∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．
题型二 空间两直线的位置关系
例2
如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1
的中点．问：
（1）AM和CN是否是异面直线？
说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？
说明理由．
思维启迪：
第
（1）问，连接MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第
（2）问可采用反证法．
解
（1）不是异面直线．理由如下：
连接MN、A1C1、AC.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.
又∵A1A綊C1C，
∴A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．
（2）是异面直线．证明如下：
∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，
∴B、C、C1、D1不共面．
假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．
∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．求证：
（1）BC与AD是异面直线；
（2）EG与FH相交．
证明
（1）假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.
∴四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．
∴BC与AD是异面直线．
（2）如图，连接AC，BD，
则EF∥AC，HG∥AC，
因此EF∥HG；同理EH∥FG，
则EFGH为平行四边形．
又EG、FH是▱EFGH的对角线，
∴EG与FH相交．
题型三 异面直线所成的角
例3
正方体ABCD—A1B1C1D1中，
（1）求AC与A1D所成角的大小；
（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
思维启迪：
（1）平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．
（2）可证A1C1与EF垂直．
解
（1）如图所示，连接B1C，由ABCD—A1B1C1D1是正方体，
易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成
的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
（2）
如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD，
∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：
利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
答案 C
解析 如图，可补成一个正方体，
∴AC1∥BD1.
∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.
又易知△A1BD1为正三角形，
∴∠A1BD1＝60°.
即BA1与AC1成60°的角．
点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
典例：
（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
易错分析 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．
解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．
答案 B
构造衬托平面研究直线相交问题
典例：
（5分）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
审题视角 找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．
解析 方法一 在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．
方法与技巧
1．主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2．判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
（2）反证法：
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
失误与防范
1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
2．异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
A组 专项基础训练
（时间：
35分钟，满分：
57分）
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
答案 A
解析 若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．
2．下列命题正确的个数为（ ）
①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0B．1C．2D．3
答案 C
解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．
3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b
A．①②B．②③C．①④D．③④
答案 D
解析 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，
∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 B解析 有2条：
A1B和A1C1.
二、填空题（每小题5分，共15分）
5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
答案 1或4
解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
6．下列命题中不正确的是________．（填序号）
①没有公共点的两条直线是异面直线；
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；
③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；
④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．
答案 ①②
解析 没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：
若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故cD∥\b；命题④也正确，若c与两异面直线a，b都相交，由公理2可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．
7．（2011·大纲全国）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．
答案
解析 取A1B1的中点F，连接EF，AF.∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF∥B1C1，B1C1∥BC，
∴EF∥BC，∴∠AEF即为异面直线AE与BC所成的角．
设正方体的棱长为a，则AF＝
＝
a，EF＝a.
∵EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥AF，∴AE＝
＝
a.∴cos∠AEF＝
＝
＝
.
三、解答题（共22分）
8．（10分）如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊
AD，BE綊
FA，G、H分别为FA、FD的中点．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C、D、F、E四点是否共面？
为什么？
（1）证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊
AD.又BC綊
AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．
（2）解 方法一 由BE綊
AF，G为FA的中点知，
BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由
（1）知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
9．（12分）如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：
M、N、K三点共线．
证明 ∵M∈PQ，直线PQ面PQR，M∈BC，直线BC面BCD，
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，
即M在面PQR与面BCD的交线l上．
同理可证N、K也在l上．∴M、N、K三点共线．
B组 专项能力提升
（时间：
25分钟，满分：
43分）
一、选择题（每小题5分，共15分）
1.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）
A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M
答案 D
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．
2．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ ）
A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
答案 D
解析 若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.
3．以下四个命题中
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
二、填空题（每小题5分，共15分）
4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）
答案 ②④
解析 图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②、④中GH与MN异面．
5.如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案 ②③④
解析 还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
6．（2012·四川）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
答案 90°
解析 如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，
所以MK∥DN.
所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角．
连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K＝
＝
，
MK＝
DN＝
＝
，A1M＝
＝6，
∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.
三、解答题
7．（13分）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中
心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：
D1、H、O三点共线．
证明 连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，
∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，
B1D平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
即D1、H、O三点共线．
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