高考新课标全国1卷理科数学试题及答案.docx
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高考新课标全国1卷理科数学试题及答案
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试真题
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）
填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如
需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=（x|x<1｝，B=（x|3x1｝，则
A.AIB（x|x0｝B.AUBR
C.AUB（x|x1｝D.AIB
2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成
中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
3.设有下面四个命题
P4:
若复数z
其中的真命题为
7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图
为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
/瑜人/
A.A>1000和n=n+1
B.A>1000和n=n+2
C.A1000和n=n+1
9.已知曲线Ci:
y=cosx，C2：
y=sin（2x+
25）,则下面结论正确的是
3
A.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
1
1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
2
1
1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
2
M个单位长度，得到曲线C2
6
三个单位长度，得到曲线C2
12
'个单位长度，得到曲线C2
6
业个单位长度，得到曲线C2
12
D.A1000和n=n+2
F作两条互相垂直的直线|1，|2,直线|1与c交于A、B两点，直线|2与c
10.已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点，过交于D、E两点，则U|AB|+|DE|的最小值为
B.14
C.12
D.10
11.设xyz为正数，且2x3y5z，则
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了解数学题获取软
件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列1,1,2,1,2,4，1，2，4，8,1，2,4,
8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推.求满足如下条件
的学科网&最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A.440B.330C.220D.110
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60°|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.
x2y1
14.设x,y满足约束条件2xy1,则z3x2y的最小值为.
xy0
x2y2
15.已知双曲线C:
—221（a>0,b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条
ab
渐近线交于M、N两点。
若ZMAN=60°,贝UC的离心率为。
16.如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为0。
D、E、F为圆O上的点，
△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折
痕折起△DBC,△ECA,^FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。
当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单
位：
cm3）的最大值为。
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
2
a
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为—一
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90°.
（1）证明：
平面FAB丄平面FAD;
及X的数学期望;
程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性;
（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
件的尺寸，i1,2,,16.
20.（12分）
（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（-1,吏），P4（1，
b22
（1）求C的方程;
（2）设直线I不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-，证明：
I过定点.
21.（12分）
已知函数（X）ae2x+（a-2）ex-x.
（1）讨论f（x）的单调性;
（2）若f（X）有两个零点，求a的取值范围.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4-4：
坐标系与参数方程］（10分）
l的参数方程为
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为X'cos,（°为参数），直线ysin,
Xa%为参数）.
y1t,
（1）若a=-1,求C与I的交点坐标；
（2）若C上的点到I的距离的最大值为W，求a.
23.[选修4-5:
不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=-2+ax+4,g（x）=|x+1I+X-1I.
（1）当a=1时，求不等式f（x）迓（x）的解集；
（2）若不等式f（x）句（x）的解集包含
[-,1],求a的取值范围.
2019年新课标1理数答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.C
7.B
8.D
9.D
10.A
11.D
12.A
13.2J314.5
15.
1a1a
17.解：
（1）由题设得一acsinB，即一csinB
23sinA23sinA
由正弦定理得—sinCsinBS*n.
23sinA
2
故sinBsinC-
3
（2）由题设及
（1）得cosBcosCsinBsinC
-,，即cos（BC）
2
2n
所以bC2三，故
3
1
由题设得-bcsinA
2
2
赤，即bc
8.
由余弦定理得b2c2
bc9，即（b
c）2
3bc
9，得bcx/33
故△ABC的周长为3
^33.
18.解：
（1）由已知BAPCDP
90,
得AB丄AP,CD丄PD.
PAD.
由于AB//CD，故AB丄PD，从而AB丄平面
又AB平面PAB，所以平面FAB丄平面PAD.
（2）在平面PAD内做PFAD，垂足为F，
由
（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.
uuruuu
xyz.
以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F
设n（x,y,z）是平面PCB的法向量，则
设m（x,y,z）是平面PAB的法向量，则
urn
mPA0即
uuu，即
mAB0
可取n（1,0,1）.
n
则cos——
|n||m|
所以二面角APBC的余弦值为
.3
3
19.【解】
（1）抽取的一个零件的尺寸在
3）之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在（3,3）之
外的概率为0.0026，故X~B（16,0.0026）.因此
P（X1）1P（X0）10.99740.0408.
X的数学期望为EX160.00260.0416.
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（
出现尺寸在（3,3）之外的零件的概率只有
3,3）之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,
0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为
这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过
程的方法是合理的.
（ii）由X9.97,s0.212，得的估计值为？
9.97，的估计值为？
0.212，由样本数据可以看出有一个零件
的尺寸在（？
3?
?
3?
）之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
1
剔除（？
3?
?
3?
）之外的数据9.22，剩下数据的平均数为一（169.979.22）10.02，因此的估计值为10.02.
15
16
X：
160.2122169.9721591.134，剔除（？
3?
?
3?
）之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为
i1
122
（1591.1349.221510.02）0.008，
15
因此的估计值为0.0080.09.
20.（12分）解:
（1）由于F3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，巳两点.
又由
11
a2b2
13
a24?
知,C不经过点F1,所以点F2在C上.
因此
b^1
13
a24b2
，解得a24
1b1
2
故C的方程为y21.
4
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为ki,
k2,
如果I与x轴垂直，设
I:
x=t，由题设知t0,
且|t|2，可得A,B的坐标分别为（t,
粉）,（t,
则k1k2*
2，不符合题设.
从而可设I:
ykxm
（m1）.将y
2
kxm代入丄y21得
4
22
（4k1）x
8kmx4m2
由题设可知
2
=16（4k
2
m1）0.
设A（xi，yi），B（X2，y2），贝Uxi+X2=
8km
4k2
-,X1X2=
1
4m24
4k21
X1X2
kx1m1kx2m1
X1X2
2kx1x?
（m1）（x1x2）
X1X2
由题设
k,k21,
故（2k
1）*
（m
i）（x
X2）
0.
即（2k
解得k
y
4k21
m1
2'
（m1）
8km
4k2
0.
当且仅当m1时,
0，欲使
所以I过定点（2，
1）
m1
—（x2）,
21.解：
（1）
f（x）的定义域为（
f（X）
2ae2x（a
2）ex1（aex1）（2ex
1），
⑴若a
0,则f（x）0,所以
f（x）在（
）单调递减.
（ii）若a
0，则由f（x）
Ina.
Ina）时，f（x）
0;当x（Ina,
）时，f（x）0,所以f（x）在（
Ina）单调递减,
在（Ina,）
单调递增.
（2）（i）若
a0,由
（1）
知，f（x）至多有
个零点.
（ii）若a
0，由
（1）知,
当xIna时，f（x）取得最小值，最小值为f（Ina）
1
1—Ina.
a
①当a1时，由于f（Ina）0，故f（x）只有一个零点;
22.［选修4-4:
坐标系与参数方程］（10分）
2
解:
（1）曲线C的普通方程为—y21.
9
当a1时，直线I的普通方程为x4y30.
|3cos4sina41
、节
23.［选修4-5：
不等式选讲］（10分）
当x1时，①式化为x23x40，无解;
当1x1时，①式化为x2x20，从而1x1；
1时，①式化为x2x40,从而1x1而
2
又f（x）在［1,1］的最小值必为f
（1）与f
（1）之一，所以f
（1）2且f
（1）2,得la1.所以a的取值范围为［1,1］.
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