九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳.docx
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九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳
实际问题与一元二次方程题型归纳总结
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：
与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：
“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）审：
审清题意，弄清已知量与未知量；
（2）找：
找出等量关系；
（3）设：
设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
（4）列：
列出一元二次方程；
（5）解：
求出所列方程的解；
（6）验：
检验方程的解是否正确，是否符合题意；
（7）答：
作答。
二、典型题型
1.数字问题
例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
练习：
1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。
2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）
A.25B.36C.25或36D.-25或-36
2.传播问题：
公式：
（a+x）n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
8.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A.8B.9C.10D.11
练习：
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题
循环问题：
又可分为单循环问题
n（n-1），双循环问题n（n-1）.
例4、
（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？
例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）
A.
B.
C.
D.
练习：
1、甲A联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？
2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?
3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?
4.平均增长率问题：
b=a（1±x）n，n为增长或降低次数,b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率
例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
例8、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？
练习：
1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
2、从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？
3.（2018·宁夏）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（ ）
A.300（1＋x）＝507
B.300（1＋x）2＝507
C.300（1＋x）＋300（1＋x）2＝507
D.300＋300（1＋x）＋300（1＋x）2＝507
4.（2017·无锡改编）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是 Ｗ.
5.（2018·沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本.
6.（宜昌中考题）某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增了一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求.B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增.这样，2016年A，B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数.
（1）求A品牌产销线2018年的销售量；
（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数.
7.（2018·安顺）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.
5.商品销售问题
例9、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价X（元）满足关系：
P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？
每天要售出这种商品多少件？
例10、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？
每件商品应定价多少？
练习：
1、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。
当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现：
当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。
综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。
（3）小静说：
“当月利润最大时，月销售额也最大。
”你认为对吗？
请说明理由。
2、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
3.某商店原来平均每天可销售某种商品160件，每件盈利30元，为了减少库存，经市场调查，这种商品每件降价1元，那么每天可多售出10件，若要平均每天盈利5200元，则每件商品应降价多少元？
设每件商品降价x元，则所列方程是（ ）
A.（160＋x）（30＋x）＝5200
B.（160＋10x）（30－x）＝5200
C.（160＋10x）（30＋x）＝5200
D.（160＋x）（30＋10x）＝5200
4..某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局规定，每件商品的利润不得超过30%.若每件商品售价定为x元，则可卖出（170－5x）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为（ ）
A.20元B.20.8元C.20元或30元D.30元
5.（2018秋·南京秦淮区期中）某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调研，售价为40元，可销售150件，售价每上涨1元，销售量将减少10件，则售价上涨多少元时，该商店可盈利1560元？
设这种商品的售价上涨x元，根据题意，可列方程为 .
6.（2018秋·常州期中）国庆期间，某游乐园为了增加收入，进行了市场调研.调研发现，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张.要使门票总收入达到36750元，票价应该定为多少元？
7.（2017·铜仁改编）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示.要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克（ ）
A.40元B.60元
C.40元或60元D.20元或80元
8.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植 株.
9.（安顺中考题）天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？
10.某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元.
（1）填表（不需化简）：
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？
（纯收入＝总收入－维护费用）
11.（2017·重庆）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产.
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年至少收获樱桃多少千克；
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值.
12.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：
若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元；销售量在10辆以上，每辆返利1万元.
（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？
（盈利＝销售利润＋返利）
18.（10分）（2018·德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y（单位：
台）和销售单价x（单位：
万元）成一次函数关系.
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
6.形积问题
例11、如图，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直），把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?
例12、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。
已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积1536cm3，求长方形铁皮的长与宽。
1.（白银中考题）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A.x（5＋x）＝6B.x（5－x）＝6
C.x（10－x）＝6D.x（10－2x）＝6
2.（佛山中考题）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A.7mB.8mC.9mD.10m
3.（宿迁中考题）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m.
4.（宿迁中考题）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）.
5.（2018春·沂源县期末）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB为 米.
6.为响应市委市政府提出的建设“绿色泰安”的号召，泰安市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为（注：
所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）（ ）
A.1.2米B.1.5米C.2米D.1米
7.（成都中考题改编）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm.
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S能否为196m2？
若能，请求出x的值；若不能，请说明理由.
8.（温州中考题）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为 m2.
设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3−3x=30−3x，
则总面积S=x（30−3x）=−3x2+30x=−3（x−5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
练习：
1、一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，两条直角边的长分别是。
2、为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为米，宽为米。
7.动点几何问题
例13、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动：
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？
会请求出此时的运动时间，若不会请说明理由．
例14、已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm。
某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1
的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D出发沿DA方向以2
的速度向A点匀速运动，则经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的
？
练习：
1.已知：
如图所示，在△
中，
.点
从点
开始沿
边向点
以1cm/s的速度移动，点
从点
开始沿
边向点
以2cm/s的速度移动.
（1）如果
分别从
同时出发，那么几秒后，△
的面积等于4cm2？
（2）如果
分别从
同时出发，那么几秒后，
的长度等于5cm？
（3）在
（1）中，△
的面积能否等于7cm2?
说明理由.
3.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P、Q分别从点A、B同时出发.若有一点到达目的地，则两点停止运动.要使P、Q两点之间的距离等于4
cm，则需要经过（ ）
A.
sB.2sC.
sD.
s或2s
4.如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从点A出发沿边AB向点B移动，过点P作PQ∥AC，PR∥BC，则当AP＝ cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2.
5.（2018秋·成都金牛区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q两点的距离是10cm？
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，经过t秒后△PDQ的面积等于28cm2，则t的值为（ ）
A.1或4B.1或6C.2或4D.2或6
（第6题） （第7题）
7.（徐州中考题）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A.1或9B.3或5C.4或6D.3或6
8.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝10cm，点P从A出发沿射线AB以1cm/s的速度作直线运动，点Q从C出发沿边BC的延长线以2cm/s的速度作直线运动，如果P，Q分别从A，C同时出发，经过 秒，△PCQ的面积为24cm2.
9.（2018秋·松桃县月考）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PBQ的面积等于△ABC的面积的一半？
若存在，求出移动时间；若不存在，说明理由.
10.如图，正方形ABCD的边长为10cm，点P从点A开始沿折线A→D→C以2cm/s的速度移动，点Q从点D开始沿DC边以1cm/s的速度移动.如果点P、Q分别从A、D同时出发，当其中一点到达点C时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t（s）.
（1）t为何值时，△PQB为直角三角形？
（2）t为何值时，△PQB的面积为正方形ABCD面积的
？
11.如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（ ）
A.2－
B.2＋
C.2＋
D.
－2
12.某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：
l＝
t2＋
t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm.
（1）甲运动4s后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？
19.（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝6cm，CD＝10cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动.
（1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
（2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？
若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由.
课后作业：
1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？
2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
3.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元（叫做税率x%）,则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?
国家征收的附加税金总额=香烟的销售额（即单价×销售量）×征收的税率．
4.合肥百货大搂服装柜在销售中发现：
“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：
如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？
5.在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求需要金色纸边的宽是多少？
6.如图所示，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144m2，求甬路的宽度.
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