第一章函数的极限与函数的连续性.docx

1、第一章函数的极限与函数的连续性第一章 函数的极限与函数的连续性一、学习目的与要求1、 了解函数极限的 S定义，会用它证明一些简单函数的极限。2、 了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。3、 掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。4、 加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。5、了解在闭区间上连续函数的性质。二、学习重点函数极限的概念及计算三、内容提要1、数列极限与函数极限（I）概念综述类型定义式说明趋 于 疋 值alim f(x) =a3X0Vs 035 0, 当 x亡(Xo, X。+ 务)时|f(x)-aa,X0为有限值，U（xe

2、）为（X。-6,x） 与（x,x 代）之并lim f(x)=aXo-36 0,当x(Xo -6, X。)时lim f(x) =aXo36 0,当 xEU(xoP)时趋于无穷大lim xn =a nJpCV 0EN 0,当nN时1 f(x)-a将“ 换作“ +比” u. a ?或-旳时，则得到 正无穷大， 负无穷大 的定义。lim f(x)=ax-bcEX 0,当x X时lim f(x)=aEX 0,当 x X时limf (x)=a2X 0,当 |x|X时（II）极限的主要性质设u,v表示数列变量Xn或函数变量，在同一个极限过程中 lim u二A,lim v = B,该极限过程可以是数列极限或函

3、数极限中的任一种 ,A、B、a、是常数，则极限有以下性质。运算性质线性规则：lim( au + Pv) =alim u 千卩iim v 乘积规则：lim uv = lim ulim v商规则：lim _ =lim u / lim v(lim 0)v比较性质(1) 若 u v，贝U lim u lim v(2) 若lim u lim v ,则在某个范围 X上有u v有界性质(1) 若 Xn收敛，则Xn有界(2) 若limu(x)=A，则u(x)在某个范围X上有界。存在性质(1) 单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。(2) 夹逼准则：若u v,且u、v趋于A，则亦趋于A (三个变量u、v、国极

4、限过程相同)。v是函数变量，x Xo时,X 二U(Xo,、J，其余类推。注 X的形式与极限过程相关，当 U、v是数列时，X =n|n N , N是某个自然数;Xn X叫H XXHx1lxmoxsin;=0,lim凶不存在。x 10 x1lim ex不存在,x 0(IV )极限之间的联系(1) lim f(x)=A：= lim f(x)=A = lim f(x)ixo 十 xTxo(2) lim f (x) = A lim f (x) lim f(x)二 A.X - X ) - . X(3) lim f (x) = 对任意趋于 Xo 的数列 Xn，有 ”m_f(Xn)二 A2 无穷小量与无穷大量

5、(I) 概念无穷小量在指定极限过程中以零为极限的变量无穷大量 在指定极限过程中趋于无穷大的变量u =o(v) 表示u是较v高阶的无穷小量，即limu/v=Ou =O(v) 表示u与v是同阶的无穷小量，即limu/v = a,a是非零常数。uV 表示u与v是等价无穷小量，即limu/v=1无穷小的主部 设a,r为常数，aO,r .0,若u(x)二axr o(xr)(x. 0)，则说axr是u(x)的主部，x称作基本无穷小，r称作u关于x的阶数。(II) 运算性质设u、v是无穷小量，B为有界变量，为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算，1有(1) u二v,uB,u v,均是无穷小量。1(2) u，

6、B，,一(u =0)均是无穷大量。u(III) 等价无穷小替换原理设 u v，则 lim u = lim v，,lim = lim 。u v(IV) 常用等价替换公式在寻求无穷小量u的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果(其中 u、v可以是函( 1 十 n数变量如 sin ln x(x 1),e(x-)，也可以是数列，如 xn - . n 1 - 、n,xn = ln 等n等)；积与商 若uV,则uv / / u/vu,若 二 o(u)和u卜纣 u .:右l式一1,uu ,们时 L *常用公式设u0 ,则sin u tanu arcsinu arctanu ln(1 u)eu1 u1 11

7、-cosuu2, (1 u)a -1 au(a是常数),au -1 uln a(a 0),u sinu u32 63函数的连续性(I)概念f (x)在一点x0连续 函数f (x)在x0的某个领域(X0 -、：,x0 、：)上有定义，且 lim f (x) = f (x0)。x )X)f (x)在一点Xo左(右)连续 函数f (x)在Xo的某个左(右)邻域(Xo-、.,Xo)(X0,X0 、.)上有定义，且 lim f(x)= f(xo)( lim f(x) = f (xo).f(x)在(a,b)连续 函数f (X)在(a,b)内的每个点连续。f (x)在a,b上连续 函数f (x)在(a,b)

8、连续，且在左端点 a右连续，右端点b左连续。间断点 当lim f(x)二f(x0)不成立时，称f(x)于x = x处间断，间断点Xo可分为以下x %几种类型:名称特 征第一类可去间断点f(x(D 与 f (Xo4)均存在f(x(n = f (x)但与 f (xo)不等跳跃间断点f (x f (xj)第二类f (xo-)与f (Xo )至少有一个不存在(II )主要性质(1 )若 f(x),g(x)均在点 Xo连续，则 f (x) _ g(x), f (x) g(x), f (x)/g(x),(g(x) = 0)也在 点xo连续；若f(t)有定义,:(t)在t=to连续,f(x)在Xo二(to)

9、连续，则f(t)在 t =to连续。(2) 局部保号性 若f (x)在xo连续,f(xo) a则在xo的某邻域U(xor )上f(x) a(3) 若 y = f (x)的反函数为 x = f (y)，且 f (x)在 Xo 连续，则 f (y)在y = f (x)连续。(4) 基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。(III )闭区间上连续函数的性质设函数f (x)在闭区间a,b上连续，则有(1) f (x)在a,b上有界并取得最大值与最小值(最值定理) 。(2) 若f(a)f(b) 0,则存在-(a,b)使f()=0 (零点存在定理)。(3)若实数A在f(a), f(b)之

10、间，则存在：(a,b)使f)= A (介值定值)(4) f (x)在a,b上一致连续，即任给；.0,存在0,当x,y a,b满足|x y|时便有 | f (x) - f(y)|：；。四、思考题1、 在函数极限lim f(x)二A的定义中，回答下列问题 ：JX0(1 )为什么要任意给定？(2) 对于给定的，对应的3是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？(3) 定义中两个不等式 0丨x-xo | 3 , | f(X)- A I 0，存在3 =2 ,当0x 1 1 0 这一结论是求极限以及证明极限不存在的有力工具，特别是求分段函数在分段点处的极 限时用得较多。lim . f (x) = lim (

11、a x) = a因为 lim f (x)二 lim ex -1 ,0 0 所以当a=.时，叫心胡tan x si n xsin3 xlim 竺=1。x 0 x在以上解题过程中，运用了等价无穷小替代以求极限，应熟记以下公式:x2当 xt0 时，sinxxtanxarcsinxln(1+x)ex-i l-cosx , (1 x)1 、X， 2另外必须注意的是，应该用分子或分母的整体或部分因子的等价无穷小进行代替。例8求lim (匚丄)2xXr X 71分析 极限过程是XT：,属“ 1 ”型，因而容易想到应用重要极限 lim(1 )x =e。十 x解 lim (.(乙匚1)(乙3) _ x) = l

12、im ( x 一1)(、x 3) - xx 宀 = .( x-1)( x 3) x例 10 求 lim x( arctanx)xtn 2分析 当XT-：时，arctanxi ，所以极限属“：0 ”型，一时不知如何下手。如果利用2变量代换为三角函数的极限，也许有可能求得极限。解 令 actanx=y，贝U x=tany。当 xt：时，- o2=1 (-1) = -1例11求下列函数的间断点，并指出间断点的类型:分析 如何求一个函数的间断点？如果所考虑的函数是初等函数，则其无定义的点(在此点的任何邻域内总有异于它而属于函数定义域的点)就是间断点；如果是分段函数，贝U 分段点可能为间断点。如何判断间

13、断点的类型？对于分段函数的分段点，常用左、右极 限去判断；如果间断点是使函数表达式中分式的分母为零的点，则要注意该点是否也使 分子为零，如果是这样，该点很可能是可去间断点。解(1 )在x =0处，f (x)无定义，在x =0的任何邻域内均有异于 0而属于f (x)的定义域的点，所以x=0是f(x)的间断点。(2)这是一个分段函数，x=0是分段点。由于 lim f(x) = lim s ixto+ 心十 x -4 2lim f(x)二 lim x(1 x) =0兀xcos2x_0 x_0 -所以x=0是f (x)的第一类不可去间断点，即跳跃间断点。的点，所以x=2是函数f (x)的间断点。又由l

14、im sin 不存在，所以x=2是函数f (x) T x2_4的第二类间断点。cos21-x2n例12讨论函数f (x)二lim x的连续性,若有间断点试判别其类型。-5，都是函数f (x)的无穷间断点。2n1 x2n1 x分析 由于函数f (x)是 2nx在n：时的表达式，因此在求极限时，需要考虑 x的取x 1,x =d，xd值情况，然后再考虑有无间断点。X,d _x2nf (x) = lim x =0,nW + x|im f (x) = lim x =1,lim f (x) = lim (_x)=厂x,F面判别函数的间断点。因为lim f (x) - lim f (x),x_1 x_1 所

15、以x=1是f (x)的第一类不可去间断点。lim f (x) = lim (-x) = 1, l i m f (x) = I i mx = -1,1 x_1 x J x 訂因为 lim f (x) = lim f (x),x A x 所以x= -1是f (x)的第一类不可去间断点。例13 若函数f (x)在a,b上连续，aX1x2.xnb,则在X1,xn上必有一点E，使得f(X1) f(X2) f(Xn)f ()：n分析 因为f (x)在a,b上连续，所以f (X)在X1,Xn上连续，且在X1,Xn上f (X)取得最大值M 和最小值m，并且m岂f (Xi)岂M , i二1,2/ , n，将以上

16、各式对应相加，运用介值定 理即可得到证明。证 设f (x)在X1,xn上的最大值为 M，最小值为m，则m f(xj M, m f (X2) M ,W f (Xn) W M。将这n个不等式对应相加，得nm w f(xj f(x2)亠 亠 f(xn) w nM即.f (X1) f(X2 f(Xn)m Mn因为函数f (x)在X1,Xn上连续，由介值定理推论得知，在 X1,Xn上必有一点 ，使f()二 f(Xi) f(X2) f(Xn)。n例14 证明方程 x=sinx+2至少有一个不超过 3的正根。分析 若能找到a,b两点，使f(a) f(b) ： 0,则利用闭区间上连续函数的零点定理， 可知必有一点匚e (a,b)，使f( )=0，就是方程f(x) =0的根。本题可取f (x) =x-sinx-2。因要证明至少有一个不超过 3的正根，故可在区间0，3上考虑。证 考虑函数 f (x) =x-sinx-2,因为 f (x)在0,3上连续，且 f(0)= -20，所以f(0) f(3)0 ,由闭区间上连续函数的零点定理知 ，在(0,3)内至少存在一点，使f)=0, 即方程x=sinx+2至少有一个不超过 3的正根。