中考数学系统复习 第六单元 圆 第24讲 与圆有关的位置关系8年真题训练练习.docx
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中考数学系统复习第六单元圆第24讲与圆有关的位置关系8年真题训练练习
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【2020】中考数学系统复习第六单元圆第24讲与圆有关的位置关系（8年真题训练）练习
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第24讲 与圆有关的位置关系
命题点
近8年的命题形式
考查方向
点与圆的位置关系
20xx（T23（3）解）
作为圆的核心知识点的补充，在中考范围内仅出现一次（20xx年），并巧妙结合外心与扇形相关内容进行考查，估计这种形式将偶尔出现.
切线的性质与判定
20xx（T25解），20xx（T23解），20xx（T25解），20xx（T26解），20xx（T25解），20xx（T24解），20xx（T25解），20xx（T25解）
切线的性质与判定是河北省中考必考考点，呈现方式稳定，多以部分圆为背景（半圆或扇形，弓形等），以旋转或折叠等方式，在变化过程中，对某一位置或某一时刻形成相切时，对对应的某一量进行求解，体现了从一般到特殊，再到一般的研究问题的思维过程.
三角形的内心与外心
20xx（T15选，T23（3）解），20xx（T23（3）解），20xx（T9选），20xx（T6选）
作为圆的核心知识点的补充，近四年出现在中考试题中，既体现考查知识的连续性，又体现考查知识的全面性，估计这种全局设计方式在一定时期内将一直存在.
命题点1 三角形的内心与外心
1．（20xx·河北T6·3分）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（B）
A．△ABEB．△ACFC．△ABDD．△ADE
2．（20xx·河北T9·3分）如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（B）
A．△ACD的外心B．△ABC的外心
C．△ACD的内心D．△ABC的内心
3．（20xx·河北T15·2分）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（B）
A．4.5B．4C．3D．2
命题点2 切线的性质与判定
4．（20xx·河北T24·11分）如图，在△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80°，以点O为圆心，6为半径的优弧
分别交OA，OB于点M，N.
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.求证：
AP＝BP′；
（2）点T在左半弧上，若AT与
相切，求点T到OA的距离；
（3）设点Q在优弧
上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．
解：
（1）证明：
∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，
∴∠AOP＝∠BOP′.
又∵OA＝OB，OP＝OP′，
∴△AOP≌△BOP′（SAS）．
∴AP＝BP′.
（2）连接OT，过点T作TH⊥OA于点H.
∵AT与
相切，∴∠ATO＝90°.
∴AT＝
＝
＝8.
∵
OA·TH＝
AT·OT，
∴TH＝
＝
＝
.
∴点T到OA的距离为
.
（3）10°或170°.
（注：
当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点）
重难点1 切线的性质
如图，AB是⊙O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE.
（1）若∠ADC＝30°，求
的长；
（2）求证：
△DAC≌△ECP；
（3）在点P运动过程中，若tan∠DCE＝
，求AD的长．
【思路点拨】
（1）利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得∠DOB＝60°，利用弧长公式求
的长；
（2）先证得四边形DCPE是矩形，从而证明△DAC≌△ECP；（3）可以利用tan∠DCE在Rt△DAC中获得三边的数量关系，在Rt△AOC中建立方程求解．
【自主解答】 解：
（1）∵∠ADC＝30°，OA＝OD，∴∠OAD＝30°.
∴∠DOB＝60°.
∴l
＝
＝
.
（2）证明：
连接OP.
∵AO＝OP，点C是AP的中点，∴∠DCP＝90°.
∵DE是⊙O的切线，∴∠CDE＝90°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°.∴四边形DCPE是矩形．∴DC＝EP.
又∵AC＝CP，∠ACD＝∠CPE＝90°，∴△DAC≌△ECP（SAS）．
（3）由
（2）知，四边形DCPE是矩形，△DAC≌△ECP，
∴∠ADC＝∠CEP＝∠DCE.
∵tan∠DCE＝
，∴tan∠ADC＝
.
∴设AC＝x，则DC＝2x，AD＝
x.
在Rt△AOC中，OC＝2x－5，AO2＝AC2＋OC2，
∴52＝x2＋（2x－5）2，解得x1＝0（舍去），x2＝4.
∴AD＝4
.
【变式训练1】 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过点P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.
（1）求证：
△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．
解：
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°.
又∵∠BAC＝60°，OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，∠ABC＝∠Q＝30°.
∴∠ACO＝60°.∴∠DCQ＝180°－90°－60°＝30°.
∴∠DCQ＝∠Q.
∴△CDQ是等腰三角形．
（2）设⊙O的半径为x，则AB＝2x，AC＝x，BC＝
x.
∵△CDQ≌△COB，∴CQ＝BC＝
x.
∴AQ＝AC＋CQ＝（1＋
）x.∴AP＝
AQ＝
x.
∴BP＝AB－AP＝
x，PO＝AP－AO＝
x.
∴BP∶PO＝
.
1．遇切线，通常的方法是连接过切点的半径，利用切线垂直于过切点的半径，构建直角三角形，进而利用直角三角形进行求解或证明．
2．在圆中还可以获得直角的方法有：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，直径所对的圆周角是直角．
3．以圆为背景的求解题，往往转化成解双直角三角形或者相似三角形．Ｋ
重难点2 切线的判定
（20xx·聊城）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：
AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
【思路点拨】
（1）证AC是⊙O的切线，可转化为证OE⊥AC；
（2）求BC，AD的长可通过证明△BDE∽△BEC和△AOE∽△ABC.
【自主解答】 解：
（1）证明：
连接OE.
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.
∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE.
∴∠OEB＝∠CBE.∴OE∥BC.
又∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC.
又∵OE是⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线．
（2）∵ED⊥BE，∴∠BED＝∠C＝90°.
又∵∠DBE＝∠EBC，∴△BDE∽△BEC.
∴
＝
，即
＝
.∴BC＝
.
∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AOE∽△ABC.
∴
＝
，即
＝
.∴AD＝
.
【变式训练2】 （20xx·安顺）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.
（1）求证：
AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cos∠ABC＝
，AB＝12，求半圆O所在圆的半径．
解：
（1）证明：
作OE⊥AB于点E，连接OD，OA.
∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴∠CAO＝∠BAO.
∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC.
又∵OE⊥AB，∴OD＝OE，即OE是半圆O所在圆的半径．
∴AB是半圆O所在圆的切线．
（2）∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.
在Rt△AOB中，OB＝AB·cos∠ABC＝12×
＝8.
根据勾股定理，得OA＝
＝4
.
∵S△AOB＝
AB·OE＝
OB·OA，
∴OE＝
＝
，即半圆O所在圆的半径为
.
1．证明某条直线是圆的切线的方法：
（1）若这条直线经过圆上一点，需证明这条直线和经过这一点的半径垂直；
（2）若没有明确直线经过圆上一点，需证明圆心到这条直线的距离等于圆的半径．
2．不能或不易直接求解的边长可转化成易求两条边长的差或和．
重难点3 三角形的内心与外心
如图，点O为锐角△ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列说法正确的是（B）
A．点O是△AEB的外心，点O是△AED的外心
B．点O是△AEB的外心，点O不是△AED的外心
C．点O不是△AEB的外心，点O是△AED的外心
D．点O不是△AEB的外心，点O不是△AED的外心
【变式训练3】 如图，若点O是AB的中点，且点O不是一个三角形的外心，则这个三角形可以是（B）
A．△ABCB．△ABEC．△ABFD．△ABD
【变式训练4】 如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（A）
A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形
【变式训练5】 如图，△ABC的外心坐标是（B）
A．（－1，－2）B．（－2，－1）C．（－2，－2）D．（－1，－1）
1．判断点是某个三角形的外心，只需说明点到此三角形的三个顶点的距离相等即可；判断点是某个三角形的内心，只需说明点到此三角形三边的距离相等即可．
2．三角形的内心是三角形角平分线的交点，又是三角形内切圆的圆心；三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，又是三角形外接圆的圆心．它是串联圆与三角形之间的关键点，可以利用它从一个图形过渡到另一个图形．
重难点4 切线长定理
如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（B）
A．12cmB．7cmC．6cmD．随直线MN的变化而变化
【思路点拨】 由切线长定理，可将△AMN的周长转化成求AD＋AE的和，而BD＋CE的和等于BC.
【变式训练6】 如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点．若∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是99°．
1．由切线长定理及三角形周长可得：
①AD＝
C△ABC－BC；
②BD＝
C△ABC－AC；
③CE＝
C△ABC－AB.
2．若已知三角形的内切圆及切点，求线段的长或周长时，往往用到切线长定理．
1．已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为10，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（D）
2．已知⊙O的半径是3，点P在圆内，则线段OP的长可能是（A）
A．2B．3C．4D．5
3．（20xx·宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（D）
A．30°B．35°C．40°D．45°
4．（20xx·河北模拟）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（C）
A．△ABCB．△ABEC．△ABDD．△ACE
5．（20xx·保定模拟）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（B）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
6．（20xx·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（C）
A．56°B．62°C．68°D．78°
7．（20xx·石家庄××区模拟）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上．若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK＝（B）
A．3
B．2
C．5D.
8．（20xx·烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（－1，－2）．
9．（20xx·安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°．
10．（20xx·邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：
CD为⊙O的切线．
证明：
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠OCB＝∠DBC.∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．
11．（20xx·黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.
（1）求证：
∠CBP＝∠D；
（2）若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
解：
（1）证明：
连接OB.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°.
∴∠A＋∠D＝90°.
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°.
∴∠OBA＋∠CBP＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA.∴∠CBP＝∠D.
（2）∵OP⊥AD，
∴∠POA＝90°.
∴∠P＋∠A＝90°.∴∠P＝∠D.
又∵∠A＝∠A，
∴△AOP∽△ABD.
∴
＝
，即
＝
.
∴BP＝7.
12．（20xx·荆门）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为（A）
A．（－2，3）B．（－3，2）C．（3，－2）D．（2，－3）
提示：
I（3，2）．
13．（20xx·台州）如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E.将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（D）
A．△ADF≌△CGE
B．△B′FG的周长是一个定值
C．四边形FOEC的面积是一个定值
D．四边形OGB′F的面积是一个定值
提示：
连接OA，OC，易证△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，△ADF≌△CGE，故选项A正确；∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE.∴△ADF≌△B′GF≌△CGE.∴B′F＝AF，B′G＝CG.∴C△B′FG＝FG＋B′F＋B′G＝FG＋AF＋CG＝AC（定值），故选项B正确；S四边形FOEC＝S△OCF＋S△OCE＝S△OCF＋S△OAF＝S△AOC＝
S△ABC（定值），故选项C正确；S四边形OGB′F＝S△OFG＋S△B′GF＝S△OFD＋S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD＋S△OAF＝S△OCG＋S△OAF＝S△OAC－S△OFG，过点O作OH⊥AC于点H，∴S△OFG＝
FG·OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB′F的面积也变化，故选项D错误．
14．（20xx·南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为4．
提示：
连接OE，延长EO交CD′于点G，则OE＝OC＝2.5.∴OG＝EG－OE＝1.5.∴CG＝
＝2.∴CF＝2CG＝4.
15．【分类讨论思想】（20xx·宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4
．
提示：
分两种情况讨论：
①当⊙P与直线CD相切时，BP＝3；②当⊙P与直线AD相切时，PB＝4
.
16．（20xx·扬州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.
（1）求证：
AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在
（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．
解：
（1）证明：
作OH⊥AC于点H.
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC.
又∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH＝OE，即OH为⊙O的半径．
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵点F是OA的中点，
∴OA＝2OF＝2OE＝6.
又∵OE＝3，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°.
∴AE＝3
.
∴S阴影＝S△AOE－S扇形EOF
＝
×3×3
－
＝
.
（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于点P，此时PE＋PF最小．
∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′.
∵∠AOE＝∠F′＋∠OEF′＝60°，
∴∠F′＝30°.∴∠F′＝∠EAF′.
∴EF′＝EA＝3
，即PE＋PF最小值为3
.
在Rt△OPF′中，OP＝tan30°·OF′＝
，
在Rt△ABO中，OB＝tan30°·OA＝2
，
∴BP＝2
－
＝
.
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