二元一次方程组与一元一次不等式组经典应用题.docx
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二元一次方程组与一元一次不等式组经典应用题
二元一次方程组与一元一次不等式经典应用题
（2007年绵阳中考）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？
有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？
最少运费是多少？
解：
（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得
解此不等式组，即2≤x≤4．
∵x是正整数，∴x可取的值为2，3，4．
因此安排甲、乙两种货车有三种方案：
方案一，甲种货车2辆，乙种货车6辆
方案二，甲种货车3辆，乙种货车5辆
方案三，甲种货车4辆，乙种货车4辆
（2）方案一所需运费元；
方案二所需运费元；
方案三所需运费元．
所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是元．
（2007年济南）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．
（1）设租用甲种汽车辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．
解：
（1）由租用甲种汽车辆，则租用乙种汽车辆
由题意得：
解得：
即共有2种租车方案：
第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；
第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．
（2）第一种租车方案的费用为元；
第二种租车方案的费用为元
∴第一种租车方案更省费用．
（2007资阳）年陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：
“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元.”王老师算了一下，说：
“你肯定搞错了.”
⑴王老师为什么说他搞错了？
试用方程的知识给予解释；
⑵陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本.但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能为多少元？
（1）设单价为8.0元的课外书为x本，得：
（2）解之得：
（不符合题意）
（3）所以王老师肯定搞错了.
⑵设单价为8.0元的课外书为y本，
解法一：
设笔记本的单价为a元，依题意得：
.
解之得：
178+a=4y，
∵a、y都是整数，且178+a应被4整除，∴a为偶数，
又∵a为小于10元的整数，∴a可能为2、4、6、8.
当a=2时，4x=180，x=45，符合题意；当a=4时，4x=182，x=45.5，不符合题意；
当a=6时，4x=184，x=46，符合题意；当a=8时，4x=186，x=46.5，不符合题意.
∴笔记本的单价可能2元或6元.8分
解法2：
设笔记本的单价为b元，依题意得：
解得：
∴x应为45本或46本.
当x=45本时，b=1500-[8×45+12（105-45）+418]=2，
当x=46本时，b=1500-[8×46+12（105-46）+418]=6，
（2012四川泸州，6分）某商店准备购进甲、乙两种商品。
已知甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。
（1）若该商品同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进的甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该商品准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润为多少？
（利润=售价-进价）
解：
（1）设购进甲种商品件，购进乙种商品件，根据题意
解这个方程组得，
答：
商店购进甲种商品40件，则购进乙种商品60件。
（2）设商店购进甲种商品件，则购进乙种商品（）件，根据题意，得
解之得20≤≤22
方案一，甲种商品20件，乙种商品80件
方案二，甲种商品21件，乙种商品79件
方案三，甲种商品22件，乙种商品78件
方案一所得利润元；
方案二所得利润元
方案三所得利润元．
所以应选择方案一利润最大，为元。
（2014•宜宾）在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？
（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？
解：
（1）设小李答对了x道题．
依题意得5x﹣3（20﹣x）=60．
解得x=15．
答：
小李答对了16道题．
（2）设小王答对了y道题，依题意得：
，
解得：
≤y≤，即
∵y是正整数，
∴y=17或18，
答：
小王答对了17道题或18道题．
（2009年河南）某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5台.三种家电的进价和售价如下表所示：
类别
电视机
冰箱
洗衣机
进价（元/台）
2000
2400
1600
售价（元/台）
2100
2500
1700
（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?
（2）国家规定：
农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴.在
（1）的条件下．
如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?
设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为（15-2x）台
依题意得：
解这个不等式组，得6≤x≤7
∵x为正整数，∴x=6或7
方案1：
购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案2：
购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台
（2）方案1需补贴：
（6×2100+6×2500+1×1700）×13%=4251（元）；
方案2需补贴：
（7×2100+7×2500+1×1700）×13%=4407（元）；
∴国家的财政收入最多需补贴农民4407元.
物资种类
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
12
10
8
每吨所需运费（元/吨）
240
320
200
（2011年达州）我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解
（1）设装运A种物资的车辆数为，装运B种物资的车辆数为．求与的函数关系式；
（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案?
并写出每种安排方案；
（3）在
（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?
请求出最少总运费．
）解：
（1）根据题意，得：
∴……………………2分
（2）根据题意，得：
解之得：
∵取正整数，∴5，6，7，8……………………4分
∴共有4种方案，即
A
B
C
方案一
5
10
5
方案二
6
8
6
方案三
7
6
7
方案四
8
4
8
……………………5分
（3）设总运费为M元，
则M=
即：
M=
∵M是的一次函数，且M随增大而减小，
∴当=8时，M最小，最少为48640元……………………7分
（2011年广元）某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装12件、B种服装8件，需要资金1880元；若购进A种服装9件、B种服装10件，需要资金1810元．
（1）求A、B两种服装的进价分别为多少元？
（2）销售一件A服装可获利18元，销售一件B服装可获利30元．根据市场需求，服装店决定：
购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，且A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装全部销售完毕后的总获利不少于699元．设购进B种服装x件，那么请问该服装店有几种满足条件的进货方案？
哪种方案获利最多？
解：
（1）设A种型号服装每件x元，B种型号服装每件y元．
依题意可得解得，
答：
A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．
（2）①设购进B种服装x件，则购进A种服装的数量是2x+4，
∴y=30x+（2x+4）×18，
=66x+72；
②设B型服装购进m件，则A型服装购进件，
根据题意得，解不等式得，
因为m这是正整数，
所以m=10，11，12，则2m+4=24，26，28
有三种进货方案：
方案一：
B型服装购进10件，A型服装购进24件；
方案二：
B型服装购进11件，A型服装购进26件；
方案三：
B型服装购进12件，A型服装购进28件．
方案一所得利润元；
方案二所得利润元
方案三所得利润元．
所以应选择方案一利润最大，为1056元。
（2011•雅安）某部门为了给员工普及电脑知识，决定购买A、B两种电脑，A型电脑单价为4800元，B型电脑单价为3200元，若用不超过160000元去购买A、B型电脑共36台，要求购买A型电脑多于25台，有哪几种购买方案？
解：
设购买A种电脑x台，则购买B种电脑（36﹣x）台，由题意得：
，解得：
25＜x≤28，
∵x必须求整数，
∴x=26，27，28，
∴购买B种电脑：
10，9，8，
可以有3种购买方案，
①购买A种电脑26，台，则购买B种电脑10台，
②购买A种电脑27台，则购买B种电脑9台，
③购买A种电脑28台，则购买B种电脑8台．
（2012•哈尔滨）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
解：
设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得，
解得，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．
解：
设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．
50n+80（96﹣n）≤5720，
n≥65
∵n为整数，
∴n最少是66
96﹣66=30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
（2014•攀枝花）为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
租金（单位：
元/台•时）
挖掘土石方量（单位：
m3/台•时）
甲型挖掘机
100
60
乙型挖掘机
120
80
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
解：
（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．
依题意得：
，
解得．
答：
甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机．
依题意得：
60m+80n=540，化简得：
3m+4n=27．
∴m=9﹣n，
∴方程的解为，．
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