中学数学核心概念.docx

中学数学核心概念.docx

《中学数学核心概念.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中学数学核心概念.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中学数学核心概念

中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计案例之一

众数、中位数、平均数

葛华伟

　　一、教学内容解析

 这是一堂关于众数、中位数、平均数的概念课．

统计学最关心的是：

我们的数据能提供哪些信息．为了能从数据中得到信息，除了对数据进行整理外，人们还用这些数据生成一些新的数，用它们来反映这组数据的特性，给出我们需要的信息，从而从整体上更好地把握总体的规律．

在九义阶段，学生已通过实例，基本理解了众数、中位数、平均数的意义，会求数据的众数、中位数、平均数，并解释结果的实际意义，还能初步用样本的平均数估计总体的平均数，体会用样本估计总体的思想．在此基础上，高中必修内容要在解决统计问题的过程中，更好地理解众数、中位数、平均数的意义，进一步会用样本的众数、中位数、平均数等数字特征估计总体的数字特征，突出用样本估计总体的思想，并结合样本的选取初步体会样本数字特征的随机性，这将有利于学生从整体上更好地把握总体的规律，并为选学内容学习离散性随机变量的均值奠定基础．

二、教学目标解析

1．结合实际问题，让学生进一步学会用样本的众数、中位数、平均数等数字特征估计总体数字特征，并在此过程中突出用样本估计总体的思想，进一步体会定性分析与定量分析相结合的思想．

2．让学生能结合实际问题，比较三种数字特征的优劣，从而更好地用样本数字特征反映总体数字特征．

3．在用样本数字特征反映总体数字特征的过程中，体会由于样本数据的变化带来的数字特征的变化的随机思想，以及在此随机变化过程中总体呈现出来的统计规律．

4．在获取样本数字特征的过程中，让学生理解数据的不同整理方法，以及不同图表的特点，从而学会如何从表示样本数据的各种图表中获取众数、中位数、平均数．

三、教学问题诊断分析

1．通过以往的教学，学生已经知道样本的众数、中位数、平均数等数字特征都能反映总体集中程度的共同特性，但要选择哪个数字特征才能更好地把握总体的规律，学生就不太清楚了。

所以，教学的重点应放在这些数字特征的作用和意义上，关键是结合问题的具体情况进行分析．

2．以往教学存在的主要问题是学生只关心个别的知识点，而缺乏对统计这一学科的整体把握，不清楚统计这学科是做什么的．很多学生把这部分内容当成了数据的加减乘除和它们的简便算法来学，结果不少学生不知道如何根据问题的实际从数据中提取怎样的信息来反映整体的特性．针对这一问题，教学应通过紧扣问题实际，突出这些数字特征的作用和意义，从而突破这一难点．

3．搜集数据以及对数据进行整理和画统计图表，其目的都是为了能从数据中得到信息．但很多学生在学习整理数据时，把主要精力放在了如何画图表等方法上，而没有去关注如此整理数据后，能提取何种信息．所以，教学还要注意让学生进一步理解不同的整理方法以及不同图表的特点，学会从图表中提取数字特征．

四、教学支持条件分析

为了将学生从繁琐的数字计算和画统计图表中解脱出来，将精力放在对概念的理解和突出思想方法上，可根据下列不同的情况，设计教学条件，支持教学．

1．理想的教学应该是在计算机或图形计算器的支持下完成的．教学之前，老师将搜集的数据传输到学生的计算机或图形计算器中．在教学和作业中，学生只需利用机器中的统计软件直接计算或画统计图表．本教学设计将建立在此条件的基础上．

2．如果只有科学计算器，教师应事先对收集的数据进行处理，在教学和作业中采用挂图和作业单来给出统计图表，使学生能方便地得到三种数字特征．

3．在学生缺乏信息技术工具的条件下，教学和作业都应避免繁琐的计算，涉及到利用样本数据求数字特征，可直接将数字特征告知学生；而统计图可用挂图和作业单给出．

五、教学过程设计

（一）教学基本流程

（二）教学情景

 1．概念的复习

问题1：

表1是从高一年级随机抽出的甲乙两组同学的身高情况，现要选出一组同学，为他们订制服装去参加一次活动．问：

                                                   表1（单位：

cm）

甲组

163

165

168

172

172

172

174

175

176

177

179

181

181

182

185

乙组

165

166

169

170

170

171

172

173

175

176

177

178

179

181

182

（1）如果要选身高较高的一组，你认为应该选哪一组？

（2）考虑到以后还要继续使用，只能订制一种规格的服装．你认为应该订制多少身高的服装？

（3）如果要从全年级中重新选一组身高一样的同学去参加活动，你认为选身高为多少的同学容易做到？

设计意图：

结合具体问题复习所学过的众数、中位数、平均数概念．通过学生对问题的回答诊断他们对所学概念的理解情况．三个问题各有针对性，将三个问题放在一起让学生考虑，更利于了解学生对三个概念是否混淆．

师生活动：

教师先提问学生，然后针对学生暴露出来的问题进行引导．在求平均数时，可利用信息技术工具完成．

如果学生是通过比较两组中最高的人来回答问题

（1）时，可启发学生思考下列问题：

“身高较高的一组”是指一个组的整体情况还是个人情况？

哪个数字特征能较好地反映小组整体的身高情况，为什么？

问题

（2）和问题（3）可引导学生思考：

对比求出的三个数字特征，看看选哪个更合理？

问题2：

结合上述问题，你能谈谈对众数、中位数、平均数的理解吗？

设计意图：

通过问题之后的反思，具体地理解三个概念，达到对所学概念的梳理．

师生活动：

学生先谈，然后教师进行归纳．关键是结合具体问题，既要说明三者的共性，又要突出三者间的差异．

2．概念的进一步理解

问题1：

在实际问题中，有时我们并不需要了解总体的所有信息，而只对总体的某些数字特征更感兴趣．例如在上一节居民月用水量的问题中，有时就主要关心全市居民月用水量的众数、中位数、平均数．请根据所调查的100位居民月用水量的频率分布直方图（图1），对全市居民月用水量的众数、中位数、平均数作出估计，并说明这些数字特征的实际意义．

设计意图：

很多学生对从统计图表中能提取何种信息不甚了解，所以想通过设置本问题，让学生在具体问题的分析解决过程中，学会从直方图中获取众数、中位数、平均数，并进一步理解三种数字特征的意义．

师生活动：

在教学中，可以让学生先思考：

（1）如何根据图1，估计月用水量的众数、中位数、平均数？

为了帮助学生更好地理解三种数字特征，如图2

（1），可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”；如图2

（2），可将中位数看作整个直方图面积的“中心”；如图2（3），可将平均数看作整个直方图面积的“重心”．

由于估计出来的中位数值与样本的中位数值不同，所以可以启发学生作下列思考：

（2）如图2

（2），2.03这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释一下原因吗？

在此基础上，组织学生讨论：

（3）所估计出来的这些数字特征有什么实际意义？

问题2：

如果要对居民用水量进行限制，你认为对哪部分居民的用水量作出限制较为合理？

设计意图：

是否能较好地理解数字特征，还包括能否正确地选择数字特征帮助解决实际问题．而在这一方面，恰好是学生所欠缺的．所以想通过本问题，让学生能从三种数字特征中选择并运用某种数字特征解决问题，从中体会各种数字特征在解决实际问题中的作用，并进一步理解各种数字特征的实际意义．

师生活动：

教师提出问题后，可组织学生展开讨论．在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问题：

（1）显然，要对用量大的居民的用水量作出限制．那么，用量大小如何衡量？

（2）能否用众数来衡量用量的大小？

用中位数和平均数来衡量，哪个更合理？

为什么？

问题3：

你认为上述三种数字特征，哪种能更好地反映全市居民用水的总体水平？

设计意图：

设置本问题的目的就是要让学生通过具体问题，学会用样本的数字特征估计总体的特性，突出用样本估计总体的思想，并在此过程中让学生体会定性分析与定量分析相结合的思想，从而达到本节课教学的主要目标．

师生活动：

由于众数、中位数、平均数都能反映总体集中程度的共同特性，所以要回答哪种数字特征能更好地反映居民用水的总体水平，对学生来说可能有一定困难．教师可以通过下列问题启发学生比较三种数字特征在解决具体问题中的优劣：

（1）如何理解将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”，将中位数看作整个直方图面积的“中心”，将平均数看作整个直方图面积的“重心”？

（2）如果改变个别样本数据，哪种数字特征一定会跟着改变？

这说明了什么？

通过回答上述问题，教师应该引导学生从中体会由于抽样使样本数据的变化带来的数字特征的变化的随机思想，以及在此随机变化过程中总体呈现出来的统计规律．

3．概念的运用

问题1：

图3是甲乙班同学某次考试成绩的茎叶图，请选择有关的数字特征对两个班的成绩进行评价．

设计意图：

前面已经学习了从直方图中获取数字特征，这里主要是让学生学会从茎叶图中获取众数、中位数、平均数，并从三种数字特征中选择并运用合适的数字特征解决问题，从而体会各种数字特征在解决实际问题中的作用，理解各种数字特征的实际意义．

师生活动：

学生可能会片面地选择某种数字特征来回答问题，教师可引导学生先求出两个班成绩的众数、中位数、平均数，然后结合三种数字特征的实际意义进行选择，再通过对比两个班的数字特征从不同角度回答所提出的问题．

问题2：

表2是七位评委给某参赛选手的打分，你认为如何计算这位选手的最后得分才较为合理？

表2

评委

1号

2号

3号

4号

5号

6号

7号

打分

9.6

9.2

9.3

9.5

9.9

9.3

9.4

设计意图：

这里主要想让学生学会综合运用各种数字特征解决问题，从而更好地用样本的数字特征估计总体的特性，体会用样本估计总体的思想．

师生活动：

学生可能不会综合运用各种数字特征来回答问题，教师可结合实际中常常遇到的情况，引导学生先思考下列问题：

（1）在电视里，我们常常看到，去掉一个最高分和一个最低分，取剩下分数的平均分为最后得分．为什么这么做？

（2）如果去掉两个最高分和两个最低分，三个最高分和三个最低分，…最终情况会怎样呢？

问题3：

“用数据说话”，这是我们经常可以听到的一句话．但是，数据有时也会被利用，从而产生误导．例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元．这时，年收入的平均数会比中位数大得多．尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问．

你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释？

设计意图：

在问题2的基础上，让学生通过本问题学会灵活运用各种数字特征解决问题，从而对用样本估计总体的思想有更深刻的认识．

师生活动：

对“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话，可能学生会有不同的认识．为此，教师可作如下启发：

（1）一个单位的收入水平指的是什么？

（2）“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话什么时候比较符合事实？

4．小结

将本节的主要内容以问题的形式呈现，让学生通过思考和回答问题，达到回顾和总结的目的．

问题1：

举例说明众数、中位数、平均数的异同．

设计意图：

抽象地研究数字特征不能反映统计思想，所以这里让学生充分结合具体问题，以举例的形式说明三种数字特征的异同，以此评价他们对这些数字特征的理解情况，并借此机会让他们学习提出有意义的统计问题．

师生活动：

教师应尽可能让更多的学生举出不同的实例，并引导他们认识到数字特征的意义可能随问题的不同而不同．

问题2：

举例说明，如何用样本的数字特征估计总体的数字特征？

在此过程中应该注意什么？

设计意图：

同问题1一样，这里也是通过让学生举例来评价他们对用样本的数字特征估计总体的数字特征这一思想的领会情况，并进一步创造机会让他们学习提出有意义的统计问题．

师生活动：

如果学生不能提出新的问题，可让他们在本节课已有问题的基础上进行思考．

5．作业

第1题：

假设你是一名交通部门的工作人员．你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2200万元人民币，另外25个项目的投资在20万与100万之间．中位数是25万，平均数是100万，众数是20万元．你会选择哪一种数字特征来表示每一个项目的国家投资？

你选择这种数字特征的缺点是什么？

设计意图：

通过本题评价学生能否结合实际背景，从三种数字特征中选择并运用合适的数字特征解决问题，并理解各种数字特征的实际意义．

第2题：

有一篇新闻报道说，2003年，某地的一般家庭收入是35205元，这个地区居住的一般人是男人，体重71kg，居住在有2.2个卧室的住房中，每周看电视18.21h．

（1）这些数字中，哪一个是众数？

哪一个是中位数？

哪一个是平均数？

（2）从这篇报道出发，你能说说中位数、平均数的特点吗？

设计意图：

通过本题评价学生能否从实际数据中提取数字特征，并理解其中某些数字特征．

第3题：

以往的招生统计数据显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分．你的一位校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先查阅一下这所大学招生的其他信息？

解释一下你的选择．

设计意图：

通过本题评价学生对实际问题中数字特征的理解，以及他们灵活运用样本估计总体思想的能力．