数值分析试题及答案.docx

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数值分析试题及答案

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1.3.142和3.141分别作为

的近似数具有（）

和（）位有效数子.

A.4和3

B.

3和2

C.3和4

D.

4和4

2

1

2

1

f

xdx

f1

Af（）

-f

（2）

2.已知求积公式

1

6

3

6,

则A=（）

1

1

1

2

A.6B.

3

C.

2D.

3

A.loXo=0,

hX10

B.'

，0沧=0,

hX1

1

C.loXo=1,

l1x11

D.'

0X0—1

I1X1

1

fx

4.设求方程'X

0的根的牛顿法收敛,

则它具有（

）

敛速

A.超线性B.平方C.线性D.三次

Xi2x2X30

2xi2x23x3

单项选择题答案

1.A2.D3.D4.C5.B

得分

评卷

人

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1.设X（2,3,4）t,则||X|1

l|X||2

2.一阶均差f心为

3.已知n3时，科茨系数

Co3

8，Ci3

C233C3

8，那么C3

4.因为方程内有根。

0在区间

1,2上满足

，所以

fx0在区间

5.取步长h0.1，用欧拉法解初值问题

的计算公式

填空题答案

fx0fx1

1.

9和29

2.

3.

4.

Yk1Yk1.1

5.

Y01

得

评卷

分

人

2

10.1k

0.1

k

0,1,2|ll

1.已知函数

1

0

1

2

Y1x2的一组数据：

1

05

02

求分

段线性插值函数，并计算

f1.5的近似值.

三、计算题（每题15分，共60分）

计算题1.答案

1.

0,1

x0——0.5

10

10.5x

x1,2

x2

X1

x0.5

——0.2

0.3x0.8

12

21

所以分段线性插值函数为

10x|x22x37.2

x110x22x38.3

2.已知线性方程组x125x34.2

（1）写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；

（2）对于初始值X0,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯—塞德尔迭代公

1

式分别计算X（保留小数点后五位数字）.

计算题2.答案

x2m10.1x,m0.2x3m0.83

X3m10.2以0.2X2“0.84（m0,1...）

高斯-塞德尔迭代法公式

m1mm

x10.1x20.2x30.72

m1m1m

X20.1X10.2x30.83

m1m1m1

X30.2x10.2x20・84（m0,1...）

用雅可比迭代公式得

0.72000,0.83000,0.84000

1

用高斯-塞德尔迭代公式得X°.72000,0.90200,1.16440

3.用牛顿法求方程x33x10在1,2之间的近似根

（1）请指出为什么初值应取2?

（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.

计算题3.答案

迭代公式为

X0

4.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分

11

dx

01x

计算题4.答案

bba

fxdx

fafb

4解梯形公式a2

11

111

dx

[]0.75

21011

应用梯形公式得01x

辛卜生公式为

应用辛卜生公式得

25

3次代数精确度

36

得

评卷

11「

分

人

四、证明题（本题10分）

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有

证明题答案

证明：

求积公式中含有三个待定系数，

2

即A4A，将fXhx,x分别代入求积公式，

并令其左右相等，得

1

4h

A1

AhA

得

3

3。

所求公式至少有两次代数精确度。

又由于

h

h

4

h

f

xdxfh

f0

fh

故h

3

3

3具有三次代数精确度。

填空（共20分，每题2分）

1.设x2.3149541…，取5位有效数字，则所得的近似值x=

2.设一阶差商

3.设X（2,3,1）T,则Mb_，||X||_。

4•求方程x2X1.250的近似根，用迭代公式X.X1.25，取初始值冷1

那么X1°

y'f（x,y）

5•解初始值问题y（X0）y°近似解的梯形公式是yk1—°

11

A

6、51，则A的谱半径XA）

=°

7、设f（x）3x25,Xkkh,k0,1,2

...,则f人，Xn1,Xn2和

xn，Xn1,xn2,xn3

8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯塞德尔迭代都°

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为

23

（X1）（X1）的乘除法运算次数尽量的少

式改写成

填空题答案

1、2.3150

2、

X1,X2,X3

fx2,x3

fXpX2

co

9|CM

11

X3

X1

41

6

3、6和丿4

1.5

、计算题（共75分，每题15分）

3

f（x）X2,x°

1•设

1x11,x29

44

19

（1）试求f在44上的三次Hermite插值多项式x使满足

H（jfg,j0,1,2,...H'（x1）f'（xj

2•已知2卩⑴的/⑴满足炉⑶一耳°,试问如何利用呻）构造一个收敛的

简单迭代函数■:

，，使’皿'0,1…收敛?

计算题2.答案

2、由x（x），可得x3x

（x）3x

1

2（（x）3x）

（x）

3.试确定常数A,B,C和a,使得数值积分公式

扛杯尚4/（p）+（①+巧S）

Gauss型

有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？

它是否为的？

计算题3.答案

3、

求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的

y'f（x,y）

4.推导常微分方程的初值问题y（x0）y°的数值解公式:

yn1yn13（yn14yny.1）

（提示：

利用Simpson求积公式。

）计算题4.答案

4、

数值积分方法构造该数值解公式：

对方程yf（x）在区间xn1,xn1

上积分,

xn1

y（Xn

得

1）

y（Xn1）f（x,y（x））dx

，记步长为h,

xn1

对积分

x,

xn1

f（x,y（x））dx

xn1

2hh'''

rf（xn1）4f（xn）f（xn1）3（yn14ynyn1）

h'''

所以得数值解公式:

yn1yn13（yn14ynyn1）

X1

2x2

3x3

14

2x1

5x2

2X3

18

5.利用矩阵的LU分解法解方程组3X1

X2

5X3

20

计算题5.答案

1

12

3

ALU

2

11

4

5、解：

3

51

24

三、证明题（5分）

1设"71,证明解八，的Newton迭代公式是线性收敛的

证明题答案

证明：

因

Xn1Xn

a）2,故f（x）6x2（x3a）,由Newton迭达公式：

f（x）（X3

f（Xn）

n

f（Xn）

/3\2

（Xna）

0,1,...得

5xna

62（3、才y,n0,1,...6Xn（Xna）66Xn

因迭达函数（x）5Xa2,而

66x2

又x苗则（V0）5a（va）

63

故此迭达公式是线性收敛的。

Xn1

Xn

（X）

5

6

1

3

a3

3X，

10,

、填空题（20分）

1）

（1）.设x*2.40315是真值x2.40194的近似值，则x有位有

效数字。

（2）.对f（x）x3x1,差商f[0,1,2,3]（）。

（3）.设X（2,3,7）T,则||X|1_。

n

（n）

Ck

（4）.牛顿一柯特斯求积公式的系数和k0。

填空题答案

（1）3

（2）1（3）7（4）1

二、计算题

1）.（15分）用二次拉格朗日插值多项式L2（x）计算弘0.34的值。

插值节点和相应的函数值是（0,0）,（0.30,0.2955），（0.40，

0.3894）。

计算题1.答案

（xX0）（XX2）（Xx°）（xxj

f1

（X1X0）（X1X2）（X2X°）（X2X1）

3

2）.（15分）用二分法求方程f（x）xx10在口。

1.5］区间内的一个根，误差限102。

计算题2.答案

N6

X11.25X21.375X31.3125

2）x41.34375x51.328125&1.3203125

4x1

2X2

X3

11

X1

4X2

2X3

18

3）.（15分）用咼斯-塞德尔方法解方程组2x1

X2

5X3

22，取

x（0）（O0O）T，迭代三次（要求按五位有效数字计算）.

计算题3.答案

3）迭代公式

4）.（15分）求系数A1,A2和A使求积公式

1

f（x）dxA1f

（1）A2f（-）A3f（-）对于次数2的一切多项式都精确成立

133

计算题4.答案

1

1

1

12

AA

A32A

3A2

3人

0A

9A2

a3

93

1

3

A

—

A

0

A

4）

2

2

3x1

2X2

10x3

15

10X1

4x2

X3

5

5）.

（10分）对方程组

2X1

10x2

4X3

8

试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由

计算题5.答案

5）解：

调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

x1k°

1

10（

4x2k）

（k）

X3

5）

x2k1）

1

10（

2x1k。

4x3k）

8）

x3k1

110（

3x；k1）2x2k

1）

15）

10

取x（°）（0,0,0）T，经7步迭代可得：

x*x（7）（0.999991459,0.999950326,1.000010）T

文档来源为：

从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持三、简答题

1）（5分）在你学过的线性方程组的解法中，你最喜欢那一种方法，为

什么？

2）（5分）先叙述Gauss求积公式，再阐述为什么要引入它

一、填空题（20分）

1.若a=2.42315是2.42247的近似值，贝Ua有（）位有效数字.

2.Io（x）,h（x）,,ln（x）是以o,1，,n为插值节点的Lagrange插值基函数，则

n

ili（x）

i0（）.

3.设f（x）可微，则求方程xf（x）的牛顿迭代格式是（）.

（k1）（k）

4.迭代公式XBXf收敛的充要条件是。

5.解线性方程组Ax=b（其中A非奇异，b不为0）的迭代格式xBxf

9x1x28

中的B称为（）.给定方程组x15x24，解此方程组的雅可比迭代

格式为（）。

填空题答案

1.3

2.x

Xn

f（xn）

xn1xn

3.1

f（人）

4.（B）1

k1

%

1

9（8

x2k））

k1

1

（k）、

X2

c（4

X1）

5.迭代矩阵，

5

得

评卷

分人|

二、判断题（共10分）

1.若f（a）f（b）0，则f（x）0在（a,b）内一定有根。

2.区间［a,b］上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项

式。

（）

3.若方阵A的谱半径（A）1，则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收

敛。

（）

n

4.若f（x）与g（x）都是n次多项式，且在n+1个互异点{Xi}i0上

f（Xi）g（Xi），贝yf（x）g（x）。

（）

1X1X2x

5.用2近似表示e产生舍入误差。

（）

判断题答案

1.x2.x3.x4.V5.x

得分

评卷

人

三、计算题（70分）

1.

（10分）已知f（0）=1,f（3）=2.4,f⑷二5.2，求过这三点的

由插值公式可求得它们分别为：

1777勿203

-x（x4）,一,1一x一x（x3）,和

「31215126

3

2.（15分）已知一兀方程x3x1.20

1）求方程的一个含正根的区间;

2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式（判断收敛性）；

3）给出在有根区间的Newton迭代法公式

计算题2.答案

2.

（1）f（0）1.20,f

（2）1.80又f（x）连续故在（0,2）内有一个正根

⑵

2

1

x站3x1

.2,

（x）（3x

「2）3,m（ax）

（x）||—1,Xn1*3Xn1.2收敛

1.23

f'（x）

3,xn1xn

x33x1.2

3x2

.2亠

（3）

3xn3

1

3.（15分）确定求积公式」（如Af（0.5）Bf（xi）Cf（0.5）的待定参数,

使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.

计算题3.答案

4.（15分）设初值冋题

y3X2y0x1

y（0）1

计算题5.答案

5.

0.510.5

P2（x）

=1+2（e1）x2（e2e1）x（x0.5）

0.5）（x1）

一、填空题（每题4分，共20分）

1、数值计算中主要研究的误差有和。

2、设lj（x）（j0,1,2|||n）是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则

n

Ij（Xi）（i,j0,1,2|||n）；j0lj（x）_。

3、设lj（x）（j0,1,2川n）是区间[a,b]上的一组n次插值基函数。

则插值型求积公

式的代数精度为;插值型求积公式中求积系数A*;且

n

Aj

j0

o

4、辛普生求积公式具有—次代数精度，其余项表达式

为。

2

5、f（x）x1,则f[1,2,3],f[1,2,3,4]。

填空题答案

1.相对误差绝对误差

5.1

、计算题

1、已知函数yf（x）的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式F3（x），

计算题1.答案

解：

差商表

i|

%

念）

心鬲卫］

f［耳兀砧J

0

0

1

1

1

3

2

2

2

9

6

2

3

3

27

8

6

4/3

由牛顿插值公式:

2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h0.1，

y

yx1,

x（0,0.6）

y（0）

1.

计算题

2.答案

f（x,y）yx1,y°1,h0.1,

yn1yn0.1（Xn1y』,（n0,1,2,3,|）

y。

1,

yk1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;

解:

1.056100;1.090490;1.131441.

3、（15分）确定求积公式

f（x）dxA0f（h）Af（O）A2f（h）

中待定参数A的值（i°,1,2），使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。

计算题3.答案

令f（x）x时求积公式成立，而f（x）X4时公式不成立，从而精度为3

4、（15分）已知一组试验数据如下：

求它的拟合曲线（直线）

5、

计算题4.答案

解：

设

yabx则可得15a55b105.5

于是a

2.45,b1.25，即y2.451.25x。

5a15b31

（15分）用二分法求方程f（x）

x3

x1在区间［1,1.5］内的根时，若要求精

确到小数点后二位，

（1）需要二分几次；

（2）给出满足要求的近似根计算题5.答案

解：

6次；x1.32

2x1

3x2

4X3

6,

3x1

5x2

2X3

5,

6、（15分）用列主元消去法解线性方程组4x1

3x2

30x3

32

计算题6.答案

2

3

4

6

4

3

30

32

4

3

30

32

3

5

2

5

3

5

2

5

3

5

2

5

4

3

30

32

2

3

4

6

2

3

4

6

4

3

30

32

4

3

30

32

0

11/4

41/2

19

0

11/4

41/2

19

0

3/2

11

10

0

0

2/11

4/11

433032

0118238

解：

0012

4x3x230x332,x113,

11x282x338,x28,

即X32.X32.

x.

f（x,y（x））dx

用Simpson求积公式得

（1）写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；

（2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解y1,y2，保留两位小数。

计算题4.答案

4

（1）Yn1Yn0.1（3xn2yn）0.3xn1.2yn

5.（15分）取节点&0,x10.5,X212，求函数yex在区间［0,1］上的二次插值多项式B（x），并估计误差。