初三数学下册期中规律型数字的变化试题含答案解析.docx

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初三数学下册期中规律型数字的变化试题含答案解析

20**初三数学下册期中规律型数字的变化试题（含答案解析）

　　20**初三数学下册期中规律型数字的变化试题（含答案解析）

一．选择题（共5小题）

1．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：

23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是20**，则m的值是（）

A．46B．45C．44D．43

2．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：

（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A20**=（）

A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）

3．观察下列各数：

1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）

A．B．C．D．

4．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：

根据此规律确定x的值为（）

A．135B．170C．209D．252

5．一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）

A．8B．9C．13D．15

二．填空题（共19小题）

6．a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：

2的差倒数为=﹣1；﹣1的差倒数是=；已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3差倒数，…依此类推，则a20**=．

7．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是，20**是第个三角形数．

8．已知A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A52=5×4×3×2=120，A63=6×5×4×3=360，依此规律A74=．

9．观察下列等式：

12=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+20**=．

10．请观察下列等式的规律：

=（1﹣），=（﹣），

则+++…+=．

11．下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为．

12．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=．

13．若1×22﹣2×32=﹣1×2×7；

（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）=﹣2×3×11；

（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+（5×62﹣6×72）=﹣3×4×15；

则（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=．

14．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是．

15．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．

4=2+2；　12=5+7；

6=3+3；　14=3+11=7+7；

8=3+5；　16=3+13=5+11；

10=3+7=5+5　18=5+13=7+11；

通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）．

16．一列数x1，x2，x3，…，其中x1=，xn=（n为不小于2的整数），则x20**=．

17．观察下列一组数：

，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是．

18．观察下列一组数：

1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是．

19．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：

①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为．

20．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=．

21．按一定规律排列的一列数：

21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是．

22．按一定规律排列的一列数依次为：

，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．

23．将连续正整数按如下规律排列：

若正整数565位于第a行，第b列，则a+b=．

24．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：

取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：

如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为．

三．解答题（共1小题）

25．阅读下列材料，并解决相关的问题．

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：

数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．

则：

（1）等比数列3，6，12，…的公比q为，第4项是．

（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：

=q，=q，=q，…=q．

所以：

a2=a1?

q，a3=a2?

q=（a1?

q）?

q=a1?

q2，a4=a3?

q=（a1?

q2）?

q=a1?

q3，…

由此可得：

an=（用a1和q的代数式表示）．

（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．

20**初三数学下册期中规律型数字的变化试题（含答案解析）参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：

23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是20**，则m的值是（）

A．46B．45C．44D．43

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数20**的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．

解答：

解：

∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，

∴m3有m个奇数，

所以，到m3的奇数的个数为：

2+3+4+…+m=，

∵2n+1=20**，n=1007，

∴奇数20**是从3开始的第1007个奇数，

∵=966，=1015，

∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，

即m=45．

故选B．

点评：

本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．

2．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：

（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A20**=（）

A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

先计算出20**是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．

解答：

解：

20**是第=1008个数，

设20**在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，

即≥1008，

解得：

n≥，

当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；

当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；

故第1008个数在第32组，

第1024个数为：

2×1024﹣1=2047，

第32组的第一个数为：

2×962﹣1=1923，

则20**是（+1）=47个数．

故A20**=（32，47）．

故选B．

点评：

此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

3．观察下列各数：

1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）

A．B．C．D．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

观察数据，发现第n个数为，再将n=6代入计算即可求解．

解答：

解：

观察该组数发现：

1，，，，…，

第n个数为，

当n=6时，==．

故选C．

点评：

本题考查了数字的变化类问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是发现第n个数为．

4．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：

根据此规律确定x的值为（）

A．135B．170C．209D．252

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值是多少即可．

解答：

解：

∵a+（a+2）=20，

∴a=9，

∵b=a+1，

∴b=a+1=9+1=10，

∴x=20b+a

=20×10+9

=200+9

=209

故选：

C．

点评：

此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．

5．一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）

A．8B．9C．13D．15

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可．

解答：

解：

∵每个数都等于它前面的两个数之和，

∴x=1+2=3，

∴y=x+5=3+5=8，

即这组数中y表示的数为8．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是求出x的值是多少．

二．填空题（共19小题）

6．a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：

2的差倒数为=﹣1；﹣1的差倒数是=；已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3差倒数，…依此类推，则a20**=　﹣　．

考点：

规律型：

数字的变化类；倒数．

专题：

规律型．

分析：

根据差倒数定义表示出各项，归纳总结即可得到结果．

解答：

解：

a1=3，a2是a1的差倒数，即a2==﹣，a3是a2的差倒数，即a3==，a4是a3差倒数，即a4=3，

…依此类推，

∵20**÷3=671…2，

∴a20**=﹣．

故答案为：

﹣．

点评：

此题考查了规律型：

数字的变化类，以及新定义，找出题中的规律是解本题的关键．

7．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是　45　，20**是第　63　个三角形数．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

根据所给的数据发现：

第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案即可．

解答：

解：

第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，

1+2+3+4+…+n=20**，

n（n+1）=4032，

解得：

n=63．

故答案为：

45，63．

点评：

此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

8．已知A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A52=5×4×3×2=120，A63=6×5×4×3=360，依此规律A74=　840　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

对于Aab（b＜a）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是a，依次少1，最小因数是b．依此计算即可．

解答：

解：

根据规律可得：

A74=7×6×5×4=840；

故答案为：

840．

点评：

本题考查了规律型﹣数字的变化，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．注意找到Aab（b＜a）中的最大因数，最小因数．

9．观察下列等式：

12=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+20**=　1016064　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，据此求出1+3+5+…+20**的值是多少即可．

解答：

解：

因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，

所以1+3+5+…+20**

=1+3+5+…+（2×1008﹣1）

=10082

=1016064

故答案为：

1016064．

点评：

此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：

1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．

10．请观察下列等式的规律：

=（1﹣），=（﹣），

则+++…+=　　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

观察算式可知=（﹣）（n为非0自然数），把算式拆分再抵消即可求解．

解答：

解：

+++…+

=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）

=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）

=（1﹣）

故答案为：

．

点评：

考查了规律型：

数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为=（﹣）（n为非0自然数）．

11．下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为　22　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

先找到数的排列规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行的第1个数，即可求出第7行的第1个数．

解答：

解：

由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n﹣1）个数．

所以第n行的第1个数n（n﹣1）+1．

所以n=7时，第7行的第1个数为22．

故答案为：

22．

点评：

此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键．

12．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=　110　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，根据此规律列式进行计算即可得解．

解答：

解：

根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，

可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，

可得：

a=10，c=9，b=91，

所以a+b+c=10+9+91=110，

故答案为：

110

点评：

本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键．

13．若1×22﹣2×32=﹣1×2×7；

（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）=﹣2×3×11；

（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+（5×62﹣6×72）=﹣3×4×15；

则（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=　﹣n（n+1）（4n+3）　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

仔细观察题目提供的三个算式，发现结果和式子序列号之间的关系，然后将这个规律表示出来即可．

解答：

解：

∵1×22﹣2×32=﹣1×2×7=﹣1×2×（4×1+3）；

（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）=﹣2×3×11=﹣2×3×（4×2+3）；

（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+（5×62﹣6×72）=﹣3×4×15═﹣3×4×（4×3+3）；

（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3），

故答案为：

﹣n（n+1）（4n+3）．

点评：

本题考查了数字的变化类问题，仔细观察提供的算式，用含有n的代数式表示出来即可．

14．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是　50　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

先找到数的排列规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数．

解答：

解：

由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n﹣1）个数．

所以第n行从左向右的第5个数n（n﹣1）+5．

所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50．

故答案为：

50．

点评：

此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键．

15．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．

4=2+2；　12=5+7；

6=3+3；　14=3+11=7+7；

8=3+5；　16=3+13=5+11；

10=3+7=5+5　18=5+13=7+11；

通过这组等式，你发现的规律是　所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和　（请用文字语言表达）．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

根据以上等式得出规律进行解答即可．

解答：

解：

此规律用文字语言表达为：

所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，

故答案为：

所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和

点评：

此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．

16．一列数x1，x2，x3，…，其中x1=，xn=（n为不小于2的整数），则x20**=　2　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用20**除以3，根据商和余数的情况确定a20**的值即可．

解答：

解：

根据题意得，a2==2，

a3==﹣1，

a4==，

依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，

∵20**÷3=671…2，

∴a20**是第671个循环组的第2个数，与a2相同，

即a20**=2．

故答案为：

2．

点评：

本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．

17．观察下列一组数：

，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是　　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

由分子1，2，3，4，5，…即可得出第10个数的分子为10；分母为3，5，7，9，11，…即可得出第10个数的分母为：

1+2×10=21，得出结论．

解答：

解：

∵分子为1，2，3，4，5，…，

∴第10个数的分子为10，

∵分母为3，5，7，9，11，…，

∴第10个数的分母为：

1+2×10=21，

∴第10个数为：

，

故答案为：

．

点评：

此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解答此题的关键．

18．观察下列一组数：

1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是　15　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

根据每个数n都连续出现n次，可列出1+2+3+4+…+x=119+1，解方程即可得出答案．

解答：

解：

因为每个数n都连续出现n次，可得：

1+2+3+4+…+x=119+1，

解得：

x=15，

所以第119个数是15．

故答案为：

15．

点评：

此题考查数字的规律，关键是根据题目首先应找出哪哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

19．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：

①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为　4　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案．

解答：

解：

∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；

∴50÷4=12余2，

∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，

∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，

甲同学需报到：

9，21，33，45这4个数时，应拍手4次．

故答案为：

4．

点评：

此题主要考查了数字规律，得出甲的报数次数以及分别报数的数据是解决问题的关键．

20．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=　1.6×105或160000　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．

解答：

解：

∵；；；…

故答案为：

1.6×105或160000．

点评：

本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键．

21．按一定规律排列的一列数：

21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是　xy=z　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

首项判断出这列数中，2的指数各项依次为1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可．

解答：

解：

∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，

∴x、y、z满足的关系式是：

xy=z．

故答案为：

xy=z．

点评：

此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．

22．按一定规律排列的一列数依次为：

，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是　　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

首先根据，=，可得当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，分母