最新人教版高中数学必修4第一章《余弦函数正切函数的图象与性质2正切函数的图象与性质》示范教案.docx

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最新人教版高中数学必修4第一章《余弦函数正切函数的图象与性质2正切函数的图象与性质》示范教案

示范教案

教学分析　　　　　

本节课的背景是：

这之前我们已经学习了正弦函数和余弦函数的图象与性质．函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．对正切函数，我们也遵循这一原则，先定义正切函数，再利用单位圆找出正切线，然后类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画出正切函数的图象．通过图象来研究它的主要性质．这样处理学生驾轻就熟，易于理解和掌握．

通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象，以提高学生的学习兴趣，提高课堂教学质量．以学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．

由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法．

学习正切函数的图象与性质，主要注意两点：

一是通过正切线画函数的图象，掌握正切函数的性质；二是正切函数的图象的间断点和定义域，从数形两方面理解正切函数图象的特点（变化趋势），理解语句“趋向无穷大的含义”．

三维目标　　　　　

1．通过对正切函数的图象与性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．

2．在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．

3．通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏（中心）对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．

重点难点　　　　　

教学重点：

正切函数的图象与性质的简单应用．

教学难点：

正切函数性质的深刻理解及其简单应用．

课时安排　　　　　

1课时

导入新课　　　　　

思路1.（直接导入）常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？

由此展开新课．

思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法．

推进新课　　　　　

（1）什么是正切函数？

什么是正切线？

正切函数的定义域是什么？

（2）我们学习了正弦线、余弦线、正切线．你能画出四个象限的正切线吗？

（3）我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图象．那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？

为什么？

（4）我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图，你能画出正切函数的简图吗？

（5）你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？

你能类比归纳出正切函数的主要性质吗？

活动：

教师引导学生回忆前面对正弦、余弦函数的学习．明确正弦函数的定义．我们前面用正弦线、余弦线画出了正弦函数、余弦函数的图象．那么有没有线段可以表示正切线呢？

如图1，在直角坐标系中，设单位圆与x轴正半轴的交点为A（1,0），任意角α的终边与单位圆交于点P，过点A（1,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点．从图中容易看出：

当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方．过点P作x轴的垂线，与x轴交于点M，那么，不论角α的终边在第几象限，都有∠AOT与∠MOP的正切值相等．我们称线段AT为角α的正切线．

问题

（1），教师先引导学生回忆：

正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的．有了这些知识准备，然后根据作出的正切函数图象，类比正弦、余弦函数探究正切函数的性质，指导学生充分利用正切曲线的直观性．

问题

（2），教师引导学生作出正切线，并观察它的变化规律，如图1.

图1

问题（3），正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？

教师引导学生在课堂上展开充分讨论，这也体现了“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期选取，这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计划，把课件中先作出[－，]内的图象，改为先作出[0，π]内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间（－，）的图象为好．这时条件成熟，教师引导学生用单位圆上的正切线来作正切函数在开区间（－，）内的图象，如图2.

根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y＝tanx，x∈（－＋kπ，＋kπ）（k∈Z）的图象，我们称正切曲线，如图3.可以看出，正切曲线是由通过点（＋kπ，0）（k∈Z）且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．

图2

图3

问题（4），教师引导学生观察正切曲线，点拨学生讨论思考，只需确定哪些点或线就能画出函数y＝tanx，x∈（－，）的简图．学生可看出有三个点很关键：

（－，－1），（0,0），（，1），还有两条竖线．因此，画正切函数简图的方法就是：

先描三点（－，－1），（0,0），（，1），再画两条平行线x＝－，x＝，然后连线．教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助．

讨论结果：

（1）略．

（2）正切线是AT.

（3）略．

（4）能．

（5）“三点两线”法．

下面与学生一起探究正切函数y＝tanx的性质如下：

（1）定义域

根据正切函数的定义tanα＝，显然，当角α的终边落在y轴上任意一点时，都有x＝0，这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ＋，k∈Z，所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ＋，k∈Z}，而不是{α≠＋2kπ，k∈Z}，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应适时提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．

（2）值域

由多媒体课件演示正切线的变化规律，从图3或正切线可以看出，在区间（－，）内，当x小于，并且无限接近时，tanx可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况，记作

tanx→＋∞.

读作“tanx趋向于正无穷大”；当x大于－，并且无限接近－时，tanx可无限地减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作

tanx→－∞.

读作“tanx趋向于负无穷大”．这就是说，tanx可以取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．

因此，函数y＝tanx的值域是实数集R.

（3）周期性

由诱导公式

tan（x＋π）＝tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z，

可知，正切函数是周期函数，周期是π.

这里可通过多媒体课件演示，让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性，直观理解正切函数的周期性，后面的正切函数图象作出以后，还可从图象上观察正切函数的这一周期性．

（4）奇偶性

由诱导公式

tan（－x）＝－tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z

可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？

与正余弦函数相对照，学生会发现正切函数也是中心对称函数，它的对称中心是（，0），k∈Z.

（5）单调性

通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在（－，）内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在每一个开区间（－＋kπ，＋kπ），k∈Z内都是增函数．

（1）请同学们认真观察正切函数的图象特征，由形及数从正切函数的图象讨论它的性质．

（2）设问：

每个区间都是增区间，我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？

请举一个例子．

活动：

问题

（1），从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反映了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是（－＋kπ，＋kπ），k∈Z，没有减区间．它的图象是关于原点对称的，得到哪一性质——是奇函数．通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是（，0），k∈Z.

问题

（2），正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间（0，π）上就没有单调性，这一点务必让学生理解透彻，课后的思考与讨论提到了这一点．

讨论结果：

（1）略．

（2）略．

例1比较大小．

（1）tan138°与tan143°；

（2）tan（－）与tan（－）．

活动：

利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．

解：

（1）∵y＝tanx在90°

∴由138°<143°，得tan138°

（2）∵tan（－）＝－tan＝－tan（3π＋）＝－tan，

tan（－）＝－tan＝－tan（3π＋）＝－tan.

又0<<<，而y＝tanx在（0，）上是增函数，

∴tan

∴－tan>－tan，

即tan（－）>tan（－）．

例2用图象求函数y＝的定义域．

活动：

如图4，本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题．不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决，教师在引导学生探究活动中，也应以两种方法提出解决方案，但要有侧重点，应体现函数图象应用的重要性．

图4图5

解：

由tanx－≥0，得tanx≥，

利用图4知，所求定义域为[kπ＋，kπ＋）（k∈Z）．

点评：

先在一个周期内得出x的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，如图5.本节的重点是正切线，但在今后解题时，学生哪种熟练就用哪种.

变式训练

1．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间（，）内的图象大致是（　　）

图6

答案：

D

2．求函数y＝tan（x－）的定义域．

解：

设t＝x－，则函数y＝tant的定义域是

{t|t∈R且t≠kπ＋，k∈Z}．

由x－≠kπ＋，得x≠kπ＋.

因此，函数y＝tan（x－）的定义域是

{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}.

例3求函数y＝tan（x＋）的定义域、周期和单调区间．

活动：

类比正弦、余弦函数，本例应用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法，所以这里也就不用再介绍换元法，可以直接将x＋作为一个整体．教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域．

解：

函数的自变量x应满足x＋≠kπ＋，k∈Z，

即x≠2k＋，k∈Z.

所以函数的定义域是{x|x≠2k＋，k∈Z}．

由于f（x）＝tan（x＋）＝tan（x＋＋π）＝tan[（x＋2）＋]＝f（x＋2），

因此，函数的周期为2.

由－＋kπ

因此，函数的单调递增区间是（－＋2k，＋2k），k∈Z.

点评：

同y＝Asin（ωx＋φ）（ω>0）的周期性的研究一样，这里可引导学生探究y＝Atan（ωx＋φ）（ω>0）的周期T＝.

变式训练

1．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（　　）

A．a

C．b

答案：

D

2．求函数y＝tan3x的周期．

解：

因为tan（3x＋π）＝tan3x，即tan3（x＋）＝tan3x，

这说明自变量x至少要增加，函数的值才能重复取得，所以，函数y＝tan3x的周期为.

3．求函数y＝tan（x＋）的定义域，值域，单调区间，周期性．

解：

由x＋≠kπ＋，k∈Z可知，定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}．

值域为R.

由x＋∈（kπ－，kπ＋），k∈Z可得，在x∈（kπ－，kπ＋）上是增函数．

周期是π，也可看作由y＝tanx的图象向左平移个单位得到，其周期仍然是π.

例4把tan1，tan2，tan3，tan4按照由小到大的顺序排列，并说明理由．

活动：

教师引导学生利用函数y＝tanx的单调性探究解题方法．也可利用单位圆中的正切线探究解题方法．但要提醒学生注意本节中活动的结论：

正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．学生可能的错解有：

错解1：

∵函数y＝tanx是增函数，

又1<2<3<4，∴tan1

错解2：

∵2和3的终边在第二象限，

∴tan2，tan3都是负数．

∵1和4的终边分别在第一和第三象限，∴tan1，tan4都是正数．

又∵函数y＝tanx是增函数，且2<3,1<4，

∴tan2

教师可放手让学生自己探究问题的解法．发现错解后不要直接纠正，立即给出正确解法，可再让学生讨论分析找出错的原因．

解法一：

∵函数y＝tanx在区间（，）上是单调递增函数，

且tan1＝tan（π＋1），又<2<3<4<π＋1<，

∴tan2

解法二：

如图7,1,2,3,4的正切函数线分别是AT1，AT2，AT3，AT4，

图7

∴tan2

点评：

本例重在让学生澄清正切函数单调性问题，这属于学生易错点．把正切函数y＝tanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的．

1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？

研究正、余弦函数，是由图象得性质，而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质．

2．教师简要归纳，本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：

这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？

课本练习B组3～6.

1．本教案的设计思路是始终抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受．

2．本教案设计的学习程序是：

温故（相关知识准备）→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步地发散思考→探索提高．

函数f（x）±g（x）最小正周期的求法

若f（x）和g（x）是三角函数，求f（x）±g（x）的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：

（一）定义法

例1求函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．

解：

∵y＝|sinx|＋|cosx|

＝|－sinx|＋|cosx|

＝|cos（x＋）|＋|sin（x＋）|

＝|sin（x＋）|＋|cos（x＋）|，

对定义域内的每一个x，当x增加到x＋时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是.

（二）公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T＝，正切函数T＝.

例2求函数y＝－tanx的最小正周期．

解：

y＝－tanx＝＝2·＝，∴T＝.

（三）最小公倍数法

设f（x）与g（x）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期是T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝.

3求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期．

例解：

设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1＝，T2＝，所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝＝2π.

4求y＝sin3x＋tanx的最小正周期．

例解：

∵sin3x与tanx的最小正周期是与，其最小公倍数是＝10π，

∴y＝sin3x＋tanx的最小正周期是10π.

（四）图象法

例5求y＝|cosx|的最小正周期.

解：

由y＝|cosx|的图象，可知y＝|cosx|的周期T＝π.

图8