第一章函数的极限与函数的连续性.docx
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第一章函数的极限与函数的连续性
第一章函数的极限与函数的连续性
一、学习目的与要求
1、了解函数极限的£—S定义，会用它证明一些简单函数的极限。
2、了解无穷小，无穷大的概念。
掌握无穷小的比较。
3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。
4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。
5、了解在闭区间上连续函数的性质。
二、学习重点
函数极限的概念及计算
三、内容提要
1、数列极限与函数极限
（I）概念综述
类型
定义式
说明
趋于疋值
a
limf（x）=a
^3X0^
Vs>0
35>0,当x亡（Xo,X。
+务）时
|f（x）-a©
a,X0为有
限值，
U（x°e）
为
（X。
-6,x°）与
（x°,x°代）
之并
limf（x）=a
^Xo-
36>0,当x€（Xo-6,X。
）时
limf（x）=a
^Xo
36>0,当xEU（xoP）时
趋于无穷大
limxn=an—JpC
V£>0
EN>0,当n>N时
1f（x）-a©
将“换
作“+比”—u.a?
?
或-旳
时，则得到正无穷大，负无穷大的定义。
limf（x）=a
x^-bc
EX>0,当x>X时
limf（x）=a
EX>0,当x£—X时
limf（x）=a
2X>0,当|x|>X时
（II）极限的主要性质
设u,v表示数列变量Xn或函数变量，在同一个极限过程中limu二A,limv=B,该极限过程可
以是数列极限或函数极限中的任一种,A、B、a、［是常数，则极限有以下性质。
运算性质
线性规则：
lim（au+Pv）=alimu千卩iimv乘积规则：
limuv=limulimv
商规则：
lim_=limu/limv（lim0）
v
比较性质
（1）若u>v，贝Ulimu>limv
（2）若limu>limv,则在某个范围X上有u>v
有界性质
（1）若{Xn}收敛，则{Xn}有界
（2）若limu（x）=A，则u（x）在某个范围X上有界。
存在性质
（1）单调有界准则：
单调有界数列必是收敛数列。
（2）夹逼准则：
若uv,且u、v趋于A，则⑷亦趋于A（三个
变量u、v、国极限过程相同）。
v是函数变量，
x>Xo时,X二U（Xo,、J，其余类推。
注X的形式与极限过程相关，当U、v是数列时，X={n|n>N},N是某个自然数;
X
nX
叫
HX
X
Hx
1
lxmoxsin;=0,
lim凶不存在。
x10x
1
limex不存在,
x0
（IV）极限之间的联系
（1）limf（x）=A：
=limf（x）=A=limf（x）
ixo十xTxo—
（2）limf（x）=Alimf（x）limf（x）二A.
X-X）-.X
（3）limf（x）=—对任意趋于Xo的数列Xn，有”m_f（Xn）二A
2•无穷小量与无穷大量
（I）概念
无穷小量在指定极限过程中以零为极限的变量
无穷大量在指定极限过程中趋于无穷大的变量
u=o（v）表示u是较v高阶的无穷小量，即limu/v=O
u=O（v）表示u与v是同阶的无穷小量，即limu/v=a,a是非零常数。
u〜V表示u与v是等价无穷小量，即limu/v=1
无穷小的主部设a,r为常数，a^O,r.0,若u（x）二axr•o（xr）（x「.0），则说axr是u（x）的
主部，x称作基本无穷小，r称作u关于x的阶数。
（II）运算性质
设u、v是无穷小量，B为有界变量，⑷为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算，
1
有
（1）u二v,uB,uv,均是无穷小量。
1
（2）u…，，B…，,一（u=0）均是无穷大量。
u
（III）等价无穷小替换原理
设u〜v，则limu=limv，,lim—=lim—。
uv
（IV）常用等价替换公式
在寻求无穷小量u的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果（其中u、v可以是函
（1十n
数变量如sinlnx（x—•1）,e"（x—•「-'），也可以是数列，如xn-.n•1-•、n,xn=ln等
n
等）；
积与商若u〜V,则u•'〜v■/■/u〜/v
[u,若二o（u）
和u卜纣〜u.
:
右——l式一1,u〜u,们〜时L»*
常用公式设u》0,则
sinu〜tanu〜arcsinu〜arctanu〜ln（1u）〜eu「1〜u
11
1-cosu〜u2,（1u）a-1〜au（a是常数）,au-1〜ulna（a0）,u—sinu—u3
26
3•函数的连续性
（I）概念
f（x）在一点x0连续函数f（x）在x0的某个领域（X0-、：
x0■、：
）上有定义，
且limf（x）=f（x0）。
x）X）
f（x）在一点Xo左（右）连续函数f（x）在Xo的某个左（右）邻域
（Xo-、.,Xo）（（X0,X0、.））上有定义，且limf（x）=f（xo）（limf（x）=f（xo））.
f（x）在（a,b）连续函数f（X）在（a,b）内的每个点连续。
f（x）在［a,b］上连续函数f（x）在（a,b）连续，且在左端点a右连续，右端点b左连续。
间断点当limf（x）二f（x0）不成立时，称f（x）于x=x°处间断，间断点Xo可分为以下
x%
几种类型:
名称
特征
第一类
可去间断点
f（x（D与f（Xo4）
均存在
f（x（n=f（x^）但与f（xo）不等
跳跃间断点
f（x»f（xj）
第二类
f（xo-）与f（Xo）至少有一个不存在
（II）主要性质
（1）若f（x）,g（x）均在点Xo连续，则f（x）_g（x）,f（x）g（x）,f（x）/g（x）,（g（x°）=0）也在点xo连续；若f（「（t））有定义,:
（t）在t=to连续,f（x）在Xo二（to）连续，则f（「（t））在t=to连续。
（2）局部保号性若f（x）在xo连续,f（xo）a则在xo的某邻域U（xor）上f（x）a
（3）若y=f（x）的反函数为x=f'（y），且f（x）在Xo连续，则f'（y）在y°=f（x°）连
续。
（4）基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。
（III）闭区间上连续函数的性质
设函数f（x）在闭区间［a,b］上连续，则有
（1）f（x）在［a,b］上有界并取得最大值与最小值（最值定理）。
（2）若f（a）f（b）<0,则存在-（a,b）使f（）=0（零点存在定理）。
（3）若实数A在f（a）,f（b）之间，则存在：
（a,b）使f「）=A（介值定值）
（4）f（x）在［a,b］上一致连续，即任给；.0,存在—0,当x,y［a,b］满足|x—y|「
时便有|f（x）-f（y）|：
：
：
；。
四、思考题
1、在函数极限limf（x）二A的定义中，回答下列问题：
JX0
（1）为什么£要任意给定？
（2）对于给定的£，对应的3是否唯一？
若不唯一，是否要找其中最小的？
（3）定义中两个不等式0<丨x-xo|<3,|f（X）-AI<£各表示什么意思，它们之间有什么
联系？
2、若极限limf（x）存在，问:
X—3x0
（1）f（x）在x=x0处是否一定有定义？
（2）f（x）在X=X0附近是否有界？
3、若limf（x）存在，limg（x）不存在，问:
X—^0X—5X0
（1）lim[f（x）-g（x）]是否一定不存在？
（2）lim[f（x）g（x）]是否一定不存在?
^^^0^™^X0
4、下列说法是否正确，为什么？
（1）若函数f（X）在点X0有极限，则f（X）在点X0连续;
（2）函数在定义域内必处处连续;
（3）函数在一点处左右极限都存在而且相等，则此点一定是函数的可去间断点;
（4）若函数f（x）在（a,b）连续，则在（a,b）内函数f（x）存在着最大值和最小值。
5、设f（x）和g（x）在X0点处连续，问f（x）g（x）和f（x）g（x）在X0点是否连续?
五、典型例题分析
仮-11
1
x-1|
x—12
一2（1
心〜
证对于任给的£>0，存在3=2£,当0<
x—1
1<名
2
例1设f（x）=min（4x1,x-2,4一2x），求f（x）的最大值.
解这道题用作图法最简单，如图所示，在同一坐标系下，作三直线
x-1
恒成立，所以
-11
lim
xyx-12
求lim弊11
x14x-1
分析在极限运算中，运用恒等变换是个重要的手段，尤其是分子分母的极限都是零时（称
0
3型）,或都是无穷大时（称一型）,不能直接用极限运算法则，总要先作恒等变换。
本
0
题是“0”型的极限，可将原分子、分母有理化，再消去极限为零的因子。
0
3x-1
"m1tx-1
（X-1）（坂+1）（圾十1）|im（如+1）&x+1）
（x-1）（3x23x1）（3x23x1）
例4求lim（x-1x亠x2）
x—）:
:
分析这是属于“：
：
一：
：
”型的极限，不能直接用极限的四则运算法则，而往往利用通分、
…、0ad
乘共轭因式或三角恒等变形等方法，变为“0”型或“一”型，再求极限。
0旳
分析函数f（x）当xtx0时极限存在的充要条件是左极限和右极限各自存在且相等,
limf（x）=limf（x）
Xr0…x>0■
这一结论是求极限以及证明极限不存在的有力工具，特别是求分段函数在分段点处的极限时用得较多。
lim.f（x）=lim（ax）=a
因为limf（x）二limex-1,
^0~^0—
所以当a=.时，叫心胡
tanx—sinx
sin3x
lim竺=1。
x0x
在以上解题过程中，运用了等价无穷小替代以求极限，应熟记以下公式:
x2
当xt0时，sinx~x~tanx~arcsinx~ln（1+x）~ex-il-cosx~,（1x）"「「1〜、£X
，2
另外必须注意的是，应该用分子或分母的整体或部分因子的等价无穷小进行代替。
例8求lim（匚丄）2x
XrX7
1
分析极限过程是XT：
：
属“1”型，因而容易想到应用重要极限lim
（1）x=e。
十x
解lim（.（乙匚1）（乙—3）_x）=lim（x一1）（、x3）-x
x宀^=.（x-1）（x3）x
例10求limx（—arctanx）
xtn2
分析当XT-：
：
时，arctanxi，所以极限属“：
：
0”型，一时不知如何下手。
如果利用
2
变量代换为三角函数的极限，也许有可能求得极限。
解令actanx=y，贝Ux=tany。
当xt—：
：
时，-o
2
=1•（-1）=-1
例11求下列函数的间断点，并指出间断点的类型:
分析如何求一个函数的间断点？
如果所考虑的函数是初等函数，则其无定义的点（在此
点的任何邻域内总有异于它而属于函数定义域的点）就是间断点；如果是分段函数，贝U分段点可能为间断点。
如何判断间断点的类型？
对于分段函数的分段点，常用左、右极限去判断；如果间断点是使函数表达式中分式的分母为零的点，则要注意该点是否也使分子为零，如果是这样，该点很可能是可去间断点。
解
（1）在x=0处，f（x）无定义，在x=0的任何邻域内均有异于0而属于f（x）的定义域的
点，所以x=0是f（x）的间断点。
（2）这是一个分段函数，x=0是分段点。
由于limf（x）=limsi
xto+心十x-42
limf（x）二limx（1x）=0
兀x
cos—
2
x_0••x_0-
所以x=0是f（x）的第一类不可去间断点，即跳跃间断点。
的点，所以x=2是函数f（x）的间断点。
又由limsin^—不存在，所以x=2是函数f（x）T±x2_4
的第二类间断点。
cos—
2
1-x2n
例12讨论函数f（x）二limx的连续性,
若有间断点试判别其类型。
-5，…都是函数f（x）的无穷间断点。
2n
1x2n
1—x
分析由于函数f（x）是2nx在n》：
：
时的表达式，因此在求极限时，需要考虑x的取
x1,
x=d，
x>d
值情况，然后再考虑有无间断点。
X,
d_x2n
f（x）=limx=』0,
nW+x
|imf（x）=limx=1,
limf（x）=lim（_x）=
厂x,
F面判别函数的间断点。
因为
limf（x）-limf（x）,
x_1…x_1■
所以x=1是f（x）的第一类不可去间断点。
limf（x）=lim（-x）=1,limf（x）=Iimx=-1,
1…x_1…x■J■x•訂…
因为limf（x）=limf（x）,
xA—x'
所以x=-1是f（x）的第一类不可去间断点。
例13若函数f（x）在［a,b］上连续，af（X1）f（X2）f（Xn）
f（）：
n
分析因为f（x）在［a,b］上连续，所以f（X）在［X1,Xn］上连续，且在［X1,Xn］上f（X）取得最大值M和最小值m，并且m岂f（Xi）岂M,i二1,2/,n，将以上各式对应相加，运用介值定理即可得到证明。
证设f（x）在［X1,xn］上的最大值为M，最小值为m，则mWf（Xn）WM。
将这n个不等式对应相加，得
nmwf（xjf（x2）亠亠f（xn）wnM
即
...f（X1）f（X2「f（Xn）
mM
n
因为函数
f（x）在［X1,Xn］上连续，由介值定理推论得知，在［X1,Xn］上必有一点，使
f（）二f（Xi）f（X2）f（Xn）。
n
例14证明方程x=sinx+2至少有一个不超过3的正根。
分析若能找到a,b两点，使f（a）・f（b）：
：
：
0,则利用闭区间上连续函数的零点定理，可知必
有一点匚e（a,b），使f（）=0，'就是方程f（x）=0的根。
本题可取f（x）=x-sinx-2。
因要
证明至少有一个不超过3的正根，故可在区间［0，3］上考虑。
证考虑函数f（x）=x-sinx-2,因为f（x）在［0,3］上连续，且f（0）=-2<0,f（3）=3-sin3-2>0，所以
f（0）•f（3）<0,由闭区间上连续函数的零点定理知，在（0,3）内至少存在一点•，使f「）=0,即方程x=sinx+2至少有一个不超过3的正根。
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