数学平行四边形的专项培优练习题及解析.docx

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数学平行四边形的专项培优练习题及解析

数学平行四边形的专项培优练习题（及解析

一、选择题

1．如图，在边长为5的正方形ABCD中，以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形的个数为（）

A．3B．4C．5D．6

2．在边长为2的正方形中，为上的一动点，为中点，交延长线于，过作交的延长线于，则下列结论：

①；②；③当为中点时，；④若为的中点，当从移动到时，线段扫过的面积为，其中正确的是（）

A．①②B．①②④C．②③④D．①②③

3．如图，已知正方形的边长为8，点，分别在边、上，．当时，的面积是（）．

A．8B．16C．24D．32

4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（　　）

A．4B．2C．2D．8

5．如图，锐角△ABC中，AD是高，E,F分别是AB,AC中点,EF交AD于G,已知GF=1,AC=6,△DEG的周长为10，则△ABC的周长为（   ）

A．27-3B．28-3C．28-4D．29-5

6．如图，在中，，是的中线，与相交于点，点分别是的中点，连接，若要使得四边形是正方形，则需要满足条件（）

A．B．

C．且D．且

7．如图，在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在上，连接，，交于点，连接，若平分，则下列结论：

①；

②；

③；

④，其中正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图，在正方形中，，是对角线上的动点，以为边作正方形，是的中点，连接，则的最小值为（）

A．B．C．2D．

9．矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的点处，折痕为AE．延长交AB的延长线于点M，折痕AE上有点P，下列结论中：

①；②；③AE＝；④；⑤若，则．正确的有（  ）个

A．2B．3C．4D．5

10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F，已知AB=3，AD=4，随着点P的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是（）

A．先增大，后减小B．先减小，后增大C．始终等于2.4D．始终等于3

二、填空题

11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是_____．

12．如图，是边长为的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则______．

13．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：

①可以得到无数个平行四边形EGFH；

②可以得到无数个矩形EGFH；

③可以得到无数个菱形EGFH；

④至少得到一个正方形EGFH．

所有正确结论的序号是__．

14．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．

15．如图,长方形纸片ABCD中,AB＝6cm,BC＝8cm点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠,得到△AEB′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE的长为___________cm.

16．如图，中，,将绕点逆时针旋转，得到过作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点．下列结论：

①平分；②；③；④；⑤是的中点，其中正确的是___________

17．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，在同一平面内将△ABC沿AC翻折，得到△AB’C，若四边形ABCD的面积为24cm2，则翻折后重叠部分（即S△ACE）的面积为________cm2．

18．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于P，E为BC上一点，AE交BD于F，若AB=AE，，则下列结论：

①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF．正确的是______（填序号）．

19．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．

20．如图，在四边形中，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动;点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间为秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形，则的值等于_______．

三、解答题

21．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点

（1）求证：

四边形是菱形

（2）若，求菱形的面积

22．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．

（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．

23．如图，在RtABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动．同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：

AE＝DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？

请说明理由．

24．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：

如图1，四边形的对角线与相交于点，，则．

（1）请帮助小明证明这一结论；

（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：

如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正和正方形，连结、、.已知，，求的长，请你帮助小明解决这一问题．

25．综合与实践．

问题情境：

如图①，在纸片中，，，过点作，垂足为点，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．

独立思考：

（1）试探究四边形的形状．

深入探究：

（2）如图②，在

（1）中的四边形纸片中，在．上取一点，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，试探究四边形的形状；

拓展延伸：

（3）在

（2）的条件下，求出四边形的两条对角线长；

（4）若四边形为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．

26．已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点尽处，与相交于点，联结．

（1）如图1，求证：

；

（2）如图2，如果，，，求的面积；

（3）如果，，当是直角三角形时，求的长．

27．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．

（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；

（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．

①求证：

点M是CD的中点；②求x的值．

（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．

28．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．

（1）猜想：

如图

（1）线段OE与线段OF的数量关系为　　；

（2）拓展：

如图

（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，

（1）的结论还成立吗？

如果成立，请仅就图

（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．

29．如图，在等腰中，，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

请直接写出线段AF，AE的数量关系；

将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

若，，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．

30．已知，矩形中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为．

（1）如图1，连接，求证：

四边形为菱形；

（2）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止．在运动过程中，

①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，则____________．

②若点的运动路程分别为（单位:

），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，则与满足的数量关系式为____________．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：

C

【分析】

分别以3为底和以3为腰构造等腰三角形即可.注意等腰三角形的大小不同.

【详解】

①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可,此时三角形为腰为3的等腰三角形；

②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可

理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°，

∵EF⊥AC

∴△AEH与△AHF为等腰直角三角形

∴EF=EH+FH=AH+AH=3.且AE=AF=

故△AEF为底为3的等腰三角形；

③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可，此时三角形为腰为3的等腰三角形；

④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；

理由如下：

与②同理可证EF=3，且EC=FC，

在△DEC和△DFC中，

∵AC=AC,∠ACE=∠ACF，EC=FC

∴△DEC≌△DFC

∴AE=AF,

故△AEF为底为3的等腰三角形.

⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，三角形为底为3的等腰三角形．

故满足条件的所有图形如图所示：

故选C.

【点睛】

本题考查作图——应用与设计作图,等腰三角形的性质与判定,勾股定理,正方形的性质.明确等腰三角形的性质是解答本题的关键.

2．B

解析：

B

【分析】

利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识依次判断即可；

【详解】

解：

①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，

∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，

∴△AEP≌△DEQ，故①正确，

②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，

∴∠PGQ=∠EMF=90°，

∵EF⊥PQ，

∴∠PEF=90°，

∴∠PEN+∠NEF=90°，

∵∠NPE+∠NEP=90°，

∴∠NPE=∠NEF，

∵PG=EM，

∴△EFM≌△PQG，

∴EF=PQ，故②正确，

③连接QF．则QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，设CF=x，

则（2+x）2+12=32+x2，

∴x=1，故③错误，

④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B时，QC的中点H与D重合，

故EH扫过的面积为△ESD的面积=，故④正确，

则正确的是①②④