广东省肇庆市高二上学期期末考试数学理试题.docx
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广东省肇庆市高二上学期期末考试数学理试题
试卷类型：
A
广东省肇庆市2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题
本试卷共4页，20小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
参考公式：
球的体积公式：
，球的表面积公式：
，其中R为球的半径
锥体的体积公式：
，其中为底面积，是高.
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
2．双曲线的离心率
A．B．C．D．
3.某四棱锥的三视图，如图1所示（单位：
cm），
则该四棱锥的体积是
A．B．C．D．
4．设命题p：
直线的倾斜角为135；命题q：
直角坐标平面内的三点A（-1，-3），B（1，1），C（2，2）共线.则下列判断正确的是
A．为假 B．为真 C．为真 D．为真
5．点P在圆：
上，点Q在圆：
上，则的最大值是
A．8B．5C．3D．2
6．已知直线与平面，则下列四个命题中假命题是
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
7．已知双曲线与抛物线有公共的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的标准方程为
A．B．C．D．
8．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为
A．B．C．D．
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，满分30分.
9．抛物线的焦点到它的准线的距离等于▲.
10．若，，三点共线，
则=▲.
11．过点且与有相同焦点的
椭圆的方程是▲.
12．过点且与圆相切的
切线方程是▲.
13．一个空间几何体的三视图如图2所示，则该
几何体的体积等于▲.
14．如图，四边形ABED内接于⊙O，AB∥DE，
AC切⊙O于A，交ED延长线于C.若，
，则▲.
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是
.
（1）证明：
A，B，C三点不共线；
（2）求过A，B的中点且与直线平行的直线方程；
（3）设过C且与AB所在的直线垂直的直线为，求与两坐标轴围成的三角形的面积.
16．（本小题满分13分）
如图4，在正四面体中，分别是棱的中点.
（1）求证：
四边形是平行四边形；
（2）求证：
平面；
（3）求证：
平面.
17．（本小题满分13分）
如图5，已知点是圆心为半径为1的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，是直径，，平面，点是的中点.
（1）求二面角的余弦值.
（2）求点到平面的距离.
18．（本小题满分14分）
已知动点M到点的距离等于M到点的距离的倍.
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若直线与轨迹C没有交点，求的取值范围；
（3）已知圆
与轨迹C相交于两点，求.
19．（本小题满分14分）
如图6，边长为4的正方形中，点分别是上的点，将折起，使两点重合于.
（1）求证：
；
（2）当时，
求四棱锥的体积.
20．（本小题满分14分）
设椭圆
的离心率为，其左焦点与抛物线的焦点相同.
（1）求此椭圆的方程；
（2）若过此椭圆的右焦点的直线与曲线只有一个交点，则
①求直线的方程；
②椭圆上是否存在点，使得，若存在，请说明一共有几个点；若不存在，请说明理由.
2014—2015学年第一学期统一检测题
高二数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
A
C
A
B
二、填空题
9．10．011．
12．和（答对一个给3分）13．38414．2
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15．（本小题满分12分）
解：
（1）∵，（1分）
，（2分）
∴，（3分）
∴三点不共线.（4分）
（2）∵的中点坐标为，（5分）
直线的斜率，（6分）
所以满足条件的直线方程为，即为所求.（8分）
（3）∵，∴与AB所在直线垂直的直线的斜率为，（9分）
所以满足条件的直线的方程为，即.（10分）
因为直线在轴上的截距分别为4和，（11分）
所以与两坐标轴围成的三角形的面积为.（12分）
16．（本小题满分13分）
证明：
（1）∵分别是棱的中点，
∴，且
，（2分）
∴且，（3分）
∴四边形是平行四边形.（4分）
（2）由
（1）知，，（5分）
且平面，平面，（7分）
∴平面.（8分）
（3）∵是正四面体，
所以它的四个面是全等的等边三角形.（9分）
∵H是BC的中点，
∴.（11分）
又SH平面SAH，AH平面SAH，且，（12分）
∴平面.（13分）
17．（本小题满分13分）
解：
（1）∵是圆心为半径为1的半圆弧上
从点数起的第一个三等分点，∴∠AOC=60，
∴是等边三角形，∴.（1分）
∵C是圆周上的点，AB是直径，∴，∴
（2分）
又平面，∴两两垂直.以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，（3分）
于是，，，.（4分）
设为平面的法向量，为平面的法向量，
，
，取得.（5分）
，
，
取得.（6分）
，（7分）
因此，二面角的余弦值是.（8分）
（2）方法一：
由
（1）知
（9分）
设为平面的法向量，则
，即
，取得.（10分）
设向量和所成的角为，则
（12分）
设点到平面的距离为，则
.（13分）
方法二：
由
（1）知，
因为直线平面，所以，，，
于是，
，
.
因为，点是的中点，所以.（9分）
因此，
，（10分）
从而，
，（11分）
.（12分）
因为，，设点到平面的距离为，则有
，即，于是，.（13分）
18．（本小题满分14分）
解：
（1）设，则
，（2分）
整理得，即动点M的轨迹C的方程为.（4分）
（2）由，消去并化简得
（6分）
因为直线与轨迹C没有交点，所以
（8分）
即，解得.（9分）
（3）圆
的圆心坐标为，半径（10分）
由
得这就是AB所在的直线方程，（11分）
又圆心到直线AB的距离
，（13分）
所以
.（14分）
或：
AB所在的直线方程与的交点坐标为，（13分）
所以
（14分）
19．（本小题满分14分）
证明：
（1）折起前，
折起后，.（2分）
∵，∴平面，（4分）
∵平面，∴.（6分）
（2）当时，由
（1）可得平面.（7分）
此时，，
.（8分）
的高为
（9分）
∴
（10分）
∴
（11分）
∵
（12分）
设点P到平面的距离为，则
∵，∴解得（13分）
∴四棱锥的体积
（14分）
20．（本小题满分14分）
解：
（1）抛物线的焦点为，
所以.（1分）
由，得，（2分）
所以（3分）
因此，所求椭圆的方程为（*）（4分）
（2）①椭圆的右焦点为，过点与轴平行的直线显然与曲线没有交点.设直线的斜率为.（5分）
当时，则直线过点且与曲线只有一个交点，此时直线的方程为；（6分）
当时，因直线过点，故可设其方程为，将其代入消去，得
.
因为直线与曲线只有一个交点，所以判别式
，于是，即直线的方程为或.（7分）
因此，所求的直线的方程为或或.（8分）
②由①可求出点的坐标是或或.
当点的坐标为时，则.于是=，从而，代入（*）式联立：
或
，求得，此时满足条件的点有4个
.（10分）
当点的坐标为，则，点到直线：
的距离是，于是有
，
从而，与（*）式联立：
或
解之，可求出满足条件的点有4个
，
，，.（12分）
当点的坐标为，则，点到直线的距离是，于是有
，
从而，与（*）式联立：
或
，
解之，可求出满足条件的点有4个
，
,.（14分）
综合①②③，以上12个点各不相同且均在该椭圆上，因此，满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.
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