数值分析试题及答案.docx

1、数值分析试题及答案文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持 、单项选择题（每小题 3分，共15分）1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数子.A . 4 和 3B .3和2C . 3 和 4D .4和42121fx dxf 1Af()-f(2)2.已知求积公式1636 ,则 A =()1112A . 6 B .3C .2 D .3A . lo Xo = 0,h X1 0B .，0 沧=0,h X11C . lo Xo = 1,l1 x1 1D .0 X0 1I1 X11f x4.设求方程X0的根的牛顿法收敛,则它具有（)敛速A .超线性 B.平方 C

2、.线性 D.三次Xi 2x2 X3 02xi 2x2 3x3单项选择题答案1.A 2.D 3.D 4.C 5.B得 分评卷人文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持 、填空题（每小题 3分，共15分）1.设 X (2,3, 4)t,则 |X |1l|X|22. 一阶均差f心为3.已知n 3时，科茨系数Co38，Ci3C23 3 C38，那么C34.因为方程 内有根。0在区间1,2上满足，所以f x 0在区间5.取步长h 0.1，用欧拉法解初值问题的计算公式填空题答案f x0 f x11.9和292.3.4.Yk1 Yk 1.15.Y0 1得评卷分人21 0.1k0.1,k0

3、,1,2|ll1.已知函数1012Y 1 x2的一组数据：10 50 2求分段线性插值函数，并计算f 1.5的近似值.三、计算题（每题15分，共60 分）计算题1.答案1.0,1x 0 0.51 01 0.5xx 1,2x 2X 1x 0.50.20.3x 0.8 1 22 1所以分段线性插值函数为10x| x2 2x3 7.2x1 10x2 2x3 8.32.已知线性方程组x1 2 5x3 4.2（1） 写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值X 0,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公1式分别计算X （保留小数点后五位数字）.计算题2.答案x2m1 0.1x,m

4、 0.2x3m 0.83X3m1 0.2以 0.2X2“ 0.84（m 0,1.）高斯-塞德尔迭代法公式m 1 m mx1 0.1x2 0.2x3 0.72m 1 m 1 mX2 0.1X1 0.2x3 0.83m 1 m 1 m 1X3 0.2x1 0.2x2 084 （m 0,1.）用雅可比迭代公式得0.720 00,0.830 00,0.840 001用高斯-塞德尔迭代公式得X .720 00,0.902 00,1.164 403.用牛顿法求方程x3 3x 1 0在1,2之间的近似根(1 )请指出为什么初值应取 2?(2 )请用牛顿法求出近似根，精确到 0.0001.计算题3.答案迭代公

5、式为X04.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1 1dx01 x计算题4.答案b b af x dxf a f b4解梯形公式a 21 11 1 1dx 0.752 10 11应用梯形公式得01 x辛卜生公式为应用辛卜生公式得253次代数精确度36得评卷1 1 分人四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，2即A4A，将f X hx,x分别代入求积公式，并令其左右相等，得14hA1A h A得33 。所求公式至少有两次代数精确度。又由于hh4hfx dx f hf 0f h故h333 具有三次代数精确度

6、。填空（共20分，每题2 分）1.设x 2.3149541，取5位有效数字，则所得的近似值 x=2.设一阶差商3.设 X (2, 3, 1)T,则 Mb _，|X| _。4求方程x2 X 1.25 0的近似根，用迭代公式X . X 1.25，取初始值冷1那么X1 y f(x,y)5解初始值问题y(X0) y近似解的梯形公式是yk 1 1 1A6、 5 1，则A的谱半径XA)= 7、设 f (x) 3x2 5, Xk kh, k 0,1,2.,则 f 人，Xn 1, Xn 2 和xn，Xn 1,xn 2, xn 38、若线性代数方程组 AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 塞

7、德尔迭代都 9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler )方法的局部截断误差为2 3(X 1) (X 1)的乘除法运算次数尽量的少式改写成 填空题答案1、2.31502、X1,X2,X3f x2, x3f XpX2co9 |CM11X3X14 163、6和丿41.5、计算题(共75分，每题15 分)3f(x) X2,x1 设1 x1 1,x2 94 41 9(1)试求f 在 4 4上的三次Hermite插值多项式 x使满足H(j fg, j 0,1,2,. H(x1) f(xj2已知2卩的/满足炉一耳 ,试问如何利用呻)构造一个收敛的简单迭代函数:，使皿 0, 1收敛?计算题2.答案2、由 x

8、 (x)，可得 x 3x(x) 3x12(x)3x)(x)3.试确定常数A, B, C和a,使得数值积分公式扛杯 尚4/(p) + (+巧S)Gauss 型有尽可能高的代数精度。 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 的？计算题3.答案3、求积公式具有5次代数精确度，它是 Gauss型的y f(x,y)4.推导常微分方程的初值问题 y(x0) y的数值解公式:yn 1 yn 1 3(yn1 4yn y. 1)(提示：利用Simpson求积公式。) 计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程 y f (x)在区间 xn1,xn 1上积分,xn 1y(Xn得1)y(Xn 1)

9、 f (x,y(x)dx，记步长为h,xn 1对积分x,xn 1f (x,y(x)dxxn 12h h rf(xn1) 4f(xn) f(xn1) 3(yn1 4yn yn1)h 所以得数值解公式:yn1 yn1 3(yn1 4yn yn1)X12x23x3142x15x22X3185.利用矩阵的LU分解法解方程 组 3X1X25X320计算题5.答案11 23A LU21 145、解：35 124三、证明题 （5分）1设 71 ,证明解 八， 的Newton迭代公式是线性收敛的证明题答案证明：因Xn 1 Xna)2,故 f (x) 6x2(x3 a),由Newton迭达公式：f(x) (X3

10、f (Xn) ,nf (Xn)/ 3 2(Xn a)0,1,.得5xn a6 2（ 3 、才 y,n 0,1,. 6Xn （Xn a） 6 6Xn因迭达函数 （x） 5X a2,而6 6x2又 x 苗则（V0） 5 a（va）6 3故此迭达公式是线性收敛的。Xn 1Xn(X)5613a 33X ，1 0,、填空题（20分）1）（1） .设x* 2.40315是真值x 2.40194的近似值，则x有 位有效数字。（2） .对 f（x） x3 x 1,差商 f 0,1,2,3（）。（3） .设 X （2, 3,7）T,则 |X|1 _。n（n）Ck（4） .牛顿一柯特斯求积公式的系数和k 0 。填

11、空题答案（1）3 （ 2）1 （ 3）7 （ 4）1二、计算题1）.（ 15分）用二次拉格朗日插值多项式L2（x）计算弘0.34的值。插值节点和相应的函数值是（0, 0）,（ 0.30, 0.2955），（ 0.40，0.3894）。计算题1.答案(x X0)(X X2) (X x)(x xj f1 (X1 X0)(X1 X2) (X2 X)(X2 X1)32).( 15分)用二分法求方程f(x)x x 1 0在 口。1.5区间内的一个 根，误差限 102。计算题2.答案N 6X1 1.25 X2 1.375 X3 1.31252) x4 1.34375 x5 1.328125 & 1.320

12、31254x12X2X311X14X22X3183）.（ 15分）用咼斯-塞德尔方法解方程组 2x1X25X322，取x(0)(O0O)T，迭代三次(要求按五位有效数字计算).计算题3.答案3)迭代公式4).( 15分)求系数A1,A2和A使求积公式1f(x)dx A1 f( 1) A2f ( -) A3f (-)对于次数 2的一切多项式都精确成立1 3 3计算题4.答案1111 2A AA3 2 A3A23人0 A9 A2a39 313AA0A4)223x12X210x31510X14x2X355).(10分)对方程组2X110x24X38试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题

13、5.答案5)解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x1k 110(4x2k)(k)X35)x2k1)110(2x1k。4x3k)8)x3k 1110(3x；k1)2x2k1)15)10取x() (0,0,0)T，经7步迭代可得：x* x(7)(0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000010)T文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持 三、简答题1）（5分）在你学过的线性方程组的解法中，你最喜欢那一种方法，为什么？2）（5分）先叙述Gauss求积公式，再阐述为什么要引入它一、填空题（20分）1.若a

14、=2.42315是2.42247的近似值，贝U a有（）位有效数字.2.Io（x）, h（x）, ,ln（x）是以o,1， ,n为插值节点的Lagrange插值基函数，则nili（x）i 0 （）.3.设f （x）可微，则求方程x f（x）的牛顿迭代格式是（ ）.（k 1） （k）4.迭代公式X BX f收敛的充要条件是 。5.解线性方程组Ax=b （其中A非奇异，b不为0）的迭代格式x Bx f9x1 x2 8中的B称为（ ）.给定方程组x1 5x2 4，解此方程组的雅可比迭代格式为（ ）。填空题答案1. 32.xXnf(xn)xn 1 xn3. 1f （人）4. (B) 1k 1%19(8

15、x2k)k 11(k)、X2c(4X1 )5.迭代矩阵，5得评卷分 人 | 二、判断题(共10分)1.若 f(a)f(b) 0，则 f(x) 0 在(a,b)内一定有根。2.区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ()3.若方阵A的谱半径(A) 1，则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛。 ()n4.若f (x)与g (x)都是n次多项式，且在n+1个互异点Xii 0上f (Xi) g(Xi)，贝y f (x) g(x)。 ()1 X 1X2 x5.用 2 近似表示e产生舍入误差。 ()判断题答案1. x 2. x 3. x 4. V5. x得 分评卷人三、计算题(70分

16、)1. (10分)已知f(0) = 1, f (3) = 2.4, f二5.2，求过这三点的由插值公式可求得它们分别为：1 7 7 7 勿 203-x(x 4),一,1 一x 一x(x 3),和 3 12 15 12 632.(15分)已知一兀方程x 3x 1.2 01)求方程的一个含正根的区间;2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式（判断收敛性）；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式计算题2.答案2.( 1)f (0) 1.2 0 , f(2) 1.8 0 又f(x)连续故在(0,2)内有一个正根21x 站3x 1.2,(x) (3x2）3,m（ax）(x)| 1, Xn1 *3Xn

17、1.2 收敛1.23f(x)3,xn 1 xnx3 3x 1.23x2.2 亠(3)3xn 313.（ 15分）确定求积公式 （如Af（0.5）Bf（xi） Cf（0.5）的待定参数,使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案4.（ 15分）设初值冋题y 3X 2y 0 x 1y(0) 1计算题5.答案5.0.5 1 0.5P2(x)=1+2(e 1)x 2(e 2e 1)x(x 0.5)0.5)( x 1)一、填空题(每题4分，共20分)1、 数值计算中主要研究的误差有 和 。2、 设lj(x)(j 0,1,2|n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则nIj(Xi) (i, j

18、 0,1,2|n) ； j 0lj(x) _。3、 设lj(x)(j 0,1,2川n)是区间a,b上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ;插值型求积公式中求积系数 A* ;且nAjj 0 o4、 辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为 。25、 f(x) x 1,则 f1,2,3 , f1,2,3,4 。填空题答案1.相对误差绝对误差5. 1、计算题1、已知函数y f(x)的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式 F3(x)，计算题1.答案解：差商表i |%念)心鬲卫f 耳兀砧J0011132229623327864/3由牛顿插值公式:2、( 10分)利用尤拉公式求解初值

19、问题，其中步长 h 0.1，yy x 1,x (0,0.6)y(0)1.计算题2.答案f (x, y) y x 1, y 1,h 0.1,yn 1 yn 0.1(Xn 1 y,(n 0,1,2,3,| )y。1,yk 1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;解:1.056100;1.090490;1.131441.3、（ 15分）确定求积公式f(x)dx A0f( h) Af(O) A2f (h)中待定参数A的值（i ,1,2），使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积 公式的代数精度。计算题3.答案令f（x） x时求积公式成立，而f（x） X4时公式不成立，

20、从而精度为34、（ 15分）已知一组试验数据如下 ： 求它的拟合曲线（直线）5、计算题4.答案解：设y a bx 则可得 15a 55b 105.5于是a2.45, b 1.25，即 y 2.45 1.25x。5a 15b 31（15分）用二分法求方程f（x）x3x 1在区间1,1.5内的根时，若要求精确到小数点后二位，（1）需要二分几次；（2）给出满足要求的近似根 计算题5.答案解：6 次；x 1.322x13x24X36,3x15x22X35,6、（ 15分）用列主元消去法解线性方程组 4x13x230x332计算题6.答案234643303243303235253525352543303

21、223462346433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/114 3 30 320 11 82 38解：00124x 3x2 30x3 32, x1 13,11x2 82 x3 38, x2 8,即 X3 2. X3 2.x.f (x, y(x)dx用Simpson求积公式得（1） 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；（2） 写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解 的公式，并求解y1,y2，保留两位小数。计算题4.答案4 （1） Yn 1 Yn 0.1（3xn 2yn） 0.3xn 1.2yn5.（15分）取节点& 0,x1 0.5, X2 1 2，求函数y e x在区间0,1上的二次插 值多项式B（x），并估计误差。