数学建模举例.docx

数学建模举例.docx

《数学建模举例.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模举例.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学建模举例

10.1牙膏的销售量

某人型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用卞的销售量。

为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。

试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据

表1-1牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据

销售

公司销售价格

其他厂家平均

价格差

广告费用

销售量

周期

（元）

价格（元）

（元）

（百万元）

（百万支）

1

3.85

3.80

-0.05

5.5

7.38

2

3.75

4.00

0.25

6.75

8.51

3

3.70

4.30

0.60

7.25

9.52

4

3.60

3.70

0.00

5.50

7.50

5

3.60

3.85

0.25

7.00

9.33

6

3.6

3.80

0.20

6.50

8.28

7

3.6

3.75

0.15

6.75

8.75

8

3.8

3.85

0.05

5.25

7.87

9

3.8

3.65

-0.15

5.25

7.10

10

3.85

4.00

0.15

6.00

8.00

11

3.90

4.10

0.20

6.50

7.89

12

3.90

4.00

0.10

6.25

8.15

13

3.70

4.10

0.40

7.00

9.10

14

3.75

4.20

0.45

6.90

8.86

15

3.75

4.10

0.35

6.80

8.90

16

3.80

4.10

0.30

6.80

8.87

17

3.70

4.20

0.50

7.10

9.26

18

3.80

4.30

0.50

7.00

9.00

19

3.70

4.10

0.40

6.80

8.75

20

3.80

3.75

-0.05

6.50

7.95

21

3.80

3.75

-0.05

6.25

7.65

22

3.75

3.65

-0.10

6.00

7.27

23

3.70

3.90

0.20

6.50

8.00

24

3.55

3.65

0.10

7.00

8.50

25

3.60

4.10

0.50

6.80

8.75

26

3.70

4.25

0.60

6.80

9.21

27

3.75

3.65

-0.05

6.50

8.27

28

3.75

3.75

0.00

5.75

7.67

29

3.80

3.85

0.05

5.80

7.93

30

3.70

4.25

0.55

6.80

9.26

问题重述

根据过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表14。

根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据

二、问题分析

由于牙膏是生活必需品，对人多属顾客来说，在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。

因此，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。

1.画出牙膏销售量与价格差，公司投入的广告费用的散点图

2.由散点图确定两个函数模型，再由这两个函数模型解出回归模型

3.对模型进行改进，添加新的条件确定更好的回归模型系数，得到新的回归模型

4.

对模型进一步改进，确定最终的模型

牙膏销售量为y,其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为xl,公司投入的广告费用为x2,其他厂家平均价格和公司销售价格分别为x3和x4,xl=x3-x4o基于上面的分析，我们仅利用lx和2x来建立y的预测模型。

五.模型的建立和求解

1.基本模型

利用表1-1的数据用matlab作出y与xl的散点图（图1-1）,y与x2的散点图（图1-2）代码如下：

xl=[-0.050.250.600.250.20.150.05-0.150.150.20.10.40.450.350.30.50.50.4-0.05-0.05-0.10.20.10.50.6-0.0500.050.55）;

x2=[5.56.757.255.576.56.755.255.2566.56.2576.96.86.87.176.86.56.2566.576.86.86.55.755.86.8];

y=[7.388.519.527.59.338.288.757.877.187.898.159.18.868.98.879.2698.757.957.65

7.2788.58.759.218.277.677.939.26];

Al=polyfit（xlzy,l）;

yyl=polyval（Al,xl）;

A2=polyfit（x2/y,2）;

x5=5:

0.05:

7.25;

yy2=polyvaI（A2zx5）;

subplot（l/2,l）；plot（xl/y；o,,xl,yyl）;

title（'图ly对xl的散点图'）；

subplot（l/2,2）;plot（x2/y；o,/x5,yy2）;

title（'图2y对x2的散点图'）；

图（1-1）与图（1-2）

从图1可以发现，随着lx的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型：

y=0°+0內+£

（1）

拟合的（其中£是随机误差）。

而在图2中，当x2增大时，y有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型：

y=/74-+P2x^+£-

（2）

综合上面的分析，结合模型

（1）和

（2）建立如下的回归模型：

y=0。

+卩並+P2x2++g（3）

（3）式右端的xl和x2称为回归变量（自变量），0。

+0內+0人+03可是给定价格差xl，广告费用x2时，牙膏销售量y的平均值，其中的参数0。

几,02，03称为回归系数，由表1-1的数据估计，影响y的其他因素作用都包含在随机误差£中。

如果模型选择合适，£应该大致服从值为0的正态分布。

2.模型求解

在刚刚运行的代码后面，继续使用regressI具求解，代码为：

x6=[ones（30zl）xl'x2'（x2.A2）'];

[b,bint,r,rint,stats]=regress（y：

x6,0.05）

运行结果如图（1-3）

得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平a=0.05）、检验统计量用,F,p,S’得结果见表1-2

参数

参数估计值

参数置信区间

0。

17.3244

[5.7282,28.9206

A

1.3070

[0.6829,1.9311]

A

-3.6956

E-7.4989,0.1077]

A

0.3486

[0.0379,0.6594]

F二0.9054F=82.9409p<0.0001s-0.0490

表「2模型（3）计算结果

»x1=（-0.060.260.600.250.20.1$0.05-0.150.IS0.20.10.40.450.350.30.50.60.4-605-605-0.10.20.I0.S0.8-0.6500.050.5SJX2=[%56•為7.205.576・D0.755.255.35%G50.257G.90.56.87.I70.80.50.256fl.570.5乩80.55.755.881：

尸（T-38&519・527.59.338.288.T57.377.187.8$8.159.1&$6&98.8：

9.2698.757.$57.657.2T88.58.T59.21&277.6：

：

・939・26】：

Al=polyfit（xLy,I）

yyl=polyv81'Abxl>

A2=polyfit

xS=5:

0.C6:

7.26:

yy2=polyvaliA2,xB）.

subplot<1j2,1）:

plot

titleCffily?

Jx】的）-

flubpLot<1,2,2）.plot（x2,y,*o',y>*2）.

UtleCffl2y5Qx2的殓白田，）；

»x6=[4nes（30.1）xlzxZ

rim,2i2itfi]=rw^rcaB

17.3244

L.3070

-3.8268

0.3486

burt-

6.72S228.d20«

0.6829】・93】l

-7.：

9390.10T7

0.03790.«S94

图（1-3）

3.结果分析

表1-2显示，K2=0.9054指因变量y（销售量）的90.54%可由模型决定，F值远远超过F检验的临界值，P远小于a,因而模型（3）整体来看是可用的

表1-2的回归系数中％的置信区间包含零点，表示回归变量X：

（对因变量y的影响）是不太显著的，但由于X’是显著的，我们仍将X’留在模型中

4.销售量预测

将回归系数的估计值带入模型（3）,即可预测公司未来某个销售周期牙膏的销售量y,预测值记为j,得到模型（3）的预测方程：

AAAA

尸0。

+0曲+0应+03帘（4）

人

只需要知道该销售周期的价格差xl和投入的广告费用x2,就可以计算预测值y。

5.模型改进

模型（3）中回归变量xl和x2对因变量y的影响是相互独立的，即牙膏销售量y的均值与广告费用

X2的二次关系由回归系数伙和03确定，而不依赖于价格差X1,同样的，y的均值与X1的线性关系由回归系数几确定，而不依赖于x2°根据直觉和经验可以猜想，xl和x2之间的交互作用会对y有影响，不妨简单地用xl,x2的乘积代表它们的相互作用，于是将模型（3）增加一项，得到：

y=/?

o+（3^+P2x2++（34xyx2+s（5）

在这个模型中，y的均值与2X的二次关系为（02+0A）壬+03乳『，由系数确

定，并依赖于价格差XI。

在上述运行程序后继续输入代码：

x7=[ones（30,l）xl1x2*（x2.A2）*（xl.*x2）'];

[b,bint/r/rint/stats]=regress（y,/x7/0.05）;b,bint,stats

结果见图（1-4）

»k?

=[ones（30,1）xTx2*（x2•⑵'仗1・凉2）']：

[b,bint,r.rint.stats]=regressl.y‘,xT,0.05）:

b）bin*t）stats

b=

29.1133

11.1342

-7.6080

0.6712

-1.4777

图（1-4）

计算结果即为表1-3

参数

参数估计值

参数置信区间

0。

29.1133

[13.7013,44.5252]

A

11.1342

[1.9778,20.2906]

A

-7.6080

[-12.6932,-2.5228]

A

0.6712

[0.2538,1.0887]

A

-1.4777

[-2.8518,-0.1037]

RZ=0.9209F=72.7771P<0.0001=0.0426

表1-3模型（5）计算结果

表3与表2的结果相比，，有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所进步。

并且，所有参数的置信区间，特别是XI,X2的交互作用项X1X2的系数Q的置信区间不包含零点，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合实际。

在保持广告费用x2=6.5百万元不变的条件下，分别对模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值与价格差xl的关系作图，见图1-5和图1-6,代码为：

yy3=17.3244+1.307*xl+（-3.6956）*6.5+0.3486*6.5*6.5;

plot（xl,yy3）;

gridon

figure

（2）

yy4=29.1133+11.1342*xl+（-7.608*6.5）+0.6712*6.5*6.5+（-1.4777）*6.5*xl;

plot（xl,yy4）;

gridon

图1-5

图1-6

在保持价格差xl=0.2元不变的条件卞，分别对模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值&与广告费用X2

的关系作图，见图1-7和图代码如下：

figure⑶

yy5=17.3244+1.307*0.2+（-3.6956）*x2+0.3486*x2.*x2;

bb=polyfit（x2,yy5,2）;

xx5=5.25:

0.05:

7.25;

yy51=polyval（bb/xx5）;

plot（xx5,yy51）;

gridon;

figure（4）

yy6=29.1133+11.1342*0.2+（-7.608*x2）+0.6712*x2.*x2+（-1.4777）*x2*0.2;

bb=polyfit（x2,yy6,2）;

xx6=5.25:

0.05:

7.25;

yy61=polyval（bb,xx6）;

plot（xx6,yy61）;

gridon;

图1-7

图1-8

6.模型的进一步改进

完全二次多项式模型：

与lx和2x的完全二次多项式模型

y=+P2x2+P5xYx2+P4x^+P5x^+£（6）

相比，模型（5）只少xf项，我们不妨增加这一项，建立模型（10）。

这样做的好处之一是

MATLAB统计工具箱有直接的命令rstool求解，并且以交互式画面给出y的估计值;和预测空间。

代码为：

x=[xl,x2'];

rstoolfx^'/quadratic'）

结果为图1-9

图1-9

点击Export,可以得到模型（6）的回归系数估计值为

AAAAAAA

P=（队化,A）=（32.0984,14.7436,-8.6367,-2.103&1.1074Q7594）

所以回归模型为：

Y=32.0984+14.7436*xl-8.6367*x2-2.1038*xl*x2+1.1074V+0.7594X/

10.2软件开发人员的薪金

一家技术公司人事部门欲建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系，分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考。

为此，研究人员收集了46名软件开发人员的档案资料，如表2-1,其中资历一列指从事专业工作的年数，管理一列中1表示管理人员,0表示非管理人员，教育一列中1表示中学程度，2表示大学程度，3表示更高程度（研究生）

表2-1软件开发人员的薪金与资历、管理责任、教育程度的关系

编号

薪金

资历

管理

教育

01

13876

1

1

1

02

11608

1

0

3

03

18701

1

1

3

04

11283

1

0

2

05

11767

1

0

3

06

20872

2

1

2

07

11772

2

0

2

08

10535

2

0

1

09

12195

2

0

3

10

12313

3

0

2

11

14975

3

1

1

12

21371

3

1

2

13

19800

3

1

3

14

11417

4

0

1

15

20263

4

1

3

16

13231

4

0

3

17

12884

4

0

2

18

13245

5

0

2

19

13677

5

0

3

20

15965

5

1

1

21

12366

6

0

1

22

21352

6

1

3

23

13839

6

0

2

24

22884

6

1

2

25

16978

7

1

1

26

14803

8

0

2

27

17404

8

1

1

28

22184

8

1

3

29

13548

8

0

1

30

14467

10

0

1

31

15942

10

0

2

32

23174

10

1

3

33

23780

10

1

2

34

25410

11

1

2

35

14861

11

0

1

36

16882

12

0

2

37

24170

12

1

3

38

15990

13

0

1

39

26330

13

1

2

40

17949

14

0

2

41

25685

15

1

3

42

27837

16

1

2

43

18838

16

0

2

44

17483

16

0

1

45

19207

17

0

2

46

19364

20

0

1

问题重述

研究人员收集了46名软件开发人员的档案资料，以这资料建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系，分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考

二.问题分析

按照常识，薪金自然随着资历（年）的增长而增加，管理人员的薪金应高于非管理人员，教育程度越高薪金也越高

1.建立薪金与资历，管理责任，教育程度之间的多元线性回归模型

2.利用matlab的统计工具箱计算回归系数及置信区间

3.在上述模型中增加管理与教育的交互项，建立新的回归模型

4.

利用matlab的统计工具箱计算回归系数及置信区间并与上面结果比较得出结论

对于问题，在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下，薪金记作y，资历（年）记作xl,为了表示是否非管理人员，定义=管理竺，为了表示3种教育程度,定义x3=（气芝，x4=F聋,

10,其它lo,其它lo,其它

这样，中学用x3=l,x4=0来表示，人学用x3=0,x4=l表示，研究生则用x3=0,x4=0表示。

五.模型的建立与求解

1.基本模型

根据假设，薪金y与资历xl,管理贵任x2,教育程度x3,x4之间的多元线性回归方程为：

y=a0+alxl+a2x2+a3x3+a4x4+£（】）

2.模型求解

直接利用matlab统计工具箱中的命令regress求解回归系数估计值及其置信区间（置信水平a=0.05）.检验统计量R',F,p,S2,代码为：

xl=[l11112222333344445556666788881010101011111212131314151616161720

r；

x2=[l01001000011101000010101101100011100101011000O]1;

x3=[l00000010010010000011000101011000010010000010I]1;

x4=[000101100101000011000011010000101101001101101O]1;

y=[13876116081870111283117672087211772105351219512313149752137119800114172026313231128841324513677159651236621352138392288416978148031740422184135481446715942231742378025410148611688224170159902633017949256852783718838174831920719346]*;

x0=ones（46,l）;x=[xOxlx2x3x4];

[b/bint/r/rint,stats]=regress（y,x/0.05）;

x0=ones（46,l）;x=[xOxlx2x3x4];[bbintjjint/stats]=regress（y,x/0.05）;b=vpa（b,8）

bint=vpa（bint,8）

stats=vpa（stats,8）

结果如图2-1

b=

11032.734

546.12765

6882.5329

-2994.1783

147.73798

bint=

图（2・1）

即模型

（1）的计算结果是表2・2

参数

参数估计值

参数置信区间

aO

11032

[10258卫807]

al

546

[484,608]

a2

6883

[6248,7517]

a3

-2994

[-3826,-2162]

a4

148

[-636,931]

=0.957F=226p<0.0001s2=1.057*10A6

表2・2模型

（1）计算结果

3・结果分析

从表2-2知，=0.975,即因变量（薪金）的95.7%可由模型确定，F值远远超过F的检验的临界值，p远小于因而模型

（1）从整体来看是可用的。

比如，利用模型可以估计（或预测）一个大学毕业，有2年资历，费管理人员的薪金为：

yl=a0+al*xl+a2*x2+a3*x3+a4*x4+£=12272

模型中各个回归系数的含义可初步解释如下：

xl的系数为546,说明资历增加1年薪金增长546；X2的系数为6883,说明管理人员薪金多6883；x3的系数为-2994,说明中学程度薪金比更高的少2994；x4的系数为148,说明人学程度薪金比更高的多148,但是应该注意到a4置信区间包含零点，说明这个系数的