人教版数学七年级上册一元一次方程的应用题型归纳.docx
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人教版数学七年级上册一元一次方程的应用题型归纳
实际问题与一元一次方程
列方程解应用题,是初中数学的重要内容之一。
许多实际问题都归结为解一种方程或方程组,所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面;同时通过列方程解应用题,可以培养我们分析问题,解决问题的能力。
因此我们要努力学好这部分知识。
一.列一元一次方程解应用题的一般步骤
(1)审题:
认真审题,理解题意,弄清题目中的数量关系,找出其中的等量关系.
(2)找出等量关系:
找出能够表示本题含义的相等关系.
(3)设出未知数,列出方程:
设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程.
(4)解方程:
解所列的方程,求出未知数的值.
(5)检验,写答案:
检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.
二.分类知能点与题目
知能点1:
市场经济、打折销售问题
(1)商品利润=商品售价-商品成本价
(2)商品利润率=
×100%
(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量
(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量
(5)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.
例1.某商店开张,为了吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种皮鞋进价60元一双,八折出售后商家获利润率为40%,问这种皮鞋标价是多少元?
优惠价是多少元?
通过列表分析已知条件,找到等量关系式
进价
折扣率
标价
优惠价
利润率
60元
8折
X元
80%X
40%
等量关系:
商品利润率=商品利润/商品进价
解:
设标价是X元,
解之:
x=105
优惠价为
例2.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为X元
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
X元
8折
(1+40%)X元
80%(1+40%)X
15元
等量关系:
(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15
解:
设进价为X元,80%X(1+40%)—X=15,X=125
答:
进价是125元。
1.一种商品进价为50元,为赚取20%的利润,该商品的标价为________元.
60(点拨:
设标价为x元,则x-50=50×20%)
2.某商品的标价为220元,九折卖出后盈利10%,则该商品的进价为______元.
180(点拨:
设商品的进价为x元,则220×90%-x=10%x)
3.某种商品若按标价的8折出售可获利20%,若按原标价出售,则可获利().
A.25%B.40%C.50%D.1
C(点拨:
设标价为x元,进价为a元,则80%x-a=20%a,得x=
a
∴按原标价出售可获利
×100%=50%)
4.两件商品都卖84元,其中一件亏本20%,另一件赢利40%,则两件商品卖后().
A.赢利16.8元B.亏本3元C.赢利3元D.不赢不亏
C(点拨:
设进价分别为a元,b元,则a-84=20%a,得a=105
84-b=40%b,得b=60∴84×2-(a+b)=3,故赢利3元)
5.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价,又以八折优惠卖出,结果每辆仍获利50元,这种自行车每辆的进价是多少元?
若设这种自行车每辆的进价是x元,那么所列方程为()
A.45%×(1+80%)x-x=50B.80%×(1+45%)x-x=50
C.x-80%×(1+45%)x=50D.80%×(1-45%)x-x=50
6.某商品的进货价为每件x元,零售价为每件900元,为了适应市场竞争,商店按零售价的九折让利40元销售,仍可获利10%,则x为()
A、700元B、约733元C、约736元D、约856元
7.某商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保持利润率不低于5%,则至多打几折.
解:
设至多打x折,根据题意有
×100%=5%解得x=0.7=70%
答:
至多打7折出售.
8.一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”.经顾客投拆后,拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款,求每台彩电的原售价.
解:
设每台彩电的原售价为x元,根据题意,有10=2700,x=2250
答:
每台彩电的原售价为2250元.
9、某商品进价是1000元,标价为1500元,商品要求以利润率不低于5%的售价打折
出售,售货员最低可以打几折出售此商品?
知能点2:
方案选择问题
10.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元,当地一家公司收购这种蔬菜140吨,该公司的加工生产能力是:
如果对蔬菜进行精加工,每天可加工16吨,如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行,受季度等条件限制,公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种可行方案:
方案一:
将蔬菜全部进行粗加工.
方案二:
尽可能多地对蔬菜进行粗加工,没来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售.
方案三:
将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好15天完成.
你认为哪种方案获利最多?
为什么?
解:
方案一:
获利140×4500=630000(元)
方案二:
获利15×6×7500+(140-15×6)×1000=725000(元)
方案三:
设精加工x吨,则粗加工(140-x)吨.
依题意得
=15解得x=60
获利60×7500+(140-60)×4500=810000(元)
因为第三种获利最多,所以应选择方案三.
11.某市移动通讯公司开设了两种通讯业务:
“全球通”使用者先缴50元月基础费,然后每通话1分钟,再付电话费0.2元;“神州行”不缴月基础费,每通话1分钟需付话费0.4元(这里均指市内电话).若一个月内通话x分钟,两种通话方式的费用分别为y1元和y2元.
(1)写出y1,y2与x之间的函数关系式(即等式).
(2)一个月内通话多少分钟,两种通话方式的费用相同?
(3)若某人预计一个月内使用话费120元,则应选择哪一种通话方式较合算?
解:
(1)y1=0.2x+50,y2=0.4x.
(2)由y1=y2得0.2x+50=0.4x,解得x=250.
即当一个月内通话250分钟时,两种通话方式的费用相同.
(3)由0.2x+50=120,解得x=350
由0.4x+50=120,得x=300
因为350>300
故第一种通话方式比较合算.
12.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元,若每月用电量超过a千瓦时,则超过部分按基本电价的70%收费.
(1)某户八月份用电84千瓦时,共交电费30.72元,求a.
(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元,则九月份共用电多少千瓦时?
应交电费是多少元?
解:
(1)由题意,得0.4a+(84-a)×0.40×70%=30.72解得a=60
(2)设九月份共用电x千瓦时,则0.40×60+(x-60)×0.40×70%=0.36x解得x=90
所以0.36×90=32.40(元)
答:
九月份共用电90千瓦时,应交电费32.40元.
13.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机,出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元,C种每台2500元.
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案.
(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元,销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销售时获利最多,你选择哪种方案?
解:
按购A,B两种,B,C两种,A,C两种电视机这三种方案分别计算,
设购A种电视机x台,则B种电视机y台.
(1)①当选购A,B两种电视机时,B种电视机购(50-x)台,可得方程
1500x+2100(50-x)=90000即5x+7(50-x)=3002x=50x=25
50-x=25
②当选购A,C两种电视机时,C种电视机购(50-x)台,
可得方程1500x+2500(50-x)=900003x+5(50-x)=1800x=35
50-x=15
③当购B,C两种电视机时,C种电视机为(50-y)台.
可得方程2100y+2500(50-y)=90000
21y+25(50-y)=900,4y=350,不合题意
由此可选择两种方案:
一是购A,B两种电视机25台;二是购A种电视机35台,C种电视机15台.
(2)若选择
(1)中的方案①,可获利150×25+250×15=8750(元)
若选择
(1)中的方案②,可获利150×35+250×15=9000(元)
9000>8750
故为了获利最多,选择第二种方案.
14.小刚为书房买灯。
现有两种灯可供选购,其中一种是9瓦的节能灯,售价为49元/盏,另一种是40瓦的白炽灯,售价为18元/盏。
假设两种灯的照明效果一样,使用寿命都可以达到2800小时。
已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元。
(1).设照明时间是x小时,请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。
(费用=灯的售价+电费)
(2).小刚想在这两种灯中选购一盏。
1当照明时间是多少时,使用两种灯的费用一样多?
2试用特殊值判断:
照明时间在什么范围内,选用白炽灯费用低?
照明时间在什么范围内,选用节能灯费用低?
(3).小刚想在这种灯中选购两盏。
假定照明时间是3000小时,使用寿命都是2800小时。
请你设计一种费用最低的选灯照明方案,并说明理由。
答案:
0.005x+490.02x+182000
知能点3储蓄、储蓄利息问题
(1)顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。
利息的20%付利息税
(2)利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率(20%)
(3)
例3.某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年。
半年后共得本息和252.7元,求银行半年期的年利率是多少?
(不计利息税)
等量关系:
本息和=本金×(1+利率)
解:
设半年期的实际利率为X,依题意得方程250(1+X)=252.7,解得X=0.0108
所以年利率为0.0108×2=0.0216
答:
银行的年利率是21.6%
一年
2.25
三年
2.70
六年
2.88
例4.为了准备6年后小明上大学的学费20000元,他的父亲现在就参加了教育储蓄,下面有三种教育储蓄方式:
(1)直接存入一个6年期;
(2)先存入一个三年期,3年后将本息和自动转存一个三年期;
(3)先存入一个一年期的,后将本息和自动转存下一个一年期;你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少?
这种比较几种方案哪种合理的题目,我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少,再进行比较。
解:
(1)设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程X(1+6×2.88%)=20000,解得X=17053
(2)设存入两个三年期开始的本金为Y元,
Y(1+2.7%×3)(1+2.7%×3)=20000,X=17115
(3)设存入一年期本金为Z元,
Z(1+2.25%)6=20000,Z=17894
所以存入一个6年期的本金最少。
15.利息税的计算方法是:
利息税=利息×20%.某储户按一年定期存款一笔,年利率2.25%,一年后取出时,扣除了利息税90元,据此分析,这笔存款的到期利息是____元,本金是_______元,银行向储户支付的现金是________元.4502000020360
16.小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元,今年到期,扣除利息税后,共得本利和约4700元,问这种债券的年利率是多少(精确到0.01%).
解:
设这种债券的年利率是x,根据题意有
4500+4500×2×x×(1-20%)=4700,解得x=0.03
答:
这种债券的年利率为0.03.
17.为了准备小明三年后上高中的学费,他的父母准备现在拿出3000元参加教育储蓄,已知教育储蓄一年期利率为1.98%,二年期利率为2.25%,三年期利率为2.52%,请你帮小明的父母计算一下如何储蓄三年后得到的利息最多.
解:
利用公式分三种情况(一年期、二年期、三年期)进行计算,再进行比较即可获得答案.
一年期:
设利息为x元,则x=3000×1.98%×1=59.4(元)
二年期:
设利息为x元,则x=3000×2.25%×2=135(元)
三年期:
设利息为x元,则x=3000×2.52%×3=226.8(元)
∵59.4<
∴三年期储蓄利息最多.
18.(北京海淀区)白云商场购进某种商品的进价是每件8元,销售价是每件10元(销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润).现为了扩大销售量,把每件的销售价降低x%出售,但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%,则x应等于().
A.1B.1.8C.2D.10
C
19.某人按定期2年向银行储蓄1500元,假设每年利率为3%(不计复利)到期支取时,扣除利息所得税(税率为20%)此人实得利息为()
A、1272元B、36元C、72元D、1572元
20.用若干元人民币购买了一种年利率为10%的一年期债券,到期后他取出本金的一半用作购物,剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券(利率不变),到期后得本息和1320元。
问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元?
答案:
22000元
21.购买了25000元某公司1年期的债券,一年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000元,这种债券的年利率是多少?
答案:
百分之五
知能点4:
工程问题
工作量=工作效率×工作时间工作效率=工作量÷工作时间
工作时间=工作量÷工作效率完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
例5.一件工作,甲独作10天完成,乙独作8天完成,两人合作几天完成?
甲独作10天完成,说明的他的工作效率是
乙的工作效率是
等量关系是:
甲乙合作的效率×合作的时间=1
解:
设合作X天完成,依题意得方程
答:
两人合作
天完成
例6.一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
设工程总量为单位1,等量关系为:
甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
解:
设乙还需x天完成全部工程,设工作总量为单位1,由题意得,
答:
乙还需
天才能完成全部工程。
例7.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池,单独开丙管9小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?
等量关系为:
甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。
解:
设打开丙管后x小时可注满水池,
由题意得,
答:
打开丙管后
小时可注满水池。
22.一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6小时,乙独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?
解:
设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.
根据题意,得
×
+(
+
)x=1解这个方程,得x=
=2小时12分
答:
甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.
23某车间有16名工人,每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中,一部分人加工甲种零件,其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可获利24元.若此车间一共获利1440元,求这一天有几个工人加工甲种零件.
解:
设这一天有x名工人加工甲种零件,则这天加工甲种零件有5x个,乙种零件有4(16-x)个.根据题意,得16×5x+24×4(16-x)=1440解得x=6
答:
这一天有6名工人加工甲种零件.
24.一项工程甲单独做需要10天,乙需要12天,丙单独做需要15天,甲、丙先做3天后,甲因事离去,乙参与工作,问还需几天完成?
设还需
知能点5:
若干应用问题等量关系的规律
(1)和、差、倍、分问题此类题既可有示运算关系,又可表示相等关系,要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义,如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等,它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。
增长量=原有量×增长率现在量=原有量+增长量
25.某粮库装粮食,第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍,如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中,第二个仓库中的粮食是第一个中的
问每个仓库各有多少粮食?
设第二个仓库存粮
(2)等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式
V=底面积×高=S·h=
r2h
②长方体的体积
V=长×宽×高=abc
26.一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米,300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水,倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中,正好倒满,求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米,
≈3.14).
解:
设圆柱形水桶的高为x毫米,依题意,得
·(
)2x=300×300×80
x≈229.3
答:
圆柱形水桶的高约为229.3毫米.
27.长方体甲的长、宽、高分别为260mm,150mm,325mm,长方体乙的底面积为130×130mm2,又知甲的体积是乙的体积的2.5倍,求乙的高?
设乙的高为
知能点6:
行程问题
基本量之间的关系:
路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间
(1)相遇问题
(2)追及问题
快行距+慢行距=原距快行距-慢行距=原距
(3)航行问题
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.
例6.甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
(1)分析:
相遇问题,画图表示为:
等量关系是:
慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
解:
设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480 解这个方程,230x=390
答:
快车开出
小时两车相遇
分析:
相背而行,画图表示为:
等量关系是:
两车所走的路程和+480公里=600公里。
解:
设x小时后两车相距600公里,
由题意得,(140+90)x+480=600解这个方程,230x=120 ∴x=
答:
小时后两车相距600公里。
(3)分析:
等量关系为:
快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。
解:
设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=600 50x=120 ∴x=2.4
答:
2.4小时后两车相距600公里。
分析:
追及问题,画图表示为:
等量关系为:
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解:
设x小时后快车追上慢车。
由题意得,140x=90x+480 解这个方程,50x=480 ∴x=9.6
答:
9.6小时后快车追上慢车。
分析:
追及问题,等量关系为:
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解:
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得,140x=90(x+1)+480 50x=570 ∴x=11.4
答:
快车开出11.4小时后追上慢车。
例7.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,甲带着一只狗,当甲追乙时,狗先追上乙,再返回遇上甲,再返回追上乙,依次反复,直至甲追上乙为止,已知狗的速度为15千米/小时,求此过程中,狗跑的总路程是多少?
分析分析hslx3y3h由已知条件给出了百位和个位上的数的关系,若设十位上的数为x,则百位上的数为X+7,个位上的数是3X,等量关系为三个数位上的数字和为17。
解:
设这个三位数十位上的数为X,则百位上的数为X+7,个位上的数是3X
X+X+7+3X=17解得X=2
X+7=9,3X=6答:
这个三位数是926
例2.一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数
等量关系:
原两位数+36=对调后新两位数
解:
设十位上的数字X,则个位上的数是2X,
10×2X+X=(10X+2X)+36解得X=4,2X=8,答:
原来的两位数是48。
33.一个两位数,十位数与个位上的数字之和为11,如果把十位上的数字与个位上的数字对调,那么得到的数比原来的数大63,求原来的两位数?
设个位数字为
注意:
虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究,但实际生活中的问题是千变万化的,远不止这几类问题。
因此我们要想学好列方程解应用题,就要学会观察事物,关心日常生产生活中的各种问题,如市场经济问题等等,要会具体情况具体分析,灵活运用所学知识,认真审题,适当设元,寻找等量关系,从而列出方程,解出方程,使问题得解。