抛物线与圆综合题.docx

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抛物线与圆综合题

抛物线与圆综合题

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求阴影部分的面积；

（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ=k，△CPQ的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值．

解：

（1）由抛物线经过A（﹣1，0），B（4，0），

设抛物线的解析式为：

y=a（x+1）（x﹣4），

将C（0，﹣4）代入上式中，得﹣4a=﹣4，a=1．

∴y=（x+1）（x﹣4）=x2﹣3x﹣4．

（2）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）．

∴OB=OC=4，OA=1

∴∠OBC=45°，∴∠AMC=90°

∴AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17

∴AM2=CM2=

，

∴S阴影=

=

π．

（3）∠OBC=45°，PQ⊥x轴；

∴BP=PQ=k，

∴S=

k•（4﹣k）=﹣

k2+2k．

∴当k=2时，Smax=2．

7．已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；

（2）如图

（1），连接AB，在题

（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图

（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，

∴

，

解得：

，

∴y=

x2﹣

x+3；

∴点C的坐标为：

（0，3）；

（2）假设存在，分两种情况：

①当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠PAB=90°，

如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，设D为y轴上的点，

∵A（3，0），B（4，1），

∴AM=BM=1，

∴∠BAM=45°，

∴∠DAO=45°，

∴AO=DO，

∵A点坐标为（3，0），

∴D点的坐标为：

（0，3），

∴直线AD解析式为：

y=kx+b，将A，D分别代入得：

∴0=3k+b，b=3，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+3，

∴y=

x2﹣

x+3=﹣x+3，

∴x2﹣3x=0，

解得：

x=0或3，

∴y=3，y=0（不合题意舍去），

∴P点坐标为（0，3），

∴点P、C、D重合，

②当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且∠PBA=90°，

如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，

由

（1）得，FB=4，∠FBA=45°，

∴∠DBF=45°，

∴DF=4，

∴D点坐标为：

（0，5），B点坐标为：

（4，1），

∴直线BD解析式为：

y=kx+b，将B，D分别代入得：

∴1=4k+b，b=5，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+5，

∴y=

x2﹣

x+3=﹣x+5，

∴x2﹣3x﹣4=0，

解得：

x1=﹣1，x2=4（舍），

∴y=6，

∴P点坐标为（﹣1，6），

∴点P的坐标为：

（﹣1，6），（0，3）；

（3）如图3：

作EM⊥AO于M，

∵直线AC的解析式为：

y=x﹣3，

∴tan∠OAC=1，

∴∠OAC=45°，

∴∠OAC=∠OAF=45°，

∴AC⊥AF，

∵S△FEO=

OE×OF，

OE最小时S△FEO最小，

∵OE⊥AC时OE最小，

∵AC⊥AF

∴OE∥AF

∴∠EOM=45°，

∴MO=EM，

∵E在直线CA上，

∴E点坐标为（x，﹣x+3），

∴x=﹣x+3，

解得：

x=

，

∴E点坐标为（

，

）．