八年级数学等腰三角形经典教案.docx

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八年级数学等腰三角形经典教案

等腰三角形

一、等腰三角形含义：

有两条边相等的三角形。

常见题：

已知两边长和第三边，求周长。

例题：

两条边长分别为2和5，求周长，注意：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

二、等腰三角形的性质：

1.等边对等角，例如：

已知AB=AC，∠B=∠C

等腰三角形的性质：

2等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。

注意：

只有等腰三角形才有三线合一。

[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：

△ABC各角的度数．

3.等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角

所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

4.[例2]求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么

这个三角形是等腰三角形．

已知：

∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．求证：

AB=AC．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．

练习：

已知：

如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：

AB=AD．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．

又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角对等边）．

[例3]如图

（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？

分析：

这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．

一、复习知识要点

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

2．三角形按边分类：

三角形

3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

4．等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

二、例题

例：

如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：

AF⊥CD.

分析：

要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．

证明：

连接AC、AD在△ABC和△AED中

∴△ABC≌△AED（SAD）

∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）

又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）

∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）

三、练习

（一）、选择题

1．等腰三角形的对称轴是（）

A．顶角的平分线B．底边上的高

C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线

2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）

A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm

3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）

A．40°B．50°C．60°D．30°

4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）

A．100°B．100°或40°C．40°D．80°

5．如图1，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（）

A．80°B．90°C．100°D．108°

如图1

答案:

1．D2．B3．A4．C5．B如图2

（二）、填空题

6．等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度．

7．等腰三角形“三线合一”是指___________．

8．等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．

9．如图2，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF的度数是_____．

10．△ABC中，AB=AC．点D在BC边上

（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；

（2）∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；

（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．

11．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：

BC=_________．

12．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD∥BC，则△ABC的边一定满足________．

13．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=________．

答案:

6．607．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合

8．（90+

n）°9．70°10．略11．112．AB=AC13．2cm14．30海里

（三）、解答题

15．如图，CD是△ABC的中线，且CD=

AB，你知道∠ACB的度数是多少吗？

由

此你能得到一个什么结论？

请叙述出来与你的同伴交流．

16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：

∠ABC=∠ADC.

17．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，

求证：

△DBE是等腰三角形．

答案:

15．∠ACB=90°．结论：

若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形

16．连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．

∴∠ABC=∠ADC

17．证明∠D=∠BED

等边三角形

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：

BC=

AB．

分析：

从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？

分析：

观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=

AD，BC=

AB，又由D是AB的中点，所以DE=

AB．

[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

求：

CD的长．

分析：

观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．

等边三角形

一、复习知识要点

1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

2．等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

3．等边三角形的判定方法：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二、练习

（一）、选择题

1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）

A．60°B．90°

C．120°D．150°

2．下列三角形：

①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）

A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④

3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）

A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形D．不等边三角形

4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）

A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm

5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．不等边三角形D．不能确定形状

答案：

1．C2．D3．A4．C5．B

（二）、填空题

6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．

7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．

8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．

9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．

答案：

6．60°7．60°8．三；三边的垂直平分线9．1cm

（三）、解答题

10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？

11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，

求证：

BC=3AD.

12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

①求证：

△BCE≌△ACD；

②求证：

CF=CH；

③判断△CFH的形状并说明理由．

13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：

连接CE）

答案：

10．60°或120°

11．∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∴在Rt△ADC中CD=2AD，

∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，

∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD

12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCE=∠ACD．

又∵BC=AC，CE=CD，

∴△BCE≌△ACD；

②证明△BCF≌△ACH；

③△CFH是等边三角形．

13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，

再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°

Ⅲ、随堂练习，变式训练

练习1：

请同学们做课本51页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目：

求等腰三角形个角度数：

（1）在等腰三角形中，有一个角的度数为36°.

（2）在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.

学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进行归纳总结。

归纳：

已知等腰三角形的一个内角的度数,求其它两角时,

（a）若已知角为钝角或直角,则它一定是顶角；

（b）若已知角为锐角,它可能是顶角,也可能是底角。

本次变式训练中，教师应重点关注：

（1）学生能否正确应用等腰三角形的性质；

（2）学生是否注意到等腰三角形的地窖一定是锐角；（3）学生是否注意到可能的多种情况；（4）学生是否注意到等腰三角形的顶角可能是钝角，但底角一定是锐角。

设计意图：

及时巩固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识的能力，同时培养学生分类讨论的思想。

练习2：

已知：

在△ABC中，AB=AC，BD=DC.

2AD=4,BC=6时，求

②当

时，求

的度数。

解:

解:

练习2的训练主要是让学生学会应用等腰三角形的性质2来解题。

设计意图：

及时巩固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识的能力，同时培养学生分类讨论的思想。

Ⅳ、应用深化，巩固提高

例：

在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。

课本例题，学生讨论问题，教师参与讨论，认真听取学生的分析，引导学生找出角之间的关系，书写解答过程。

解：

因为AB=AC,BD=BC=AD

所以∠ABC=∠C=∠BDA,∠A=∠ABD（等边对等角）

设∠C=x,则

∠BDA=∠A+∠ABD=2x

从而∠ABC=∠C=∠BDA=2x

于是在△ABC中，有

∠A+∠ABC+∠C=180°

解得x=36°

在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=72°，∠C=72°。

通过例题讲解，教师应重点关注：

（1）学生能否正确应用等腰三角形的性质解决问题；

（2）学生应用所学知识的应用意识。

设计意图：

培养学生正确应用所学知识的应用能力，增强应用意识，参与意思，巩固所学性质。

Ⅴ、课时小结

请大家拿出前面剪得的等腰三角形，与小组同学一起结合图形指出你知道的内容。

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

教师重点关注：

①归纳、总结能力；②不同层次的学生对本节知识的认识程度；③学生独立面对困难和克服困难的能力。

设计意图：

总结回顾学习内容，帮助学生归纳，激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供充分展示自己的机会。

一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案

1．等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的条数总和是（）

A．3　　　　B．5　　　　C．7　　　　D．9

2．在射线、角和等腰三角形中，它们（）轴对称图形

A．都是　　　　　　　　B．只有一个是

C．只有一个不是　　　　D．都不是

3．如下图：

△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图形中共有（）个等腰三角形。

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

4．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（）

A．等腰三角形

B．等腰直角三角形

C．非等腰三角形

D．等边三角形

5．△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（）

A．70°　　　　　　　B．20°或70°

C．40°或70°　　　D．40°或20°

二、填空题（每题6分，共30分）

1．等腰三角形中的一个外角为130°，则顶角的度数是_______________。

2．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，CD=3，∠B=75°，则AB=_________________

3．如下图：

△ABC中，AB=AC，DE是AB中垂线交AB、AC于D，E，若△BCE的周长为24，AB=14，则BC=________，若∠A=50°，则∠CBE=______________。

4．等腰三角形中有两个角的比为1：

10，则顶角的度数是__________________。

5．如下图：

等边△ABC，D是形外一点，若AD=AC，则∠BDC=_____________度。

三、作图题（6分），只画图，不写作法。

如左图：

直线MN及点A，B。

在直线MN上作一点P，使∠APM=∠BPM。

四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）

1．已知：

如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。

求证：

HB=HC。

2．已知：

如图：

等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，求证：

。

3．已知：

如图：

△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC=120°，AB+BD=DC。

求：

∠C的度数。

选作题：

已知：

如图：

△ABC中，D是BC上一点，P是AD上一点，若∠1=∠2，PB=PC。

求证：

AD⊥BC。

参考答案

一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案

1．C2．A3．C4．D5．B

二、填空题（每题6分，共30分）

1．50°或80°

2．6

3．10，15°

4．150°或

5．30

三、作图题（6分），只画图，不写作法。

四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）

证明：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（同一△中等边对等角）

∵CE⊥AB，∴∠1+∠ABC=90°（直角三角形中两个锐角互余）

同理∠2+∠ACB=90°，∴∠1=∠2，

∴HB=HC（同一△中等角对等边）

2．证明：

∵等边△ABC，∴AC=BA，∠C=∠BAC=60°

在△ABE和△CAD中，∵BA=AC，∠BAC=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠2=∠1

∵∠BNM=∠3+∠2，∴∠BNM=∠3+∠1=∠BAC=60°

∵BM⊥AD，∴∠4+∠BNM=90°，∴∠4=30°

∵BM⊥AD，∴

（直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半）

3．解：

延长DB到E，使BE=AB，连结AE，则∠1=∠E。

∵∠ABC=∠1+∠E，∴∠ABC=2∠E

∵AB+BD=DC，∴BE+BD=DC，即DE=DC

∵AD⊥BC，∴AE=AC，∴∠C=∠E，∴∠ABC=2∠C

∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=120°

∴2∠C+∠C=180°-120°=60°，

∴∠C=20°

答：

∠Ｃ的度数是20°

选作题

证明：

作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N

∵∠1=∠2，∴PM=PN

在Rt△BPM和Rt△CPN中

∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）

∴∠ABP=∠ACP

∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB。

∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB，即∠ABC=∠ACB。

∴AB=AC，∵∠1=∠2

∴AD⊥BC