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概率论与数理统计试题与答案（2012-2013-1）

概率统计模拟题一

一、填空题（本题满分

18分，每题3分）

1、设P（A）0.7,P（A

B）0.3,则P（AB）=

。

2、设随机变量X~B（2,p）,Y~B（3,p），若p（X1）

5，则p（Y

1）

。

9

3、设X与Y相互独立，DX

2,DY1，则D（3X

4Y

5）

。

4、设随机变量X的方差为2，则根据契比雪夫不等式有

P{X-EX2}

。

5、设（X1,X2,,Xn）为来自总体

2（10）的样本，则统计量Y

n

Xi服从

i

1

分布。

6、设正态总体N（,2），2未知，则的置信度为1的置信区间的长度

L。

（按下侧分位数）

二、选择题（本题满分15分，每题3分）

1、

若A与自身独立，则（

）

（A）

P（A）

0；（B）P（A）

1；（C）

0P（A）

1

；（D）

P（A）

0或P（A）

1

2、下列数列中，是概率分布的是（

）

（A）

p（x）

x,x

0,1,2,3,4；

（B）

p（x）

5

x2

x

0,1,2,3

15

6

（C）

p（x）

1,x

3,4,5,6；

（D）

p（x）

x

1,x

1,2,3,4,5

4

25

3、设X~B（n,p），则有（

）

（A）

E（2X

1）

2np

（B）

D（2X1）

4np（1

p）

（C）

E（2X

1）

4np1

（D）

D（2X

1）

4np（1

p）

1

4、设随机变量

X~N（,

2），则随着

的增大，概率

PX

（

）。

（A）单调增大

（B）单调减小

（C）保持不变

（D）

增减不定

5、设（X1,X2,

Xn）是来自总体X~N（

2）的一个样本，X与S2分别为样本均值

与样本方差，则下列结果

错误的是（

）。

．．

n

2

Xi

2

n

1S2

2

2

（A）

EX

；（B）

；（）

；（D）

i1

。

DX

C

2

~

（n1）

2

~（n）

三、（本题满分12分）试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只

有１个答案是正确的。

任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不

会解这道题，则不妨任选１个答案。

设考生会解这道题的概率为０.８，求：

（１）

考生选出正确答案的概率？

（２）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率？

0

x

0

四、（本题满分

12分）设随机变量X的分布函数为F（x）

Ax2

0

x1，试求常

1

x

1

数A及X的概率密度函数f（x）。

五、（本题满分

10分）设随机变量X的概率密度为f（x）

1e

x

，（

x），

2

试求数学期望E（X）和方差D（X）。

六、（本题满分

13分）设总体X的密度函数为f（x）

1xe

0

x2

2

x0，其中0

x0

试求的矩估计量和极大似然估计量。

七、（本题满分12分）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）

3.25,3.27,3.24,3.26,3.24

设测定值总体服从正态分布,但参数均未知，问在0.01下能否接受假设：

这批

矿砂的镍含量的均值为3.25。

（已知t0.995（4）4.6041）

八、（本题满分8分）设（X1,X2,,X10）为来自总体N（0,0.32）的一个样本，求

10

PXi2

1.44。

（02.9（10）15.987）

i1

概率试统计模拟一解答

一、填空题（本题满分18分，每题3分）

1、0.6；2、19；3

、34；4、1；5、

2（10n）；6、2St

（n1）

27

2

n

1

2

二、选择题（本题满分15分，每题3分）

1、Ｄ；2、Ｃ；3、Ｂ；4、Ｃ；5、Ｂ

三、（本题满分12分）解：

设Ｂ－考生会解这道题，Ａ－考生解出正确答案

（１）由题意知：

P（B）

0.8，P（B）

10.8

0.2，P（AB）

1，P（AB）

1

，

0.25

4

所以P（A）P（B）P（AB）

P（B）P（AB）

0.85,

（２）

P（BA）

P（B）P（AB）

0.941

P（A）

四、（本题满分12分）解：

F（10）

f

（1）

A12

A，而F（10）f

（1）

lim

（1）

1，

x10

A1

2x0x1

对F（x）求导，得f（x）

1其它

五、（本题满分

10分）解：

E（X）0

；DX

2

x2

六、（本题满分

13分）矩估计：

EX

0

1x2e2dx

X,

n

n

x2

i

极大似然估计：

似然函数Lxi,

1

ei1

2

x1x2

xn

lnLxi,

nnxi2

，

1n

2

i12

20

2ni1

xi

七、（本题满分

12分）解：

欲检验假设

H0:

0

3.25,H1:

0

因

2

未知，故采用

t

检验，取检验统计量t

X

0

n，今

n

5

，x

3.252，

0.013

，

S

S

0.01，t1/

2（n

1）

t0.995（4）4.6041，拒绝域为

X

0

nt1/2

（n1）

4.6041，因t的观察值t

3.252

3.25

t

s

0.013/

0.3444.6041，

5

未落入拒绝域内，故在0.01下接受原假设。

10

Xi

2

八、（本题满分8分）因Xi~N（0,0.32

~

2（10）

），故

i1

0.3

概率统计模拟题二

本试卷中可能用到的分位数：

t0.95（8）1.8595，t0.95（9）1.8331，t0.975（8）

2.306，t0.975（9）

2.2662。

一、填空题（本题满分15分，每小题3分）

1、设事件A,B互不相容，且P（A）p,P（B）

q,则P（AB）

.

0

x

1

2、设随机变量X的分布函数为：

F（x）

0.3

1

x

1

0.6

1

x

2

1

x

2

则随机变量X的分布列为

。

3、设两个相互独立的随机变量

X和Y分别服从正态分布N（1,2）和N（0,1），则

P（X

Y1）=

。

4、若随机变量X服从[

1,b]

上的均匀分布，且有切比雪夫不等式

P（X1）

2,则

3

b

。

5、设总体X服从正态分布N（

1），（X1,X2,

Xn）为来自该总体的一个样本，则

n

）2服从

（Xi

分布

i1

二、选择题（本题满分

15分，每小题3分）

1、设P（AB）0,则有（

）。

（A）

A和B互不相容（B）

A和B相互独立；（C）

P（A）

0

或P（B）

0；（D）

P（A

B）

P（A）。

2、设离散型随机变量

X的分布律为：

P（X

k）bk

（k1,2L

）,且b0，则为

（

）。

（A）

1

；（B）

1

；（C）

b1；（D）

大于零的任意实数。

b

1

b1

3、设随机变量

X和Y相互独立，方差分别为6和3，则D（2X

Y）=（

）。

（A）9；（B）15

；（C）21

；（D）27。

4、对于给定的正数

，0

1，设u，

2（n），t（n），F（n1,n2）分别是N（0,1），

2（n），t（n），F（n1,n2）分布的下

分位数，则下面结论中

不正确

的是（

）

．．．

（A）u

u1；（B）

2

（n）

2

（n）；（C）t（n）t1

（n）；（D）F1（n1,n2）

1

1

F（n2,n1）

5、设（X1,X2,

Xn）（n

3

）为来自总体X的一简单随机样本，则下列估计量中不

．

是总体期望的无偏估计量有（

）。

．

（A）

X；（B）

X1

X2

Xn；（C）0.1

（6X14X2）；（D）

X1X2

X3。

三、（本题满分12分）

假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受

水灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流

泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：

（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；

（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

四、（本题满分

12分）

设随机变量X的分布密度函数为

A

x

1

f（x）1x2

0,

x

1

试求：

（1）常数A；

（2）X落在（1

1）内的概率；

（3）X的分布

2

2

函数F（x）。

五、（本题满分12分）

设随机变量X与Y相互独立，下表给出了二维随机变量（X,Y）的联合分布律及

关于X和Y边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。

六、（本题满分10分）设一工厂生产某种设备，其寿命X（以年计）的概率密度函

数为：

工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。

若工厂售出一台设备

1

赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的

数学期望。

七、（本题满分12分）

设（X1,X2,,Xn）为来自总体X的一个样本，X服从指数分布，其密度函数为

x

f（x;）e,x0，其中0为未知参数，试求的矩估计量和极大似然估计

0,x0

量。

八、（本题满分12分）

设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：

22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。

模拟二参考答案及评分标准[基本要求：

①卷面整洁，写出解题过程，否则可视情况酌情减分；

②答案仅供参考，对于其它解法，应讨论并统一评分标准。

]一、填空题（本题满分15分，每小题3分）

1、1pq；2、

1

1

2；3、（0）

12；4、b3,

2；5、2（n）

0.3

0.3

0.4

注：

第4小每一空

2分。

二、（本分

15分，每小

3分）1、D；2、A；3、D；4、B；5、

B

三、（本分12分）解：

A={甲河流泛}，B={乙河流泛

}⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

（1）由意，地区遭受水灾可表示AB，于是所求概率：

P（AB）

P（A）P（B）P（AB）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

P（A）

P（B）

P（A）P（B/A）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

0.1

0.20.1

0.30.27⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

P（AB）

（2）P（A/B）

P（B）

P（A）P（B/A）

⋯1分

P（B）

⋯⋯⋯2分

0.1

0.3

0.15⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

0.2

四、（本分

12分）解：

（1）

由范性

1

f（x）dx⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

1

A

dx⋯⋯1分

1

⋯1分

Aarcsinx

A

11

x2

1

A

1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1分

（2）

P{

1

X

1}

12

1

1

dx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

2

2

12

1

x

2

1

1

arcsinx

2

13

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

1

2

（3）

1时，（

）

x

0

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1

x

0

分

F

x

dx

1

x

时，

x1

1

1

（arcsinx

）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

1

F（x）

1

1

x2

dx

2

x

时，

1

1

1

2

dx

1

分

1

F（x）

1

1x

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1

0

x

1

X的分布函数为

F（x）

1（arcsinx）

1

x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

2

x

1

1

五、（本分

12分）

解：

a

1

1

a

1

1

1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1分

8

6

6

8

24

1

e

1

e

1

1

3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1分

4

4

4

a

1

b

1

b

1

1

1

1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

8

4

4

24

8

12

1

1

f

f

1

4

1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

8

4

8

2

1

c

f

c

1

1

3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

8

2

8

8

b

1

g

g

1

4

1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

4

12

3

b

d

g

d

1

1

1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

3

12

4

六、（本分

10分）

解：

一台机器的利

Y，X表示一台机器的寿命，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1分

100

X

1

3分

Y

100

300

2000

X

1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

0

X

0

＋

1

x

1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

P

X＞1

＝

e

4dx

e4

1

4

1

1e

x

1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

P0

X

1

4dx

1

e4

0

4

1

1

33.64⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

E

100e4

2001

e4

七、（本分12分）

解：

（1）

由意可知

E（X）f（x;）dx

1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2