复旦牛人谈数学体系.docx

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复旦牛人谈数学体系

复旦大学的一位牛人的数学教材推荐,其中部分教材已经出新版了.我是在北大的网站上找到的,在我的电脑上放了一年多了,今天整理了一下,贴上来和大家共享!

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从数学分析的课本讲起吧.

1．复旦自己的课本应该可以从六十年代上海科技出的算起（指正式出版）,那本书在香港等地翻印后反应据说非常好,似乎丘成桐先生做学生的时候也曾收益与此.到90年代市面上还能看到的课本里面,有一套陈传璋先生等编的,可能就是上面的书的新版,交大的试点班有几年就拿该书做教材.

2．另外有上海科技版的欧阳光中（谷先生的连襟）,秦曾复,朱学炎三位编的课本,好象后来数学系不用了,计算机系倒还在用.那本书里面据说积分的第二中值定理的陈述有点小错.总的说来,这些书里面都可以看到一本书的影子,就是菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",其原因,按照秦老师的说法,是最初在搞教材建设的时候,北大选的"模本"是辛钦的"数学分析简明教程",而复旦则选了"数学分析原理".后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的那本数学分析.我不否认那是一种尝试,但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际上的确是一种潮流,但是从这个意义上说该书做得并不是非常好.而且从整体的课程体系上说,在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue积分值得商榷.

3.菲赫今哥尔茨"微积分学教程","数学分析原理".标题:

数学分析-高等数学

（二）下面开始讲一些课本,或者说参考书前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.此书堪称经典."微积分学教程"其实连作者（莫斯科或者列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch）都承认不太合适作为教材,为此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本（有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介）.相信直到今天,很多老师在开课的时候还是会去找"微积分学教程",因为里面的各种各样的例题实在太多了.如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做,当然不是每道题都可以这么办的.如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过的可别怪我.毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容（指不引入实变,泛函的观念）的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.这两套书在理图里面都有.

4.Apostol"MathematicalAnalysis"在西方（西欧和美国）,这应该算得上是一本相当完整的课本了,在总书库里面有.

5.W.Rudin"PrinciplesofMathematicalAnalysis"（有中译本:

卢丁"数学分析原理",理图里有）这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,（指一些符号,术语的运用）也是很好的.这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的ddmm有所帮助:

就是学完"高等数学"以后,可以找一本西方advancedcalculus水平的书来看,基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师曾特别指出Rudin的书.说到AdvacedCalculus,在这个标题下面有一本书也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的AdvancedCalculus,其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的课本.标题:

数学分析-高等数学（三）

6．."数学分析"（北大版）方企勤,沈燮昌等"数学分析习题集","数学分析习题课教材".北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题（一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数收敛的一个题目）.相比之下北大的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.

7.克莱鲍尔"数学分析"记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.理图里有.

8.张筑生"数学分析新讲"（共三册）我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.理图里有.标题:

数学分析-高等数学（四）

9a.尼柯尔斯基"数学分析（教程?

）"理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士.

9b."数学分析"忘了是谁写的了,也是苏联的,莫斯科大学的教材.理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限的讲法（对于拓扑基的）开始就能够明显得让人感觉到观点非常的"高".

10.狄多涅"现代分析基础（第一卷）"那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些.

11.说两句关于非数学专业的高等数学.这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学（比如理图里面有J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷）或者叫"普通数学"（理图里面有一套书就是这个标题）,其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间.标题:

数学分析-高等数学（五）

12.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,其详细讨论,似乎仅见于鲁金（Lusin）的"实变函数论"里面,总书库里面有.

13.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷这套书（其实没有完成最初的计划）是六十年代初华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实是涉及很多方面的（附带提一句,另外两位负责过一届学生的是关肇直先生和吴文俊先生）.也是出于一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.理图里有.

14.何琛,史济怀,徐森林"数学分析"这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以放在最后.标题:

空间解析几何（上）空间解析几何实在是一门太经典,或者说古典的课.从教学内容上说,可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换（那是线性代数的特例）,和二阶曲面的不变量理论.在现行的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的"空间解析几何"里面,最后还有一章讲射影几何.这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影的内容还不是很好念的.当然,这里还要提到十来年前大概做过教材的一本书:

项武义,潘养廉等"古典几何学".这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.可以考虑的参考书包括:

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解析几何学

1.陈（受鸟）"空间解析几何学"内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.陈先生是吴大任先生（大猷先生的堂弟,南开多年的教务长）的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.

2.朱鼎勋"解析几何学"这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面的习题也比较合理,不是非常的难（如果我没有记错的话）.朱先生相当有才华,可惜英年早逝.标题:

数学分析-高等数学（补）关于数学分析的习题,

3．还有一本书,就是G.Polya（波利亚）,G.Szego（舍贵）的"数学分析中的问题和定理"在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的前面一半,后面就全是复变的东西了.该书的内容还是非常丰富的.在历史上,这是一套曾经使好几代数学家都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是题目难归难,后面还是有答案或提示的."微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,到总书库里面去看看吧!

4．Loomis-Sternberg的书的书号是O172L863标题:

空间解析几何（下）

5．如果想了解比较"新"的动态,可以考虑Postnikov"解析几何学与线性代数（?

）"（第一学期）这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的.海外教材中心有一本英文本.我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要下放到高中里面去.上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多几何对象（当然具体说是指三维空间里面的二次曲面）有相当深刻的了解.

6.狄隆涅"（解析）几何学"这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能写的.总书库里面有.

7.穆斯海里什维利"解析几何学教程"这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点和讲法（比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的而已）.

标题:

高等代数-线性代数

（一）

高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点,关于线性空间的理论应该叫线性代数,再加上一点多项式理论（就是可以完完全全算做代数的内容的）就叫高等代数了.这门课在西方的对应一般叫LinearAlgebra,就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本

1．Kurosh（库落什）的HigherAlgebra.

2．现在用的课本好象是北大的"高等代数"（第二版?

）.

用外校的课本在基础课里面是不常见的.这本书可以说是四平八稳,基本上该讲的都讲了.但是你要说它有什么地方讲的特别好,恐怕说不出来.值得注意的是95-96学年度,北大现在的校党委组织部长王杰老师（段学复先生的弟子）给北大数学科学学院95级1班开课时曾经写过一本补充材料,把空间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到的话翻印出来是件很好的事情（我的那本舒五昌老师给96开课的时候送给他了,估计是找不到了）.

好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.

从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的.而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.复旦以前有两本课本就是这么做的.

1.蒋尔雄,吴景琨等"线性代数"这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高的.因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的.理图里有.

2.屠伯埙等"高等代数"这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里可能可以买到翻印的.这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的.当然这不是很容易的:

据说屠先生退休的时候留下这么句话:

"今后如果有谁开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我."有此可见一斑.

如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的.

3.屠伯埙等"线性代数-方法导引"这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更"实际"一些.值得一做.另外,讲到矩阵论.就必须提到

4.甘特玛赫尔"矩阵论"我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者是柯召先生.在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求?

请看"矩阵论".这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.总书库里有.图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.

5.许以超"线性代数和矩阵论"虽然许先生对复旦不甚友好（高三那会他对我说要在中国念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,现在数学所工作--我可没听他的）,但是必须承认这本书还是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.标题:

高等代数-线性代数（四）

6.华罗庚"高等数学引论"华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的（不记得是不是在这本书里面了）:

n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数.这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如

7.贾柯勃逊（N.Jacobson）LecturesonAbstractAlgebra,II:

LinearAlgebraGTM（GraduateTextsinMathematics）No.31（"抽象代数学"第二卷:

线性代数）这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.此书英文版总书库里有,中文版（字体未完全简化）理图里有.

8.GreubLinearAlgebra（GTM23）这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的.

9.丘维声"高等代数"（上,下）北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.

10.李炯生,查建国"线性代数"这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.

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标题:

常微分方程

（一）

从常微分方程开始,数学课就变成没底的东西,每一个标题做下去都是数学研究里面庞大的一块.对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断.这里我打算还是从现行课本讲起.

常微分方程这门课,金福临先生和李迅经先生在六十年代写过一本课本,后来在八十年代由控制那一块的老师们修订了一下,变成第二版,就是现在常用的课本.上海科技出版社出版.应该说,金先生他们的第一版在今天看来还是很好的一本课本（这本书估计受了下面的一本参考书的不小的影响）,该书在理图老分类的那一块里有.但是第二版有那么点不敢恭维.不知为什么,似乎这本书对具体方程的求解特别感兴趣,对于一些比较"现代"的观点,比如定性的讨论等等相当地不重视.最有那么点好笑的是在某个例子中（好象是介绍Green函数方法的）,在解完了之后话锋一转,说"这个题其实按下面的办法解更简单..."而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.

下面开始说参考书,毫无疑问,我们还是得从我们强大的北方邻国说起.

1.彼得罗夫斯基"常微分方程讲义"在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术官僚作风,讲法不是非常活泼.

2.庞特里亚金"常微分方程"庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字不感冒的话绝对值得一读.

欧美方面,3.Coddington&Levinson"TheoryofOrdinaryDifferentialEquations"这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看着办吧.比较"现代"的表述有

4.Hirsh&Smale"DifferentialEquations,LinearAlgebraandDynamicalSystems"（中译本"微分方程,线性代数和动力系统"）这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.关于作者嘛,可以提一句,Smale现在在香港城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他为在中国领土上工作的最重要的数学家应该没有什么疑问.图书馆里有中译本.标题:

常微分方程（四）

5.Arnol'd"常微分方程"必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候就和其它几个学生（都是跟不同的导师的）组织了讨论班,互相教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:

Anosov,Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生们都是这么说的.这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."的,程度要深得多.看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人自己的值得一看的课本吗?

答曰Yes.

6.丁同仁,李承治"常微分方程教程"这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次（?

）印刷的,里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.标题:

常微分方程（五）再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看

7.卡姆克（Kamke）常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,理图里有.对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.我的疑问是不是真有必要像现在物理系的"数学物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的"完备性",象

8.Courant-Hilbert"数学物理方法"第一卷可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数一个方法学起来更容易一些.而且,

9.王竹溪,郭敦仁"特殊函数概论"的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:

"（70年代末）...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架上,...经常在里面寻找我需要的结论..."连他老先生都如此,何况我们?

上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室有一本.

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标题:

单复变函数

（一）

单复变函数论从它诞生之日（1811年的某天Gauss给Bessel写了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数一样的地位..."）就成为数学的核心,上个世纪的大师们基本上都在这一领域里留下了一些东西,因此数学的这个分支在本世纪初的时候已经基本上成形了.到那时为止的成果基本上都是学数学的学生必修的东西.

复旦现在这门课是张锦豪老师教.张老师是做多复变的.毫无疑问,多复变在二十世纪的数学里也占有相当重要的地位,不仅它自身的内容非常丰富,在其它分支中的应用也是相当多的--举个例子就是Penrose的Spinor理论,基本上就是一个复分析的问题.这就扯远了,就此打住.张老师用的是他自己的讲义,那书要到今年夏天才能印出来.所以还是这两年上过这门课的ddmm来谈谈感受比较好.现在具体的情况我不是很清楚,复旦以前有一本

1.范莉莉,何成奇"复变函数论"这是上海科技出版的那套书里面的复变.今天回过头来看,这本书讲的东西也不是很难,包括那些数量很不少的习题.但是做为第一次学的课本,应当说还不是很容易的.总的说来,从书的序言里面列的参考书目就可以看出两位先生是借鉴了不少国际上的先进课本的.不知道数学系的学生还发这本书吗?

2.如果要列参考书的话,单复变的课本真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:

2.普里瓦洛夫"复变函数（论）引论"这是我们的老师辈做学生的时候的标准课本.内容翔实,具有传统的苏联标准课本的一切特征.听说过这么一个小故事:

普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次期末口试（要知道,口试可比笔试难多了,无论是从教师还