第三章空间向量与立体几何导学案上课用.docx
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第三章空间向量与立体几何导学案上课用
§3.1.1空间向量及其加减运算
学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2.会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；
3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
（1）向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
（2）单位向量都相等；
（3）任一向量与它的相反向量不相等；
（4）四边形ABCD是平行四边形的充要条件是
AB=DC；
（5）模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
（6）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
新知：
空间向量的加法和减法运算：
学习过程
一、课前准备
（预习教材P84~P86，找出疑惑之处）
复习1：
平面向量基本概念：
具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；
叫单位向量.叫相反向量，a的相反向量记着.叫相等向量.向量的表示方法有和.
复习2：
平面向量有加减以及数乘向量运算：
1.向量的加法和减法的运算法则有法则和法则。
2.实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：
（1）|λa|＝.
（2）当λ>0时，λa与a；当λ<0时，λa与a；当λ＝0时，λa＝.
3.向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：
a＋b＝b＋a加法结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：
λ（a＋b）＝λa＋λb
【反思感悟】解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、
共面向量的概念特征及相互关系要把握好．
试试：
1.分别用平行四边形法则和三角形法则求
ab,ab.
ACAB,
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：
空间向量的相关概念问题：
什么叫空间向量？
空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？
空间向量如何表示？
2.点C在线段AB上，且AC5,则CB2
BCAB.
反思：
空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？
⑴加法交换律：
a＋b＝b＋a；
⑵加法结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；
推广：
试一试：
判断下列语句是否正确，若不正确，请简述理由．
※典型例题
例1已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
小结：
化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.
※动手试试
练1：
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，下列各式中运算的结果为向量BD1的是（）
1（A1D1－A1A）－AB；
2（BC＋B→B1）－D→1C1；
3（AD－A→B）－2D→D1；
4（B1D1－A→1A）＋D→D1.
A．①②B．②③C．③④D．①④
变式：
在上图中，用AB,AD
''',AA'表示A'C,BD'和
DB'
练2：
在如图所示的平行六面体中，求证：
ACAB'AD'2AC'
⑵ABMBBOOM;
小结：
（1）空间向量加法的运算要注意：
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
例2化简下列各式：
⑴ABBCCA;
⑶ABACBDCD;⑷OAODDC.
三、总结提升
※学习小结
1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．
2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．
3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a－b表示的是由减数b的终点指向被减数a的终点的一条有向线段．
※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
变式：
化简下列各式：
⑸OAOCBOCO;⑹ABADDC;
⑺NQQPMNMP.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）
A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：
5分钟满分：
10分）计分：
1.下列说法中正确的是（）
A.若∣a∣=∣b∣，则a，b的长度相同，方向相反或相同;
B.若a与b是相反向量，则∣a∣=∣b∣;
C.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABCD中，一定有ABADAC.
2.长方体ABCDA'B'C'D'中，化简AA'A'B'A'D'=
论；
3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习过程一、课前准备（预习教材P86~P87，找出疑惑之处）复习1：
化简：
⑴5（3a2b）+4（2b3a）；
3.已知向量a，b是两个非零向量，a0,b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）
A.a0b0
⑵6a3bcabc.
C.a01
D.
∣a0∣=∣
b0
中，
B.a0b0或a0b0
若ACABAD,则四边形是
4.在四边形ABCD（）
A.矩形B.菱形
5.下列说法正确的是（
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
6.如图所示a，b是两个空间
向量，则AC与A′→C′是
向量，A→B与B′→A′向量．
C.正方形D.平行四边形）
复习2：
在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量a,b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是
6.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
1）
、新课导学
※学习探究
探究任务一：
两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.
我们知道平面向量还有数乘运算.类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
新知：
数乘空间向量的数乘运算
与平面向量一样,实数与空间向量a的乘积a
仍然是一个向量.
⑴当
0时,a与向量a的方向相同;
3）
4）
AA1+A1B1；
11
A1B1+A1D1；
22
11
AA12+A1B1+A1D1；
22
AB+BC+CC1+C1A1+A1A;
⑵当
⑶当
0时,a与向量a的方向相反;
0时,a是零向量.
注：
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即：
（ab）ab
（）aaa
（a）（）a
§3.1.2空间向量的数乘运算
（一）
探究任务二：
空间向量的共线
问题：
空间任意两个向量有几种位置关系？
如何判定它们的位置关系？
新知：
空间向量的共线：
1.如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2.空间向量共线：
定理：
对空间任意两个向量a,b（b0），a//b的充要条件是存在唯一实数，使得推论：
如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
【反思感悟】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．
变式1：
已知长方体ABCDA'B'C'D'，M是对角线
AC'中点，化简下列表达式：
'
⑴AA'CB;
⑵AB'B'C'C'D
P三点共线，点O是直线AB外一yOB，求x+y的值。
⑶1AD1AB1A'A
222
⑴
⑵OQOA3AB2AC
变式：
如果已知OPxOAyOB,且xy1,那么A、B、P三点共线吗?
变式2：
如图，已知A,B,C不共线，从平面ABC外任一点O，作出点P,Q,R,S,使得：
OPOA2AB2AC
⑶OROA3AB2AC⑷OSOA2AB3AC.
试用向量a,b,c表示向
试试：
已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，
1
若OPOAtOB，那么t＝
2
例2已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，点M是棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且CG:
GA'=2:
1,设CD=a，CBb,CC'c，量CA,CA',CM,CG.
小结：
空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※动手试试
练1.下列说法正确的是（）
A.向量a与非零向量b共线，b与c共线，则a与c共线；
B.任意两个共线向量不一定共线；
C.任意两个共线向量相等；
D.若向量a与b共线，则ab.
11
C.abc；
22
11
D.abc.
22
2.已知a3m2n,b（x1）m8，na0，若a//b，求实数x.
6.如图所示,平行六面体A1B1C1D1-ABCD，
1→
M分AC成的比为2，N分A1D成的比为2，设AB＝a，A→D＝
三、总结提升
※学习小结
1.空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；
2.空间两个向量共线的充要条件及推论.
※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
学习评价
你完成本节导学案的情况为（
B.较好C.一般D.较差时量：
5分钟满分：
10分）计分：
）.
※自我评价
A.很好
※当堂检测
1.下列说法正确的是（）
7．对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面．
A.a与非零向量b共线,b与c共线，则a与c共线
B.任意两个相等向量不一定共线
C.任意两个共线向量相等
D.若向量a与b共线，则ab
点E是上底面
2.正方体ABCDA'B'C'D'中，
A'B'C'D'的中心，若BD'xADyABzAA,
'
则x＝，y＝，z＝;若AExADyABzAA'，则x＝，y＝，
§3.1.2空间向量的数乘运算
（二）
z＝。
3.若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则OPOA+OB.
4.平行六面体ABCDA'B'C'D',O为A1C与B1D的交点,则1（ABADAA'）AO
3
M是AC与BD交点，若ABa,ADb,A'Ac，则与B'M相等的向量是（）
11
A.abc；
22
学习目标
1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
（预习教材P86~P87，找出疑惑之处）
复习1：
什么叫空间向量共线？
空间两个向量a,b，
若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是
复习2：
已知直线AB，点O是直线AB外一点，若
OP1OA2OB，试判断A,B,P三点是否共线？
33
二、新课导学
※学习探究探究任务一：
空间向量的共面问题：
空间任意两个向量不共线的两个向量a,b有怎
样的位置关系？
空间三个向量又有怎样的位置关系？
新知：
共面向量：
同一平面的向量.
2.空间向量共面：
定理：
对空间两个不共线向量a,b，向量p与向量a,b共面的充要条件是存在，使得.
推论：
空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴存在，使
⑵对空间任意一点O，有
中，使M,A,B,C四点共面的个数是（）OBOC;
111
2OM1OA1OB1OC;
OM5OA3OB2OC;
3MAMBMC0;
4OMOAOBOC0.
A.1
变式：
已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一
点，若向量OP1OA7OBOCR,
53
则P,A,B,C四点共面的条件是
试试：
若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满
111
足关系式OPOAOBOC,则点P与A,B,C
236
共面吗？
例2如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点
E,,F,G,H,并且使
OEOFOG
OAOBOC
OH
OOHDk,
求证：
E,F,G,H四点共面.
反思：
若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OPxOAyOBzOC,且点P与
A,B,C共面，则xyz.
变式：
已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：
（1）E,F,G,H四点共面;
（2）求证：
BD∥平面EFGH.
D
小结：
空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※动手试试
练1.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外任一点P，满足条件OP1OA2OB2OC，试判断：
555
点P与A,B,C是否一定共面？
试说明理由。
样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a∥b时，也具有同样的意义．
（2）“共线”这个概念具有自反性a∥a，也具有对称性，即若a∥b，则b∥a.
（3）如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a（或b）上有一点不在b（或a）上．
AB＝λB→C或AB＝μA→C即可．也可用“对空间任意一点O，有O→B＝tO→A＋（1－t）O→C”来证明三点共线．
2．向量共面的充要条件的理解
→→
MP＝xMA＋yMB.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
（2）共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组（x，y，z）使得对于空间任意一点O，有OB＝（1－t）O→A＝xO→A＋yO→B＋zO→C，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
学习评价
※自我评价
A.很好
※当堂检测
你完成本节导学案的情况为（）.
B.较好C.一般D.较差时量：
5分钟满分：
10分）计分：
1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、
D1C、A1C1是（）A.有相同起点的向量C．共面向量
B．等长向量
D．不共面向量.
2.已知向量a,b，且ABa2b，BC5a6b,CD7a2b，则一定共线的三点是（
A.A、B、DB．A、
C．B、C、D
B、C
D．A、C、D
三、总结提升
※学习小结
1．向量共线的充要条件及其应用
（1）空间共线向量与平面共线向量的定义完全一
3.在下列语句中：
①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，
知，
已e
则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确的个数为（）.
A．0B.1C.2D.3
4.设e1,e2是空间中两个不共线的向量，AB2e1ke2，CBe13e2，CD2e1且A、B、D三点共线，求k的值。
※学习探究
探究任务一：
空间向量的数量积定义和性质问题：
在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？
新知：
1）两个向量的夹角的定义：
已知两非零向量a,b，在空间一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作.
5.已知边长为1的正四面体OABC，边OA的中点为M，自O作平面在ABC的垂线h，h与平面
试试：
⑴范围:
a,b
a,b=0时,a与b;a,b=π时,a与b
⑵a,bb,a成立吗？
⑶a,b，则称a与b互相垂直，记作
ABC交于点H，h与平面MBC交于点I，用OA，OB，OC表示OI
2）向量的数量积：
已知向量a,b，则叫做a,b的数量积，记作ab，即ab.
3.1.3．
空间向量的数量积
（1）
学习目标
1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2.掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．
一、课前准备
（预习教材P90~P92，找出疑惑之处）复习1：
什么是平面向量a与b的数量积？
规定:
零向量与任意向量的数量积等于零.
反思：
⑴两个向量的数量积是数量还是向量？
⑵0a（选0还是0）
⑶你能说出ab的几何意义吗？
3）空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量e，则ae|a|cosa,e．
（2）abab．
（3）aa＝.
4）空间向量数量积运算律：
（1）
（2）
（3）
（a）b（ab）a（b）．abba（交换律）．
a（bc）abac（分配律）
反思：
⑴（ab）ca（bc）吗？
举例说明
复习2：
在边长为1的正三角形⊿ABC中，求ABBC.
⑵若abac，则bc吗？
举例说明.
⑶若ab0，则a0或b0吗？
为什么？
、新课导学
※典型例题
例1已知空间向量a，b满足a4，b8，a与b的夹角是150°，计算：
（1）（a2b）（2ab）；
（2）4a2b．
变式：
在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
变式：
求
如图所示，AB·OC.
已知正四面体
O-ABC的棱长为a，
例2在平行六面体ABCD11AB1中C
AB=4,AD=4,AA1=5,∠BAD=90
BAA1=DAA1=60O
（1）求AC1的长
（2）求证:
AA1⊥BD
※动手试试
练1.已知向量a,b满足
D
则ab.
2
练2.已知a22,b,ab2,则a与b的
夹角大小为.
※学习小结
1..向量的数量积的定义和几何意义.
2.向量的数量积的性质和运算律的运用
※知识拓展
向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）
A.很好※当堂检测（时量：
1.下列命题中：
①若ab0，则a②若a0且ab③（ab）ca（b④（3a2b）（3a2b）9a24b正确有个数为（）
A.0个B.1个C.2个
B.较好C.一般D.较差
5分钟满分：
10分）计分：
如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.
，b中至少一个为ac，则bc
c）
2.已知e1和e2是两个单位向量，夹角为
D.3个，则下面
3
向量中与2e2e1垂直的是（）
A.e1e2B.e1e2C.e1
3.已知ABC中，A,B,C所对的边为a,b,c，且a3,b1,C30,则BCCA=
b2，且a和b不共线，当ab与
4.已知
4，
D.e2
ab3，则
ab的夹角是锐角时，的取值范围是.
5.已知向量a,b满足a4，b2，ab
§3.1.3．空间向量的数量积
（2）
课后作业：
1.已知空间四边形ABCD中，求证：
ADBC.
ABCD，ACBD，
学习目标
掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利
用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题，如：
利用数量积求角、利用数量积证明垂直关系．
学习过程
一、课前准备
复习1：
空间向量的数量积公式及其运算律是什
么？
复习2：
2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么
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