人教版八年级下册数学教案第16章分式.docx
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人教版八年级下册数学教案第16章分式
第十六章分式
16．1分式
16.1.1从分数到分式
一、教学目标
1．了解分式、有理式的概念.
2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
二、重点、难点
1．重点：
理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
2．难点：
能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
三、课堂引入
1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：
10，s，200，v.
7a33s
2．学生看P3的问题：
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.
设江水的流速为x千米/时.
轮船顺流航行100千米所用的时间为
6020v10020v小时，逆流航行60千米所用时间小时，所以10020v=
1006020v.6020v3.以上的式子
同点和不同点？
五、例题讲解，，s，v，有什么共同点？
它们与分数有什么相as20v
P5例1.当x为何值时，分式有意义.
[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x的取值范围.
[提问]如果题目为：
当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？
这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
（补充）例2.当m为何值时，分式的值为0？
mm2m12
m1m1m3（1（21分母不能为零；○2分[分析]分式的值为0时，必须同时满足两个条件：
○．．
子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
[答案]
（1）m=0
（2）m=2（3）m=1
六、随堂练习
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
1
9x+4,7,9y,m4,8y3，
x201x95y2
2.当x取何值时，下列分式有意义？
x4（1（x232x23x52x5
3.当x为何值时，分式的值为0？
5x213xx1227xxx（1x（27
七、课后练习
1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？
哪些是分式？
（1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.
（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时.
（3）x与y的差于4的商是.
2．当x无意义？
3x2
xx2x12x13.当x的值为0？
八、答案：
六、1.整式：
9x+4,9y,m4分式：
7,8y3，
20
31x95xy22．
（1）x≠-2（22≠（3）x≠±2
3．
（1）x=-7
（2）x=0（3）x=-1
七、1．1x
分式：
80,
xsab80sab,xy;整式：
8x,a+b,xy;44
22．3.x=-13
课后反思：
16.1.2分式的基本性质
2
一、教学目标
1．理解分式的基本性质.
2．会用分式的基本性质将分式变形.
二、重点、难点
1．重点:
理解分式的基本性质.
2．难点:
灵活应用分式的基本性质将分式变形.
三、例、习题的意图分析
1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.
2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：
约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.
教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.
3．P11习题16.1的第5题是：
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.
“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.
四、课堂引入
120与相等吗？
为什么？
4248
依据？
3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.
五、例题讲解
P7例2.填空：
[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.
P11例3．约分：
[分析]约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.
P11例4．通分：
334315932．说出并说出变形20248与之间变形的过程，1593
[分析]通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.
（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
6b5a
，x，2m，7m，3x。
3y
n
6n
4y
[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.
解：
6b6b=
，
x=
x，
2m=
2m，
5a5a
3y
3y
n
n
7m=
7m3x6n
6n
，4y
=
3x4y
。
六、随堂练习
1．填空：
2
32
（1）
2x
x2
3x
=
x3
（2）6ab8b
3
=
3a
3
3）
b12
2（ac
=
（4）
xyxy
ancn
xy2
=
2．约分：
2
2
（13ab
n
x2yz3
2（xy）3
6ab2
c
（28m2mn
2
（3416xyz
5
（4yx
3．通分：
（1）12b2ab
3
和
5a2
b2
c
（2）
a2xy和3x
2
（3）
3ca
12ab
2
和
8bc
2（4）
1y1
和
y1
4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.3
（1）
xya
35a3ab
2
（2）
17b
2
（3）
13x
2
（4）
（ab）
2
m
七、课后练习
1．判断下列约分是否正确：
（1）ac=axybc
b
（2）
x2
y
2
=
1xy
（3）
mnmn
=0
2．通分：
4
（1）
13ab
2
和
27ab
2
（2）
x1xx
2
和
x1xx
2
3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号.
（1）
八、答案：
六、1．
（1）2x
（2）4b（3）bn+n（4）x+y
2abab
（2）
x2y3xy
2．
（1）
a2bc
（2）
4mn
3．通分：
（1）12ab
3
=
5ac10a2
b3
c
，
（2）a2xy
=
3ax6x2
y
，
（3）3c12c
32ab
2
=8ab2
c
2
（4）
1=
y1y1
（y1）（y1）
3
4．
（1）
xya
33ab
2
（2）
17b
2
课后反思：
（3）
x4z
2
（4）-2（x-y）2
24b5a2
b2
c=
10a2
b3
c
b3x
2=
2by6x2
y
aab8bc
2
=
8ab2
c
2
1y1y1
=
（y1）（y1）
3）
5a（ab）2
13x
2
（4）m
5
（
16．2分式的运算
16．2．1分式的乘除
（一）
一、教学目标：
理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.
二、重点、难点
1．重点：
会用分式乘除的法则进行运算.
2．难点：
灵活运用分式乘除的法则进行运算.
三、例、习题的意图分析
1．P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是
拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a
mbnvabmn，大倍.引出了分式的乘除法的
实际存在的意义，进一步引出P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.
2．P14例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.
3．P14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.
4．P14例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此（a-1）2=a2-2a+1<a2-2+1,即（a-1）2<a2-1.这一点要给学生讲清楚，才能分析清楚“丰收2号”单位面积产量高.（或用求差法比较两代数式的大小）
四、课堂引入
1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高
作效率是小拖拉机的工作效率的a
mb倍.nvabmn，问题2求大拖拉机的工[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.
1．P14[观察]从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.
3．[提问]P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？
类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.
6
五、例题讲解
P14例1.
[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.
P15例2.
[分析]这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
P15例.
[分析]这道应用题有两问，第一问是：
哪一种小麦的单位面积产量最高？
先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是
500a
2
、
500
，还要
2
1
a1
判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此（a-1）2=a2-2a+1<a2-2+1,即（a-1）2<a2-1，可得出“丰收2号”单位面积产量高.六、随堂练习
计算
（1）
c
2
ab
abc2y5x
22
（2）（5）
n
2
2m
2
4m5n
23
（3）
a1
2
2
27xx
2
y
（3y）
（4）-8xy七、课后练习
计算
（1）x（4）
a4
2
（6）y
6y9y2
a2a1a4a4
y13xy
2
2
2
（2）5b
aba2b
10bc
3ac21a
2
2
（3）12xy8xy
2
5a
a4b3ab
2
（5）x
x
x1
（4x）
（6）42（x
2
y）
2
x
x
2
3
35（yx）
八、答案：
六、
（1）ab
（2）2m（3）
5n
y14
（4）-20x2（5）（a1）（a2）
（a1）（a2）
（6）3y
y2
七、
（1）1
（2）
x
7b2c
2
（3）
y）
2
310ax
（4）a2b
3b
（5）
课后反思：
x1x
（6）6x（x
5（xy）
7
16．2．1分式的乘除
（二）
一、教学目标：
熟练地进行分式乘除法的混合运算.
二、重点、难点
1．重点：
熟练地进行分式乘除法的混合运算.
2．难点：
熟练地进行分式乘除法的混合运算.
三、例、习题的意图分析
1．P17页例4是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先把除法统一成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
教材P17例4只把运算统一乘法，而没有把25x2-9分解因式,就得出了最后的结果，教师在见解是不要跳步太快，以免学习有困难的学生理解不了，造成新的疑点.
2，P17页例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，突破符号问题.
四、课堂引入
计算
（1）y
xx
y（y
x）
（2）3x（3x）
（1）4yy2x
五、例题讲解
（P17）例4.计算
[分析]是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.
（补充）例.计算
8
2
（1）3ab
2x3y（8xy3x
9a2b）（4b）3ab2
=2x3y（8xy）4b
9a2b3x（先把除法统一成乘法运算）=3ab2
2x3y8xy4b
9a2b3x（判断运算的符号）=16b2
9ax3（约分到最简分式）
（2）2x6）（x2）
44x4x2（x3）（x33x=2x61x3）（x2）
44x4x2（x33x（先把除法统一成乘法运算）=2（x3））（x2）
（2x）21x3（x3
3x（分子、分母中的多项式分解因式）=2（x3）1（x3）（x2）
（x2）2x3（x3）=2
x2
六、随堂练习
计算3
（1）3b2
16abc6
2a2（2ab）
（2）5c
2a2b4（6abc2）20c30a3b10
222
（3）3（xy）（xy）492y
（yx）3yx（4）（xyx）x2xyy
xyx
x2
七、课后练习
计算2
（1）8x2y43xa26a93aa2
4y6（xy6z）
（2）4b22b3a921x2
（3）y4y4
y36yxyxy
2y612
9y2（4）x2xy（xy）y2xy
八、答案：
9
六.
（1）七.
（1）
课后反思：
3a
2
4c
3
（2）
a
58c
2
4
（3）
（xy）
3
2y12
4
（4）-y（4）
1x
36xzy
（2）
b2
（3）
16．2．1分式的乘除（三）
一、教学目标：
理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.二、重点、难点
1．重点：
熟练地进行分式乘方的运算.
2．难点：
熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.三、例、习题的意图分析
1．P17例5第
（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第
（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：
先做乘方，再做乘除..
2．教材P17例5中象第
（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样象第
（2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应的增加几题为好.
分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点.四、课堂引入
计算下列各题：
（1）（）2=
bbaa
abababab
=（）
（2）（）3=
b
b
abab
aaab
ab
=（）
（3）（）4=
=（）
10
[提问]由以上计算的结果你能推出（）n（n为正整数）的结果吗？
b
a
五、例题讲解（P17）例5.计算
[分析]第
（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第
（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：
先做乘方，再做乘除.六、随堂练习
1．判断下列各式是否成立，并改正.
（1）（（3）（
b
3
52
2
2a
）=
23
b
2a
（2）（
33
3b2a
）
2
=
）
2
9b4a
2
22
2y3x
）
=
8y9x
（4）（
3xxb
=
9x
2
xb
2．计算
（1）（（4）（（6）（
5x
2
3y
）
（2）（
2
3ab2c
3
2
）（3）（
3
a
32
3xy
）（
2
ay2x
2
）
3
xyzy2x
2
2
）（
2
3
xz3x
3
）5）（
23
xy
）（
2
y
2
x
）（xy）
4
）（
2y
）（
3x2ay
）
2
七、课后练习
计算
（1）（（3）（
c
3
2ba
2
3
）
3
c
4
（2）（
ab
2
2
）n1
ab
2
）（
2
ab2a3a4222
（）（）（ab））（）（4）3
abbacab
八、答案：
六、1.
（1）不成立，（
b
3
2a
）=
2
b
62
4a
（2）不成立，（
）
3
3b2a
）
2
=
9b4a
22
（3）不成立，（
（3xxb
）
2
2y3x
=
8y
33
27x
（4）不成立，
=
9x
2
2
2
x2bxb
2.
（1）
25x9y
42
（2）
27ab8c
9
63
（3）
8ax9y
2
34
（4）
yz
34
11
（5）
七、
（1）
课后反思：
1x2（6）ay4x3228ba96
（2）ab42n2（3）ca22（4）abb
16．2．2分式的加减
（一）
一、教学目标：
（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.
二、重点、难点
1．重点：
熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
2．难点：
熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
三、例、习题的意图分析
1．P18问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的1
n1
n3.这样引出分式的加减法的实际背
景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2．P19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则.
3．P20例6计算应用分式的加减法法则.第
（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所12
以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；
第
（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单，教师应适当补充一些题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则.
（4）P21例7是一道物理的电路题，学生首先要有并联电路总电阻R与各支路电阻R1,R2,„,Rn的关系为
1R1R1
1R1
1R2
1R150
1Rn
.若知道这个公式，就比较容
易地用含有R1的式子表示R2，列出1
R
，下面的计算就是异分母的分式
加法的运算了，得到1
R
2R150R1（R150）
，再利用倒数的概念得到R的结果.这道题的数
学计算并不难，但是物理的知识若不熟悉，就为数学计算设置了难点.鉴于以上分析，教师在讲这道题时要根据学生的物理知识掌握的情况，以及学生的具体掌握异分母的分式加法的运算的情况，可以考虑是否放在例8之后讲.
四、课堂堂引入
1.出示P18问题3、问题4，教师引导学生列出答案.
引语：
从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？
3.分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？
4．请同学们说出
12xy
2
3
13xy
4
2
19xy
2
的最简公分母是什么？
你能说出最简
公分母的确定方法吗？
五、例题讲解
（P20）例6.计算
[分析]第
（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第
（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.
（补充）例.计算
（1）
x3yxy
2
2
x2yxy
2
2
2x3yxy
2
2
[分析]第
（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
13
解：
x3yxy
2
2
x2yxy
2
2
2x3yxy
2
2
====
（x3y）（x2y）（2x3y）
xy
2x2yxy
2
2
2
2
2（xy）（xy）（xy）2xy
1x3
1x62x
6x9
2
（2）
[分析]第
（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.解：
1x3
1x62x
6x9
2
6
====
1x3
1x2（x3）
（x3）（x3）
2（x3）（1x）（x3）12
2（x3）（x3）
（x6x9）2（x3）（x3）（x3）
2
2
2（x3）（x3）
x32x6
=
六、随堂练习
计算
（1）
3a2b5ab
1a3
2
ab5ab6a
22
ba5ab
2
（2）
m2nnm
n
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