完整版高数大一上学期知识要点.docx
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完整版高数大一上学期知识要点
总复习（上）
」、求极限的方法：
1利用运算法则与基本初等函数的极限；
①、定理若limf（x）A,limg（x）B,则
（加减运算）lim[f（x）g（x）]AB
（乘法运算）limf（x）gg（x）AB
推论i：
limf（x）A,lim[f（x）]n[limf（x）]nAn（n为正整数）
推论2：
limcf（x）c[limf（x）]
结论2:
f（x）是基本初等函数，其定义区间为D,若x0D，则
limf（x）f（x））
xx0
2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；
①定义1：
若limf（x）0或（limf（x）0）
XX。
x
则称f（x）是当xX。
（或x）时的无穷小.
定义2:
是自变量在同一变化过程中的无穷小
若lim—1,则称与是等价无穷小，记为
②性质1:
有限个无穷小的和也是无穷小
性质2:
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推论1:
常数与无穷小的乘积是无穷小
推论2:
有限个无穷小的乘积也是无穷小
定理2（等价无穷小替换定理）设
且lim—存在,贝H
limlim——limlim
（因式替换原则）
常用等价无穷小：
sinx〜x,tanx〜x,arcsinx〜x,arctanx〜x,
1cosx〜*x2,ex1〜x,1x1〜x,ln1x〜x,
ax1〜xlna,x0
3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；
1准则1（夹逼准则）若数列xn,yn,Zn（n=1,2,…）满足下列条件：
（1）ynxnzn（n1,2,3,L）;
（2）limynlimZna,
nn
则数列xn的极限存在，且limXna.
n
2准则II:
单调有界数列必有极限•
4、利用两个重要极限。
sinx丄1
lim1lim（1x）xelim（1-）xe
x0xx0xx
5、利用洛必达法则。
0cc
未定式为6，—,,0,0类型.
①定理（x
⑴limf（x）limF（x）0；
xaxa'
o
⑵在某U（a,）内,f（x）及F（x）都存在且F（x）0；
（3）xma4xy存在（或为无穷大）
（）・00,0—8、0°,r.00°型
二、求导数和微分：
1.定义
1导数：
函数yf（x）在xXo处的导数：
f（x）f（Xo）「f（Xox）f（Xo）
f（x0）lim—lim-—.
xxoxx0x0x
函数yf（x）在区间i上的导函数：
f（x）limf（xx）f（x）dy.
x0xdx
2函数的微分：
dyf（x）dx.
2.导数运算法则（须记住P140导数公式）
①函数和差积商求导法则：
函数u（x）、v（x）可导，则:
（u（x）v（x））u（x）v（x）
（u（x）v（x））u（x）v（x）u（x）v（x）.
（v（x）0）
uvuv
2v
②反函数求导法则：
若x（y）的导数存在且（y）0,
则反函数y
f（x）的导数也存在且为
f（x）
1
（y）
f（u）可导,
③复合函数求导法则（链式法则）：
u（x）可导，y
则yf（（x））可导，且
dydydu
■
dxdudx
4隐函数求导法则：
v）=0
两边对*求导
八
—V）=0（含导数『的方程）dx
5参数方程求导法则
x
（t）,
y
（t）
dy
（t）
若
（t）0则
dx
（t）.
d2y
d（字）dx
d（-
⑴）
（t）1
dx2
dx
dtdx
dt
3.微分运算法则
1设n（x）,v（x）均可微,则
Ld側士卩）=血士dv2.d（Cn）=Cdzi（C为常数）
3.d（?
7v）=vd?
/+udv4*d（厂）—_（卩工0）
2眞合函数的微分（微分形式不变性）
三、求积分:
1.概念：
原函数、不定积分。
定积分是一个数，是一个和的极限形式
bn
f（x）dxlimf（JXi
ai1
aab
性质1：
af（x）dx0,bf（x）dxaf（x）dx
bbb
性质2：
[f（x）g（x）]dxf（x）dxg（x）dx
aaa
性质3：
b
kf（x）dx
a
b
kf（x）dx,
a
（k是常数）.
性质
b
4：
f（x）dx
a
c
f（x）dx
a
b
f（x）dx（去绝对值,分段函c
数积分）
性质5：
b
dxba
a
2.计算公式：
P186基本积分表；P203常用积分公式；
1第一换元法（凑微分）：
u（x）
f（（x））（x）dxf（（x））d（x）f（u）du
u（x）
（8）
darccosx,
常用的几种凑微分形式：
（1）J/（OT+6）dr-^ff（ax-hb）d（ax+b）⑵（/匕5"—1山=打/（旳血
（3）打（jg心打/X）士血"
⑷J/Ginx）cosxdx-Jy（sinx）dsin戈
（5）ff（cosx）sinxdx--Jf（cosx）dcos
（6）J/（tanx）sec2^dx=j/（tanx）dtanxj/（lnx）^dx二jy（lnx）dl
A
——dxdarcsinx
“x2
第二类换元常见类型
（三角，倒代换，根式，指数，万能，双曲｝:
（1）
根式代换
J/（x，刃ax+b）dx>令t=^ax+b]
（2）”S，倚）如令&勺宀
）dx：
令工二Qsin*或兀二口cosr
⑶J/gJo?
—
⑷J/（X?
VP+x2）dx，令X=ntan?
三角代换
（5）j/（x5Vx2-a2）dx令兀二asect
（6）J/（^x）dv5令『-/指数代换
（7）分母次数较高，倒代换
第二换元涉及的重要恒等式
sin11十cos2/=1,sec21-tan2r=lfchJt-sh21-1
3分部积分法：
3.u（x）v（x）dxu（x）v（x）u（x）v（x）dx
udvuvvdu（反对幕指三”，前u,后v）
分部化简循环解出；递推公式
4有理函数积分:
假分式多项式除法多项式屮真分式I
分解
若干部分分式之和
混合法（赋值法+特殊值法）确定系数
闊种典型部分分式的积分：
1.[dr=Ainx-a\i-C
JX
2.fAdx=T^-（x-+c（并Hl）\x-ay1"
分子二★声分母的导数十怠变分子为
Cp:
—4^<0>1）
5牛顿莱布尼茨公式：
4.bf（x）dxF（b）F（a）[F（x）]；（其中F（x）f（x））
a
6定积分换元法：
b
5.af（x）dxf（（t））（t）dt（a=（）b=（））
（换元换限，配元（凑微）不换限）bbb
7定积分分部积分法：
6u（x）v（x）dxu（x）v（x）aau（x）v（x）dx
aaa
⑧结论（偶倍奇零）：
aa
①若函数f（x）为偶函数，则af（x）dx2of（x）dx。
ao
②若函数f（x）为奇函数，则af（x）dx0a
1.利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；
2
2.定积分几何意义求一些特殊的积分（如a2x2dx）
04
⑨变限积分求导
总J"）吩金），令
¥严）八）df二
=/[00）00）-/[皿）]”（巧dxJ严CO
四、微分和积分的应用
1.判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形
1判断单调性：
第一步：
找使f（x）0的点和不可导点。
第二步：
以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论f（x）的正
负，f（x）0,函数递增，f（x）0,
函数递减。
2判断凹凸性：
第一步：
找使f（x）0的点和不可导点。
第二步：
以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论f（x）的正负，
f（x）0,是凹区间，f（X）0，是凸区间。
（拐点：
左右两边f（x）的符号相反）
3判断函数极值：
第一步：
找使f（x）0的点和不可导点。
第二步：
判断这些点两边f（x）的正负，若左正右负极大值点左负右正极小值点。
2.1定积分的几何应用---求面积，体积和弧长
y=f上（x）
1
二
*
o
a
bx
b
所求图形的面积为：
Sa[f上*
f下（x）]dx
ydye
右（y）
左（y）]dy
d
所求图形的面积为：
e
旋转体：
由连续曲线yf（x）、直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。
d2
V[（y）]2dy
c
平面图形的面积
广直角坐标方程A^^f（x）dx
方程<参数方程A=jf：
y（t）xXt）at
、极坐标方程厶
平面曲线的弧长
弧微分：
办=她卄（d卅
（直角坐标方程（k=Jl十严必
曲线方程V参数方程方程
极坐标方程
己知平行截面面面枳函数的立体体枳
A（x）=7ry2（x）
绕了轴:
A{x）=17rxy（柱壳法）
X=Ay）绕F轴：
=
2.3定积分的物理应用
变力沿直线做功；水（侧）压力；引力
思路：
建立坐标系，选取积分变量（如X），在［X,x+dx］上给出微元
第六空间解析几何
rrrr
1.向量a3xi3yj3zk在坐标轴上的投影分别为：
ax,ay,az;在坐标轴上
rrr
的分量分别为：
axi,ayj,azk。
r
|a|Jax2ay2az2ea阜（cos,cos,cos）
|a|
2.利用坐标作向量的线性运算
向量积（向量）
ra
且
rbrkazdrbr-J色arariaxdrarbrbrara
|ab||a||b|sin（a,b）（几何意义：
平行四边形的面积）
3.向量之间的关系
o
z
b
z
a
V
b
V
a
X
b
X
arbra
rra//b
ax
ay
鱼（
bx
by
bz
ijk
axayaz0）
bxbybz
4.平面图形及其方程
平面的法向量：
和平面垂直的非零向量
1点法式方程：
r
设平面过点M0（xo,yo,Zo）法向量n（A，B,C）（其中A,B,C不全为o）,则平面的方程为
A（xxo）B（yyo）C（zZo）0
2一般方程：
AxByCzDo
［当D=o时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面；
当A=0时，By+Cz+D=0表示平行于x轴的平面；
Ax
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