5.（06北京）已知
f（x）=
（3-a）x-4a,
X:
:
1
X_1
是（-：
：
，•：
：
）上的增函数，那么a的
logax,
取值范围是（
）
A.（1,•：
：
）
b.
（」：
3）C
3
.上,3）
D.（1,3）
（3a-2）x6a-1,x<1--
6.已知f（x）=x是（-：
：
=）上的减函数，那么a的取值范围
la，xn
是.
「2
ax1,x_0
7.（2010浙江）f（x）=<2ax在（-°0,畑）上单调，则a的取值范围是（）
［（a_1）e，xv。
A..2丨1,•.2】B.L、、2,-1一L.2,：
：
C.1,•.2】dJ.2,:
:
成立，则a的取值范围为:
9.已知f（x）=xx—a+2x—3，若函数f（x）在R上是增函数，求a的取值范围。
10.
f（x）=lgx，设
（06福建）已知f（X）是周期为2的奇函数，当0VxV1时，
a=f（6）,b=f（3）,c=f（5），则（）
522
11.已知定义在R上的奇函数f（x）是一个减函数，且X!
x2:
:
:
0,x2-x3:
:
:
0,x3-x—：
：
0,
贝yf（Xi）f（X2）f（X3）的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.以上都可能
3
12.已知函数f（x）二-x_x，且x^x20,x2•x30,x3，0贝
f（ix）f（2X）的值X））A.大于0B.小于0C.等于0D.以上都可能
13.设f（x）是定义在（0,•:
:
）上的单调增函数，且满足f（xy）=f（x）•f（y），则不等式
f（3x）f（x-2）一0的解集为（）
3
1212
A.H--1]B.（-,1]C.（0,1]D.[-；,0）U（;,1]
3333
14.若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图像经过点A（0,3）和B（3,-1）,则不等式
f（x+1）-1<2勺解集是.
32
15.已知f（x）=sinxx且x•（-1,1），若f（1「a）•f（1「a）■■■0，贝Ua的取值范围是
16.（09陕西）定义在R上的偶函数f（X）满足：
对任意的x1,x^H30,0]（x萨X2）,有
（X2-X1）（f（xJ-f（X1））0.则当nN.时，有（）
A.f（—n）：
：
f（n「1）：
：
f（n1）B.f（n「1）：
：
f（-n）：
：
：
f（n1）
C.f（n1）：
：
f（—n）：
：
f（n-1）D.f（n1）：
：
f（n—1）：
：
f（一n）
二.研究函数单调性问题的一般方法：
（1）在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域，有时需要将函数化简，转化为讨论
一些熟知函数的单调性。
即基本初等函数性质法。
掌握下列一些单调规律对解题大有裨益：
1若f（x）,g（x）均为增（减）函数，则f（x）+g（x）在公共的定义域上仍为增（减）函数；
2若f（X）为增（减）函数，则一f（X）为减（增）函数；
3奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在其定义域
内关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
4互为反函数的两个函数有相同的单调性；
5若f（X）,g（x）均为增函数且恒正（负），则f（x）*g（x）也为增（减）函数。
1
⑥若f（X）为单调函数且恒正或恒负，则与f（x）单调性相反。
f（x）
⑦复合函数y二f［g（x）］的单调规律是“同则增，异则减”，即f（u）与g（x）若具有相同
的单调性则f［g（x）］必为增函数，若具有不同的单调性则f［g（x）］必为减函数，讨论复
合函数单调性的步骤是：
①求出复合函数的定义域；
2把复合函数分解成为若干个常见的基本函数，并判定其单调性；
3把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；
4根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性
1
【考点专练】1.（05上海）若函数f（x）=x，则该函数在（-：
：
「：
）上是（）
2+1
A.单调递减无最小值E.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值
Jin
2.（05全国）已知函数y=ta在（，）内是减函数，则（）
22
A.0：
：
_1B._1_：
：
:
0C.，_1D.._-1
3.（2006广东）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数是（）
1x.-3
A.y二sinx,xRB.y=（—），xRC.y二x,xRD.y--x,xR
2
4.（04，上海）若函数f（x）=ax-b2在［0,•：
：
）上为增函数，则实数a、b的取值范
围是。
5.（2012安徽文）若函数f（x）=2x+a的单调递增区间是3,址），则a=。
6.（07,辽宁）函数y=log1（x2-5x•6）的单调递增区间是
2
21
7.函数f（x）=a^1的单调递增区间为（0,•：
：
），那么实数a的取值范围是（）
x
D.a:
:
0
B.a0
8.设F（x）=f（x）+f（-x）,x・R,H7^--］是函数F（x）的单调递增区间，将F（x）的图
像按向量a二（：
0）平移得到一个新的函数G（x）的图像，贝UG（x）的单调递减区间必定是
Jin
（）A.[-—,0]B.[—,二]C.[二，]D.[,2二]
2222
2
9.函数y=log1（x-3x4）的单调递增区间是
3
2
10.若函数f（x）=lg（x-ax-3）在（」：
，-1）上是减函数，则a的取值范围是（）
A.a>2B.a<2
11.给出下面四个条件：
0:
:
a10a:
:
1
①②
x0x0
y=logx^为单调减函数的是.
12.（2006,重庆）已知y=loga（2-ax）在［0,1］上是x的减函数，则a的取值范围是（
13.
（a0且a=1）在区间［0,•：
：
）上是增
函数，那么实数a的取值范围是（
A.（0,2]
1）
3
D.[-^：
=）
16.（2011江苏）函数f（x）=|og5（2x+1）的单增区间是:
-ax
17•已知函数f（x）（a=1）。
（1）若
a—1
a0，求f（x）的定义域。
（2）若f（x）在区
x
3，其中常数a,b满足ab=0。
间（0,1］上是减函数，求a的取值范围。
x
18.（2011,上海）已知函数f（x）=a2b
（1）若ab0，判断函数f（x）的单调性;
⑵若ab：
：
：
0,求f（x1）f（x）的x的取值范围。
（2）证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可用单调函数的定义，具体方法常用作差法
或作商比较法。
【考点专练】1•函数f（x）对任意a,b•R都有f（a•b）=f（a）•f（b）-1,并且当x>0时
2
f（x）>1,求证：
①f（x）在R是增函数。
②若f（4）=5，解不等式f（3口-m-2）：
：
：
3。
2•已知函数f（x）的定义域（0，•:
：
），且对任意的正实数x,y都有f（xy）二f（x）•f（y）,
1
且当x1时f（x）0,f（4）=1
（1）求证：
f
（1）=0;
（2）求f（）;
（3）解不等式f（x）f（x一3）叮
3.（2006，东北三校）设函数f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m,n都有
f（m）f（n）=f（mn）,且当xvo时，f（x）>1。
（1）证明：
①f（O）=1；②当x>0时，0Vf（x）V1；③f（x）是R上的减函数。
22
（2）如果对任意实数x,y,有f（x）（y）乞f（axy）恒成立，求实数a的取值范围。
4.（2006，苏州）已知y=f（x）是奇函数，它在（0,•：
：
）上是增函数，且f（x）V0,试
1
问F（x）=在（-：
：
0）上是增函数还是减函数？
f（x）
5•已知f（x）是定义在1-1,1］上的奇函数若a,^1-1,1且a5=0.有丄型0a+b
①判断f（x）在〔-1,11上的单调性，并证明之.②解不等式f（5x-1）：
：
：
f（6x2）
（3）求函数的单调区间，除定义法外，还可以根据函数图像用数形结合法。
（4）利用导数也可以判断函数的单调性，其步骤：
①求定义域②求导数f/（x）；
③令f/（x）>0得不等式的解集即为单调增区间.『（x）<0的解集即为单调减区间。
注意：
1.单调区间是定义域的子集。
2.反之,若已知函数在某个区间上具有单调性；则
f/（x）_0（乞0在该区间上恒成立.3.若单调区间在两个或两个以上，用”，”及”，“和”，与表示。
（5）含参数的函数的单调性或单调区间求解方法是：
“三问”
【考点专练】1.（07,四川）设函数f（x）=ax3•bx•c（a=0）为奇函数，其图像在点（1,f
（1））
处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f/（x）的最小值为一12.①求a,b,c的值。
②求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）有［-1,3］上的最大值和最小值。
x
e
2设函数f（x）=二，其中a为实数。
①若f（x）的定义域为R,求a的取值范围;
x+ax+a
②当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单调区间。
（07，陕西）
xx
3.（07安徽）设函数f（x）=—cos2x-4tsincos4t3t2-3t4,xR，其中
22
乞1,将f（x）的最小值记为g（t）。
①求g（t）的表达式。
②讨论g（t）在（—1,1）内的单调性并求极值。
4.（04，全国）已知函数f（x）=ax33x?
一x■1在R上是减函数，求a的取值范围。
3
5.（04，天津）已知函数f（x）=axcxd（a=0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取
得极值-2.
（1）求f（x）的单调区间和极大值。
（2）证明对任意XhXzWI」），不等式f（N）-f（x2）V4恒成立。
x-a
6.已知f（x）=p为奇函数。
①求a,b的值。
②求f（x）单调区间，并加以证明。
x+bx+1
③求f（x）的值域。
1_x
7.（陕西09）已知函数f（x）=ln（ax1）,x_0,a0.
1+x
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值.
⑵求f（x）的单调区间.（3）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围。
1■I■xax
8.已知函数f（x）e。
（1）设a0，讨论y=f（x）的单调性。
（2）若对任意
1-xD
x：
=（0,1）恒有f（x）・1，求a的取值范围。
2
2ax+1_
9.已知函数f（x）尸（x・R），其中a・R。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）
x+1
在（2，f
（2））处的切线方程。
（2）当a=0时，求函数f（x）的单调区间与极值。
（1）试求函
10。
已知函数f（x）二x「aInx和g（x）二x「a、、x。
在x=1处的切线平行。
数f（x）和g（x）的单调增区间。
（2）设1：
b3，求证；lnb•b.：
：
：
2b
（1）设函数F（x）二f（x）-h（x）,求F（x）的单调区间与极值。
（3）若存在均属于区间1,3的：
」，且I〉二亠1,使f（:
・）=f（J,证明：
In3-1n2In2
a<
53
322
13.（2011天津）已知函数f（x）=4x3tx-6txt-1,^R,其中tR。
（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程；
（2）当t=0时，求f（x）的单调区间；
（3）证明：
对任意t（0,•：
：
），f（x）在区间（0,1）内均存在零点。
22
14.（2011浙江）设函数f（x）=aInx-xax，a0。
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求所有的实数a，使e-1zf（x）乞e?
对1,e1恒成立。
—'1
15.（2011陕西）设函数f（x）定义在（0,=）上，f
（1）=0，导函数f（X）二
x
I
g（x）二f（x）•f（x）o
（1）求g（x）的单调区间和最小值。
1
（2）讨论g（x）与g（—）的大小关系。
x
1
（3）是否存在Xo>°，使得g（x）-g（x°）|£—对任意xaO成立？
若存在，求出X。
的取
x
值范围；若不存在，请说明理由。
16.（2012陕西）设函数f」x）二x"bx•c。
（n•N,b,c・R）
A\
（1）设n32,b=1,c=—1,证明：
f」x）区间一,1|内存在唯一零点；
（2）设n=2,若对任意x1,x^匚1,1】，有f2（x1）一f2（X2）乞4,求b的取值范围;
判断数列
X2,X3……的增减性。
2
17.设函数f（x）=3ax-2（ac）xc。
（a0,a,cR）
（1）设ac・0,若f（x）q~2ca对1,•:
:
恒成立，求c的取值范围。
（2）函数f（x）在区间（0,1）内是否有零点，有几个零点？
为什么？
18.（06湖南卷）已知函数f（x）=ax'-3x2•1-3•讨论函数f（x）的单调性；
a
19.解不等式ax2亠x亠1：
：
：
0
20.（2010年全国卷一21）已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.
1
（I）当a=时，求f（x）的极值；（n）若f（x）在（-1,1）上是增函数，求a的取值范围.
6
215
21.若不等式x+ax+40对一切x€（0,_]成立，则a的最小值为（）A.0B.-2C.D.-3
22
22•已知函数f（x）=x2alnx.
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值。
2
（2）若g（x）=f（x）+-在[1,•：
：
]上是单调增函数，求实数a的取值范围。
x
23.（2009年重庆）不等式|x•3|一|x一1|乞a2—3a对任意实数x恒成立，则实数a的取
值范围为（）A（-二，-1]-[4,二）B、（-：
：
，-2]一[5,：
：
）
C[1,2]D、（-：
：
1]_•[2,：
：
）
24、若不等式|x-2|•|x•3|•a，对于x•R均成立，那么实数a的取值范围是（）
A（-：
：
5）B、[0,5）C、（-：
：
，1）D、[0,1]
25.若存在实数x满足x-3+x-mc5，则实数m的取值范围为：
26.不等式|0g3（x-4•x5）a对一切的R恒成立，则实数a的取值范围为：
27.已知函数f（x）=alnx—x2+1.
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为4x—y+b=0,求实数a和b的值；⑵若a<0,且对任意X1、X2^（0,+^），都|f（x”—f（x2）|>|X1—X2|,求a的取值范围.
3
28.已知函数f（x）=axcxd（a=0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2.
（1）求f（x）的单调区间和极大值。
（2）证明对任意x1，X2E（T，1），不等式|f（xj-f区）£4恒成立。
29.（2014陕西文）设函数f（x）=lnx，m,m，R.
（3）若对任意ba0,f（b）一f（a）:
:
:
1恒成立，求m的取值范围.
b-a
30.f（x）=x2_2x,g（x）=ax2（a0）,对-捲•〔-1,2丨x^1-1,21,使得
g（xj=f（x0），则a的取值范围是（）
A.0,1B.-,3C.3,：
：
D.0,31
「2」12J''
31.已知函数f（x）=1nx,g（x）=2x2-bx（b为常数，b1），对于区间1.1,21上的任意两
2
个不相等的实数X1,X2,都有f（xj-f（X2）||g（xj-g（X2）成立，求b的取值范围。
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