，

所以m=125（天）

答：

若公司一次性将全部出租车改装，125天后就可以从节省的燃料费中收回成本．

5.某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

  投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

  方案一：

投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．

  方案二：

投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

（1）请问：

投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？

为什么？

（注：

投资收益率=

×100%）

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：

甲、乙两人各投资了多少万元？

考点：

一元一次方程的应用；列代数式。

分析：

（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；

（2）利用

（1）的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解．

解答：

解：

（1）设商铺标价为x万元，则

     按方案一购买，则可获投资收益（120%﹣1）•x+x•10%×5=0.7x

     投资收益率为

×100%=70%

     按方案二购买，则可获投资收益（120%﹣0.85）•x+x•10%×（1﹣10%）×3=0.62x

     投资收益率为

×100%≈72.9%

∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．

（2）由题意得0.7x﹣0.62x

=5

     解得x=62.5万元

∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．

点评：

本题考查了列方程解应用题，正确表示出两种方案的收益率是解题的关键．

6.某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）． 

月使用费/元

主叫限定时间/分

主叫超时费/（元/分）

被叫

方式一

58

150

0.25

免费

方式二

88

350

0.19

免费

（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：

t≤150

150＜t＜350

t=50

t＞350

方式一计费/元

58

____________

108

____________

方式二计费/元

88

88

88

____________

（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）． 

答案收藏试题 

窗体顶端

窗体底端

     解：

（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：

58+0.25（x﹣150）=0.25t+20.5； 

②当t＞350时，方式一收费：

58+0.25（x﹣150）=0.25t+20.5； 

③方式二当t＞350时收费：

88+0.19（x﹣350）=0.19t+21.5． 

（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）﹣（0.19t+21.5）=0.06t﹣1＞0， 

∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得． 

∴列方程0.25t+20.5=88， 

解得t=270． 

即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等． 

（Ⅲ）方式二． 

方式一收费﹣方式二收费y=0.25t+20.5﹣0.19t﹣21.5=0.06t﹣1， 

当330＜t＜360时，y＞0，即可得方式二更划算． 

答：

当330＜t＜360时，方式二计费方式省钱

7.（2012•淮安）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：

第一档电量

第二档电量

第三档电量

月用电量210度以下，每度价格0.52元

月用电量210度至350度，每度比第一档提价0.05元

月用电量350度以上，每度比第一档提价0.30元

例：

若某户月用电量400度，则需交电费为210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）+（400-350）×（0.52+0.30）=230（元）

（1）如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；

（2）以此方案请你回答：

若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档？

解：

（1）用电量为210度时，需要交纳210×0.52=109.2元，用电量为350度时，需要交纳210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）=189元，

故可得小华家5月份的用电量在第二档，

设小华家5月份的用电量为x度，则210×0.52+（x-210）×（0.52+0.05）=138.84，

解得：

x=262，即小华家5月份的用电量为262度．

（2）由

（1）得，当0＜a≤109.2时，小华家的用电量在第一档；

当109.2＜a≤189时，小华家的用电量在第二档；

当a＞189时，小华家的用电量在第三档；

8.有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等.

（1）直接写出其余四个圆的直径长；

（2）求相邻两圆的间距.

解：

（1）其余四个圆的直径依次为：

2.8cm,2.6cm,2.4cm,2.2cm.

（2）依题意得，

，   

           ∴

 ∴

.              答：

相邻两圆的间距为

cm.   

9.江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000千克的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量3倍还多2000千克．求粗加工的该种山货质量．

等量关系为：

精加工的山货总质量+粗加工的山货总质量=10000，把相关数值代入计算即可．

【解析】

设粗加工的该种山货质量为x千克，

根据题意，得x+（3x+2000）=10000．

解得x=2000．

答：

粗加工的该种山货质量为2000千克

10.（2010•义乌）我市举办的“义博会”是国内第三大展会，从1995年以来已成功举办了15届．

（1）1995年“义博会”成交金额为1.01亿元，1999年“义博会”成交金额为35.2亿元，求1999年的成交金额比1995年的增加了几倍？

（结果精确到整数）

（2）2000年“义博会”的成交金额与2009年的成交金额的总和是153.99亿元，且2009年的成交金额是2000年的3倍少0.25亿元，问2009年“义博会”的成交金额是否突破了百亿元大关？

（1）关系式为：

倍数=（1999年的成交金额-1995年的成交额）÷1995年的成交额；

（2）等量关系为：

2009年的成交金额+2000年的成交金额=153.99．

【解析】

（1）（35.2-1.01）÷1.01≈34

答：

1999年的成交金额比1995年约增加了34倍；

（2）设2000年成交金额为x亿元，则2009年成交金额为（3x-0.25）亿元．

由题意得：

x+3x-0.25=153.99，

解得：

x=38.56，

∴3x-0.25=115.43＞100，

∴2009年“义博会”的成交金额突破了百亿元大关．

11.（2010•厦门）某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：

如果一户每月用水量不超过15立方米，每立方米按1.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米2.3元收费，其余仍按每立方米1.8元计算．另外，每立方米加收污水处理费1元．若某户一月份共支付水费58.5元，求该户一月份用水量？

由题意得，设该用户用水量为x，根据等量关系“水费=1.8×15+2.3×超出15立方米的部分+污水处理费”列出一元一次方程即可求解．

【解析】

∵若某户每月用水量为15立方米，则需支付水费15×（1.8+1）=42元，

而42＜58.5，

∴该户一月份用水量超过15立方米．

设该户一月份用水量为x立方米，

根据题意得：

15×1.8+2.3（x-15）+x=58.5

解得：

x=20

答：

该户一月份用水量为20立方米．

12.（2010•顺义区）列方程或方程组解应用题：

在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：

（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？

（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？

（1）设去了x个成人，则去了（12-x）个学生，根据爸爸说的话，可确定相等关系为：

成人的票价+学生的票价=400元，据此列方程求解；

（2）计算团体票所需费用，和400元比较即可求解．

【解析】

（1）设去了x个成人，则去了（12-x）个学生，

依题意得40x+20（12-x）=400，

解得x=8，

12-x=4；

答：

小明他们一共去了8个成人，4个学生．

（2）若按团体票购票：

16×40×0.6=384

∵384＜400，

∴按团体票购票更省钱．

（1）缩短时间=原来所用时间-现在所用时间；

（2）等量关系为：

原来所用时间×原速度=提速后所用时间×提速后速度．

13.（2007•宜宾）今年4月18日，是全国铁路第六次大提速的第一天，小明的爸爸因要出差，于是去火车站查询列车的开行时间．下面是小明的爸爸从火车站带回家的最新时刻表：

2007年4月18日起××次列车时刻表

始发点

发车时间

终点站

到站时间

A站

上午8：

20

B站

次日12：

20

小明的爸爸找出以前同一车次的时刻表如下：

2006年××次列车时刻表

始发点

发车时间

终点站

到站时间

A站

下午14：

30

B站

第三日8：

30

比较了两张时刻表后，小明的爸爸提出了如下两个问题，请你帮小明解答：

（1）现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？

（2）若该次列车提速后的平均时速为每小时200千米，那么，该次列车原来的平均时速为多少？

（结果精确到个位）

【解析】

（1）原来该次列车所用时间=2×24+8.5-14.5=42小时．

现在该次列车的运行时间=24+12

-8

=28小时，

42-28=14（小时）；

∴缩短了14小时．

（2）设原来的平均时速为x千米，

则42x=28×200

解得x≈133

答：

原来的平均时速约为133千米

15.（2007•芜湖）芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：

00～22：

00，14小时，谷段为22：

00～次日8：

00，10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0.03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．

（1）问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元？

（2）如不使用分时电价结算，5月份小明家将多支付电费多少元？

（1）问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元，只要求出每段的电价就可以．即只要求原销售电价就可以．本题中存在的相等关系是：

平段用电费用+谷段用电费用=42.73元，即：

40（原售电价+0.03元）+60（原售电价-0.25元）=42.73元；

（2）求出原售电价，已知5月份的用电量，就比较容易求出：

如不使用分时电价结算，5月份小明家将支付电费．从而算出多支付的电费数．

【解析】

（1）设原销售电价为每千瓦时x元，

根据题意得：

40×（x+0.03）+60×（x-0.25）=42.73

解得：

x=0.5653

∴当x=0.5653时，x+0.03=0.5956；x-0.25=0.3153．

答：

小明家该月支付平段电价为每千瓦时0.5953元、谷段电价每千瓦时0.3153元；

（2）100×0.5653-42.73=13.8．

答：

如不使用分时电价结算，小明家5月份将多支付13.8元．

16.（2007•宿迁）某公司在中国意杨之乡--宿迁，收购了1600 m3杨树，计划用20天完成这项任务，已知该公司每天能够精加工杨树50 m3或者粗加工杨树100 m3．则：

（1）该公司应如何安排精加工、粗加工的天数，才能按期完成任务？

（2）若每立方米杨树精加工、粗加工后的利润分别是500元、300元，则该公司加工后的木材可获利多少元？

（结果保留两个有效数字）

（1）本题的等量关系为：

粗加工和精加工20天共完成16003，列出方程求解即可；

（2）在

（1）的基础之上将精加工粗加工的利润代入式子求解即可．

【解析】

（1）设精加工用x天，则粗加工用（20-x）天

由题意得，50x+（20-x）×100=1600

解得：

x=8

∴20-x=20-8=12；

（2）共可获利：

50×8×500+100×12×300=560000=5.6×105（元）

答：

精加工8天、粗加工12天，才能按期完成任务；该公司加工后的木材可获利5.6×105元．

17.（2007•梅州）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．

（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；

（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．

（1）从出故障地到把人都送到考场需要时间是

×3；

（2）汽车送第一批人的同时，第二批人先步行，可节省一些时间．

【解析】

（1）

（分钟），

∵45＞42，

∴不能在限定时间内到达考场．

（2）方案1：

先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．

先将4人用车送到考场所需时间为

（分钟）．

0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15-1.25=13.75（km），

设汽车返回t（h）后先步行的4人相遇，

5t+60t=13.75，

解得

．

汽车由相遇点再去考场所需时间也是

．

所以用这一方案送这8人到考场共需

．

所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．

方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场，

由A处步行前考场需

，

汽车从出发点到A处需

先步行的4人走了

，

设汽车返回t（h）后与先步行的4人相遇，则有

，

解得

，

所以相遇点与考场的距离为：

．

由相遇点坐车到考场需：

．

所以先步行的4人到考场的总时间为：

，

先坐车的4人到考场的总时间为：

，

他们同时到达则有：

，

解得x=13．

将x=13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：

（分钟）．

∵37＜42，

∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．

18.（2006•漳州）根据十届全国人大常委会第十八次全体会议《关于修改＜中华人民共和国个人所得税法＞的决定》的规定，公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳所得额，月个人所得税按如下方法计算：

月个人所得税=（月工资薪金收入-1600）×适用率-速算扣除数．注：

适用率指相应级数的税率．

月工资薪金个人所得税率表：

级数

全月应纳税所得额

税率%

速算扣除数（元）

1

不超过500元

5

2

超过500元至2000元的部分

10

25

3

超过2000元至5000元的部分

15

125

…

…

…

…

某高级工程师2006年5月份工资介于3700～4500元之间，且纳个人所得税235元，试问这位高级工程师这个月的工资是多少？

本题中要根据工资、薪金的金额，按照表中不同的类别分类讨论，然后根据题目中给出的等量关系：

“月个人所得税=（月工资薪金收入-1600）×适用率-速算扣除数”列出方程，求解．

【解析】

3700-1600=2100，4500-1600=2900

∴该工程师应纳税所得额在2000～5000元的部分，其税率为15%，

速算扣除数为125元．

设这位高级工程师这个月的工资是x元，

依题意得：

（x-1600）×15%-125=235

解得：

x=4000

答：

这位高级工程师这个月的工资是4000元．

19.（2006•邵阳）2006年“五•一”节，小华、小颖、小明相约到“心连心”超市调查“农夫山泉”矿泉水的日销售情况．下图是调查后三位同学进行交流的情景．请你根据上述对话，解答下列问题：

（1）该超