信号分析与处理杨西侠课后答案二三五章1汇总.docx
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信号分析与处理杨西侠课后答案二三五章1汇总
2-1画岀下列各时间函数的波形图，注意它们的区别
1）xi（t）=sinit•u（t）
2）X2（t）=sin[；：
]（t—to）]•u（t）
3）X3（t）=sin111•u（t-to）
4）X2（t）=sin[11（t-to）]•u（t-to）
2-2已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图
x（t）
-1
1
2-76
（1）x（t-2）
（2）x（t+2）
（3）x（2t）
-1
（4）x（t/2）
（5）x（-t）
X（-t-2）
（7）x（-t/2-2）
』dx/dt
-2-10
23
-8（t-2）
2-3应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值
（i）」x（t-to）
8（t）dt=x（-to）
（2）」x（to—t）
8（t）dt=x（to）
+□0
（t-to）
（to一t）
（5）
e，
—!
3O
（6）
to
u（t-~2）dt=u（2
u（t-2to）dt=u（-to）
2
5（t+2）dt=e-2
tsint5
—oO
（t-
6）dt=
（7）
t-todt
tdt
-oO
+□0
jt启
e
—oO
（t一to）dt
j'」to
=1-e=1-cosQto+jsinQto2-4求下列各函数Xi（t）与X2（t）之卷积，Xi（t）*X2（t）
（1）X1（t）=u（t）,X2（t）=eatu（t）（a>o）
丄（1
a
-be
X1（t）*X2（t）=_u（）e^u（t-）d
（2）x1（t）=5（t+1）-5（t-1）,x2（t）=cos（Qt+4）u（t）
■He31
X1（t）*X2（t）=-[COS^t；）u（）][（t-
4
1）
-（t-
-1）]d
JI
=cos[Q（t+1）+,
4
]u（t+1）—cos[Q（t-1）+,]u（t-1）
4
（3）xi（t）=u（t）-u（t-1）,X2（t）=u（t）-u（t-2）
1）]d
X1（t）*X2（t）=』（）-u（-2）][u（t-）-u（t-
当tt
当Ovt<1时，X1（t）*X2（t）=od
2
当11
1
当2当3x!
（t）*X2（t）=」sin（）u（）u（t--1）d
oO
=sinu（t--1）d
0
=1-cos（t-1）
2-5已知周期函数x（t）前1/4周期的波形如图2-77所示，根据下列各种情况的要求画出x（t）在一个周期
（OvtvT）的波形
（1）x（t）是偶函数，只含有偶次谐波分量
f（t）=f（-t）,f（t）=f（t±T/2）
1
i
'f（t）
J
丿
■
I
丿
I
u
1
-T/2
厂-T/4\
0
厂T/4、
T/2
厂3T/4\
T
（2）x（t）是偶函数，只含有奇次谐波分量
f（t）=f（-t）,f（t）=-f（t±T/2）
4
Lf（t）
1
J
I
/
1
J
It
-T/2\
-T/4、\
0
厂T/4
广\
T
（3）x（t）是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量
f（t）=f（-t）
f（t）
丿
2
1
J
t
4
-T/2
0
1A
T/2
/3T/4'、
厂
T
（4）x（t）是奇函数，只含有奇次谐波分量
f（t）=-f（-t）,f（t）=-f（t±T/2）
'f（t）
1
y
丿
1
I
KU
t
-T/2\
-T/4
k
T/2\
3T/4
广
\
]
（5）x（t）是奇函数，只含有偶次谐波分量
f（t）=-f（-t）,f（t）=f（t±T/2）
丿
、丿
4
Lf（t）
J
7
t
j■
-T/2
（〔T/4
厂T/4
/T/2
/3T/4
r
（6）x（t）是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量
f（t）=-f（-t）
1J
i
1
Jill1/
-T/2-T/4
r
J
'f（t）
1
\
i
t
1
-T/2
/-T/4
r
/d/4
|/5/2
]\
r
2-6利用信号x（t）的对称性，定性判断图2-78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量
（a）
这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称，所以含有直流、正弦等所有谐波分量,因为去除直流后为奇函数。
（b）
1
b
x
（t）
i
-T
0
T
这是一个奇函数。
也是一个奇谐波函数，所以只含有基波、奇次正弦谐波分量
（c）
除去直流分量后是奇函数，又f（t）=f（t±T/2），是偶谐波函数，所以含有直流、偶次正弦谐波
（d）
（e）
正负半波对称，偶函数，奇谐波函数，所以只含有基波、奇次余弦分量
奇函数、正负半波对称，所以只含有正弦分量（基、谐）
（f）
2-7试画出x（t）=3cosQ1t+5sin2Q1t的复数谱图（幅度谱和相位谱）
解：
ao=0,ai=3,b2=5,ci=3,C2=5
1
3
i
5
|xi|=|—（ai-jbi）|=—
|X2|=
C2=
—
2
2
2
2
0
沏=arctan（-
0）=0,
©i=0
5二
兀
施=arctan（-
）=--
|2=
——
02
2
1
1
E/2
x（t）
1
.J
-T
-T/2
0
T/2
T
-E/2
2-8求图2-8所示对称周期矩形信号的傅里叶级数
t
解：
这是一个正负半波对称的奇函数，奇谐函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。
bn=
2T
x（t）sinn"tdt
Esinn"tdt--
2T
；Esinn「tdt
22
Et
J。
2[sinnot-sinno（t-3）]dt
E（cosn二-1）
指数形式的傅里叶级数
0,n=0,±2,
1
Xn=（an-jbn）=
2
解：
此函数是一个偶函数x（t）=x（-t）
•••其傅里叶级数含有直流分量和余弦分量
3t4E（1--）dt
T
F[x（1-t）]=
（3）由欧拉公式和频移特性
F[x（t）cost]=
1
2[X（Q-1）+X（Q+1）]
x（t）
Ent
2-11已知升余弦脉冲X（t）=?
（VC0辽）（…七_）求其傅里叶变换
E~t
解：
x（t）=
汀cos計u（t+t）-u（t-T）]
求微分
E二二t
sin——[u（t）-u（t-）]
（jQ）3X（Q）=[j）X（rE（e宀-e"）]飞
2£
二2
E^sin2「
2）
•-X（Q）=-2
门（—
（2
2-12已知一信号如图2-81所示，求其傅里叶变换
解：
（1）由卷积定理求
x（t）=G（t）*G（t）
GC1）=
2
由时域卷积定理
（2）由微分特性求
2E
，lt|>
由微分特性
E
X（Q）=
（2
解：
G（t）=E[u（t+2）-u（t-2）]
Gc1）=ESa（-^）
TT
x（t）=G（t+y-G（t-亍
由时移特性和线性性
X（Q）=
小j^T
ESa
（2）ej2
Q
j_2-
qte2
ESa（）-
22j
2-14已知三角脉冲xi（t）的傅里叶变换为
E2'■1■
Xi（Q）=~2Sa（〒）
T
试利用有关性质和定理求X2（t）=xi（t-2）COSQot的傅里叶变换
解：
由时移性质和频域卷积定理可解得此题
由时移性质
T-j耸
f[xi（t-^）]=Xi（「）e
由频移特性和频域卷积定理可知:
F[x（t）cosQ0t]=2[X（Q-Qo）+X（Q+Qo）]
X2（Q）=F[xi（t-）cosQot]
+X（Q+Q0）e]
1-j—■
=2[x1（q-q0）e
+Sa2e
4
2-15求图2-82所示X（Q）的傅里叶逆变换x（t）
i
[|X（Q）|
J
f|X（Q）|
A
A
Q
Qo0
Qo-Qo0
Qo
」r（q）
q
——►
-Qo0Qo
=GoL）e讥
由定义：
■t
x（t）=厂
丄J：
Aej°oejCd0
2二''o
—，'loe^1（tto）d'-1
2二'\
A
2二j（tto）
e—。
）
sin[
二（tto）
11o（tto）]
Sa['」0（tto）]
b）x（t）X（“）eptd门
2兀皿
，10Aej?
ej^td-
0
+A1
』o
-j^iot-2）
e2
2二j（「ot
T）
2二j（「ot
JI
2）
j（“ot_）
e2
ji
31
二（'Lty）
ot
ji
2]
2-16确定下列信号的最低抽样频率与抽样间隔
（1）Sa（ioot）
（2）Sa2（ioot）
2
（3）Sa（ioot）+Sa2（ioot）
解：
（1）由对偶性质可知：
Sa（ioot）的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为[-1oo,1oo]
即卩Qm=ioo=2nfm
5o
fm='
JI
由抽样定理fs>2fm
100
兀
5o
fs>2X
JI
ji
TsW
100
（2）由对偶性质可知
Sa（100t）的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为[-100,100]
又由频域卷积定理可知
2
Sa（100t）的频谱是脉宽为[-200,-200]的三角形脉冲即Qm=200=2nfm
100
fm=
兀
由抽样定理fs>2fm
兀
Ts<
200
（3）由线性性质可知
22
Sa（100t）+Sa（100t）的频谱是Sa（100t）和Sa（100t）之和
••其Qm=2nfm=200
即fm=
100
则fs
2fm=
200
ji
200
2-仃已知人的脑电波频率范围为0〜45Hz,对其作数字处理时，可以使用的最大抽样周期T是多少？
若以
T=5ms抽样，要使抽样信号通过一理想低通滤波器后，能不是真的回复原信号，问理想低通滤波器的截
2-18若F[a（t）]=X（Q）,如图2-85所示，当抽样
脉冲p（t）为下列信号时，试分别求抽样后的抽样
信号的频谱Xs（Q）,并画出相应的频谱图
（1）p（t）=cost
图2-85
（2）p（t）=cos2t
-bo
⑶p（t）='、（t-2二n）
n=3
-bo
⑷p（t）='、.（t-二n）
n
解：
由抽样特性可知
Xs=X（t）P（t）
由频域卷积定理可知
1
Xs（Q）=X（门）*P（「）
2兀
（1）P（Q）=[5（Q+1）+5（Q-1）]
1
•-Xs（Q）=X（「）*PC1）
2兀
1
=[X（门1）X（「-1）]
2
⑵P（Q）=[5（Q+2）+5（Q-2）]
1
•-Xs（Q）=X（「）*PC1）
2兀
1=[X（门2）X（「-2）]
2
2二
⑶P（q）=_（门-n）
2江n=joO
-be
='「（I-n）
n二■:
:
Xs（Q）=丄X（「）*PC1）
2兀
丄、X（门_n）
2二n*
⑷P（Q）=
■be
v、（」-2n）
-bo
=2、、•（「-2n）
n-：
1
Xs（Q）=XC1）*PC1）
2兀
=-X（i」-2n）
二nm
Xp
（1）=2,Xp
（2）=0,Xp（3）=2
3-1解：
序列频谱的定义为
Hod
（1）X（ej'）=x（n）e"=1
n=二
-bo
（2）X（ej）=、弋n-3）/=e-j3
n=-二
■+□0
⑶X（ej）='[0.5（n1）（n）0.5（n-1）]e"
n=co
-bo
⑷X（er）=、anu（nh
nnoo
（•••0=、ane-n‘=、（aej）n
n=0n=0
1
=1-aej
-be
3-2
（1）DTFT[x（n-n0）]=
n=°o
Hoc
m=n_nJx（m）eje"jn°=x（ej）ejn°
m二00
⑵DTFT[x*（n）]=「x*（n）e』’=[「x（n^]*
n=n=：
】
=rx（n）e』（「）]*=X*（e-j）
n-：
:
m二-nvx（m）e」m（「）=X（e-j）
m=•：
:
y（n）]/
doo
⑶DTFT[x（-n）]='x（-n）e"'
n=:
:
-bo
（4）DTFT[x（n）*y（n）]=、[x（n）*
n=oo
-be-be
=、'x（m）y（n-m）e"'
-be-he
'x（m）'y（n-m）e»
n=：
】mh二m-・：
：
n
=、x（m）Y（ej）e—jm=Y（ej）、x（m）e_jm
m--：
：
m--：
：
=X©）Y©）
⑸DTFT[x（n）y（n）]=
-bo
'、x（n）y（n）e"
X（e2）e"C]y（n）e"
_jm—
x（m）e2
+x
m=2n'
m--
m取整数
1_jm鱼_jm—
[x（m）e2（-1）mx（m）e2]
m-2
-jm1
+2
••jm
x（m）e
=—od
j-
X（e2）
1,
异占）
j_j
（8）DTFT[x2（n）]
*X（ej）*
（9）DTFT[xa（n）]
「Xa（n）e—jn
'x（n）e"n
n--：
:
X（ej2'）
3-3解：
x（n）=
+□0：
CO
—j-
、x（m）（-e2）m
m-
X（ej）
'xa（2n）e—j2n
-X（ej）ejnd•
'0ejnd・
-■'0
-^ejn"
2「jn
sinn0
n二
|-0
Ipg
sin
ejn0
-e"0
COc
-Sa（no）
31
3-4解：
由DFS的定义
N斗
Xp（k）='Xp（nW,
n=0
N斗
•••Xp（0）=、Xp（n）e
n为
3
=、
n=0
TT
-jn20
Xp（n）=4
3
Xp
（1）=、Xp（n）e
n=0
+0+j=2
-j2n
=2+（
3
Xp⑵='xp（n）e
n4
-jn二
=2+（-1）+0+（-1）=0
3
Xp⑶='xp（n）e
n=0
•••Xp（k）=Z[1+cos（
.3二
-陀
=2+j+0+（-j）=2•/Xp（k）是周期函数，其周期长度N=4
71
k）]或Xp（0）=4,Xp
（1）=2,Xp⑵=0,Xp⑶=2
3-5解：
由DFS的定义
kN_1_j2mk..
=Xp1（k）+、Xp（m）ejN2毛w
2m=0
0,k为奇数
2Xp!
（k）,k为偶数
2N」_j2二nk
Xp2（k）='xp（n）e2N
n=0
2NV：
2二nk
+'•Xp（n）「丽
n=N
2
•-X（0）八e°=3
n=0
X
（1）八2「3n=1e'P=0
n=0
COS-n^j2Nnk
2
2
•••只要m=1,N就取整数N=4
3
X（k）八
n=0
3n
X⑵=為cos—ne—jn=10-10=0n=02
X（k）=1-cosk「,k=0,1,2,3
3-j^nk
（3）X（k）八x（n）eN
n=Q
3
•X（0）八x（n）=5
n=0
3Jn
X
（1）=：
x（n）e2=1（-2）1j32
n为
3
X
（2）=\X（n）e^^V（-2）-
（1）-（=3）5
n=0
3-j吗
X（3）八x（n）e2-V2j1-（j3=）-2
n=0
fqNV_j^nk
DFT1x（n）亠x（n）eNX（k）
3-9解：
心
N」_i边nk
DFT［、（n）丄（n）ejN二仁X（k）「・X（0）=1X
（1）=1
n=0
（1）
..X（N-1h1
二X（k）二1R（k）,k=0,1,2N・r.,
1_ej（wo-Nk）
（5）DFT
八eN
n=0
nk£•^（n」Nk）n
n=0
1_ej2…（14）
1_e即1旳
二N、（k-1）
oO
3-10解：
（1）Zl.x（n）I-'x（n）z」
n=-：
:
NJ
二'z』
n=0
丁（zf
N1_j%
（2）DFTl-x（n）丨八x（n）eN
n=0
_-j2-k
=N、（k）
1-eN
oO
（3）DTFTl.x（n）l-X（ejW）八
nZ3-：
:
N-4
x（n）e』w八e』w
n=0
1-ejNw
jw
1-e
昇wjNw
J2
-e
_jNw
2）
.w
-'e）
N4
-j
（2）w
=e2
.N
sinw
2
.w
sin
2
当w=o时，x（e）=N
当w=—k时，x（e）=0
N
11（4）由（3）可得，当x（n）由4点通过补零扩为10点时，此时的圆卷积和线卷积的结果相同。
由于线卷积的长度为4+4-1=7
•••可知x（n）由4点通过补零扩为最少7点时，圆卷积和线卷积相等。
3-12证明：
频移定理为IDFTXp（k-l）RN（k）=x（n）WN』
由IDFT的定义可知，
IDFTXp（k-l）RN（k）
[N」j2nk
Xp（k-l）eN
J，
Nk=o
1N2応nmI
|-Sxp（m）eN
Nk=!
3-13解：
频移定理
IDFT「Xp（k—l）RN（k）]=x（n）W,n
—•：
i1j冬mn_j冬mn1
（1）•••cos（-mn）=-（eNeN）=-（WNJmnWj"）
N22
由频移特性：
Xp（km）RN（k）
一2兀11-
DFTx（n）cos（〒mn）匚Xp（k-m）
（2）Vsin（—mn）-「訂）二1（WN^nW畀）
N2j2j
211
•DFTx（n）sin（爪mn）=—DFT||x（n[Wn^—DFT||x（n）W『n
由频移特性：
p（k_m）Xp（km）RN（k）
DFTx（n）sin（2mn）-XILN2j-
3-14
解：
由DFT的定义可知,
rNJ」勺InkNA_j2lnk
DFTly（n）I-、y（n）erNx（n）e両
n=0
n卫
N1-J2Nn（-）k
八x（n）eNr=X（—）
心r
3-15证明：
频域圆卷积定理，
若y（n）=x（n）h（n）则
Y（k）=Xk）Hk（）
1NJ
忖XlHp）k-IRl）（）
Ny
1NJ
甘HlXp）k-I（RNl）（）
Ny
NA
Y（k）=DFTly（n）丄x（n）h（n）WN』k
nA
N_1N—.1
』k…，、1
NJ
八x（n）IDFT〔H（k）lWN』k='x（n）丄'H（k）W；nWN；n£■n二0_N|二o」
-lnnk
1NJNJ
一
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