人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训练(含答案).docx

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人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训练（含答案）

1．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，CD，点E是CD的中点．求证：

四边形ABCE是平行四边形．

2．如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：

四边形ABED是平行四边形．

3．如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．求证：

四边形AECF是平行四边形．

4．如图，▱ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．求证：

DC＝DF．

5．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．

（1）求证：

四边形ADCE是平行四边形；

（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，，求AB的长．

6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：

AE∥CF．

7．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．

求证：

（1）△ADE≌△FCE；

（2）BE⊥AF．

8．如图，在平行四边形ABCD中，，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：

；

（2）当时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的2倍的所有角．

9．已知：

如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分別为、．求证：

四边形是正方形．

10．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．

（1）求证：

四边形DEFB是平行四边形；

（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

11．已知：

在菱形中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接，．求证：

；

12．如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF⊥AE于点F，点G在AE上，且∠ABG＝∠E．求证：

AG＝DF．

13．如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边BC重合在一起，，，．交AB于点E；作交AC的延长线于点F．

（1）求证：

四边形AEDF是正方形．

（2）当时，求正方形AEDF的边长．

14．如图，矩形ABCD中，E、F分别为边AD和BC上的点，BE＝DF，求证：

DE＝BF．

15．如图，点E、F在菱形ABCD的对角线AC上，且AF＝CE，求证：

DE＝BF．

16．已知：

如图，▱ABCD中，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE交CD于点O．

（1）求证：

CO=DO；

（2）取AB中点F，连接CF，△COE满足什么条件时，四边形AFCO是正方形？

请说明理由．

17．在中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．

（1）求证：

四边形ABEF是菱形；

（2）若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．

18．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点

（1）求证：

四边形BDEG是平行四边形；

（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．

19．已知：

如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，，点E，F分别为垂足．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）求证：

四边形AECF是矩形．

20．已知：

如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：

．

参考答案：

1．

证明：

∵∠BAC＝∠ACD＝90°，

∴AB∥EC，

∵点E是CD的中点，

∴，

∵，

∴AB＝EC，

∴四边形ABCE是平行四边形．

2．

证明：

∵

∴∠B=∠DEF，

∵，

∴∠ACB=∠F，

∵BE＝CF，

∴BE+EC＝CF+EC，即BC=EF，

∴△ABC≌△DEF，

∴AB=DE，

∵，

∴四边形ABED是平行四边形．

3．

证明：

连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

又∵BE=DF，

∴OE=OF．

∴四边形AECF是平行四边形．

4．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝DC，

∴∠F＝∠EBA，

∵E是AD边的中点，

∴DE＝AE，

在△DEF和△AEB中，

∵，

∴△DEF≌△AEB（AAS），

∴DF＝AB，

∴DC＝DF．

5．

（1）

证明：

∵ABCE，

∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．

∵F是AC中点，

∴AF＝CF．

在△AFD与△CFE中，

，

∴△AFD≌△CFE（AAS），

∴DF＝EF，

∴四边形ADCE是平行四边形；

（2）

解：

过点C作CG⊥AB于点G，

∵∠CAB＝45°，

∴，

在△ACG中，∠AGC＝90°，

∴，

∵，

∴CG＝AG＝，

∵∠B＝30°,

∴,

∴,

在Rt△BCG中，，

∴．

6．

证：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠CBF，

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS），

∴∠AED＝∠CFB，

∴AE∥CF．

7．

证明：

（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠D＝∠ECF，

∵E为CD的中点，

∴ED＝EC，

在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∴∠FAD＝∠AFB，

又∵AF平分∠BAD，

∴∠FAD＝∠FAB．

∴∠AFB＝∠FAB．

∴AB＝BF，

∵△ADE≌△FCE，

∴AE＝FE，

∴BE⊥AF．

9．

证明：

∵平分，，，

∴，，，

又∵，

∴四边形是矩形，

∵，

∴矩形是正方形．

10．

（1）证明：

∵点D，E分别是AC，AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//BC，BC＝2DE，

∵CF＝3BF，

∴BC＝2BF，

∴DE＝BF，

∴四边形DEFB是平行四边形；

（2）解：

由

（1）得：

BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，

∴BD＝EF，

∵D是AC的中点，AC＝12cm，

∴CD＝AC＝6（cm），

∵∠ACB＝90°，

∴BD＝＝10（cm），

∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．

11．

证明：

∵四边形是菱形，

∴，，

∵点，，分别为，，的中点，

∴

在和中，，

∴；

12．

证明：

四边形是正方形，

，，，

，

，

，

，

，

，，

，

在和中，

，

，

．

13．

证明：

∵，

∴

∵

∴四边形AEDF是矩形

∵

∴

在和中

∴

∴四边形AEDF是正方形．

（2）

解：

∵，，

∴，

设

得

解得：

∴正方形AEDF的边长是．

14．

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝90°，

在Rt△ABE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），

∴AE＝CF，

∴DE＝BF．

15．

证明：

四边形是菱形，

，，

，

在和中，

，

，

．

16．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴∠DAE=∠E，

∵CE=BC，

∴CE=AD，

又∵∠AOD=∠COE，

∴△AOD≌△EOC（AAS），

∴CO=DO；

（2）

解：

当CO=EO，∠COE=90°时，四边形AOCF是正方形；

理由如下：

∵CO=DO，

∴CO=CD，

又∵F是AB的中点，

∴AF=AB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB//CD，

∴AF=CO，AF//CO，

∴四边形AFCO是平行四边形，

∵△AOD≌△EOC，

∴AO=EO，

∵CO=EO，

∴AO=CO，

∴平行四边形AFCO是菱形，

∵∠COE=90°，

∴菱形AFCO是正方形．

17．

证明：

在中，，

∴∠FAO=∠BEO，

∵O为AE的中点，

∴AO=EO，

∵∠AOF=∠BOE，

∴△AOF≌△BOE，

∴AF=BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠FAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）

解：

过点O作OG⊥BC于G，

∵点E为BC的中点，且BC＝8，

∴BE=CE=4，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，

∴∠OBE=30°，∠BOE=90°，

∴OE=2，∠OEB=60°，

∴GE=1，，

∴GC=5，

∴OC．

．

18．

证明：

∵AC平分∠BAD，AB∥CD，

∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∴AD＝DC，

又∵AB∥CD，AB＝AD，

∴AB∥CD且AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）

解：

连接BD，交AC于点O，如图：

∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，

∴CD＝13，AO＝CO＝12，

∵点E、F分别是边CD、BC的中点，

∴EF∥BD（中位线），

∵AC、BD是菱形的对角线，

∴AC⊥BD，OB＝OD，

又∵AB∥CD，EF∥BD，

∴DE∥BG，BD∥EG，

∵四边形BDEG是平行四边形，

∴BD＝EG，

在△COD中，

∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，

∴，

∴EG＝BD＝10．

19．

证明：

四边形是平行四边形，

，

，

，

在和中，，

．

（2）

证明：

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

在四边形中，，

四边形是矩形．

20．

证明：

在中，，

∴∠DAC=∠ACB，

∵AF＝CE．

∴△ADF≌△CBE（SAS），

∴∠AFD=∠BEC，

∴．

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