高中数学《空间几何体的表面积与体积体积》教案8苏教版必修2.docx

高中数学《空间几何体的表面积与体积体积》教案8苏教版必修2.docx

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高中数学《空间几何体的表面积与体积体积》教案8苏教版必修2

2019-2020年高中数学《空间几何体的表面积与体积-体积》教案8苏教版必修2

教学目标

（1）了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；

（2）了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；

（3）培养学生空见想象能力、理性思维能力以及观察能力．

教学重点

柱、锥、台的体积计算公式及其应用．

教学难点

运用公式解决有关体积计算问题．

教学过程

一、问题情境

1．情境：

回忆初中学过的计算长方体的体积公式．或．

2．问题：

两个底面积相等、高也相等的棱柱，它们的体积是否一样？

二、学生活动

取一摞书堆放在桌面上，组成一个长方体，然后改变一下形状，比较改变形状前后这摞书的体积．

三、建构数学

1．棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．

柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积和高的积，即．

2．类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等．棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为，高为的棱柱的体积，所以．

3．台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．如果台体的上、下底面面积分别为，高为，可以推得它的体积是．

4．柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：

．

四、数学运用

1．例题：

例1．有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8．已知底面六边形边长是12，高是10，内孔直径是．那么约有毛坯多少个？

（铁的比重是）

分析六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由此比重算出一个六角螺帽毛坯的重量即可．

解：

因为

所以一个毛坯的体积为

．

约有毛坯

（个）．

答：

这堆毛坯约有251个．

例2．在长方体用截面截下一个棱锥，求的体积与剩余部分的体积之比．

解：

将长方体看成四棱柱，

设它的底面的面积为，高为，则它的

体积为．棱锥的底面积为，

高为，因此棱锥的体积．

所以棱锥的体积与剩余部分的体积之比为．

说明：

棱柱的体积等于底面积与高的乘积，而长方体的各个面均可以作为底面，因此可以灵活“选底”．

2．练习：

（1）在中，

（如图）．

若将绕直线BC旋转一周，求形成的旋转体的体积．

（2）课本56页第1，2，3，4．

五、回顾小结：

柱体、锥体、台体体积计算公式及其之间的关系．

六、课外作业：

课本第60页第2、5、8、9、10题．

空间几何体的体积

（2）

教学目标

（1）了解球的体积及表面积计算公式的推导过程，能用球的表面积和体积公式解决

有关问题；

（2）能用柱、锥、台、球等几何体的体积计算公式解决有关组合体的体积计算公式；

（3）体会祖暅原理和积分思想．

教学重点

1．球的体积计算公式及表面积计算公式．

2．柱、锥、台、球的体积计算公式的综合应用．

教学难点

在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想．

教学过程

一、问题情境

1．情境：

练习：

正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，求此三棱锥的体积．

回忆柱体、锥体、台体体积计算公式，以及体积的推导过程．

2．问题：

在空间几何体里面还有球的表面积和体积没有研究过，能否用研究柱、锥、台的表面积和体积公式的方法来研究球的表面积和体积呢？

二、建构数学

1运用祖暅原理类似的方法我们还能证实这样一个结论：

一个地面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．由此得到

，所以．

这个结论可以通过“倒沙实验”得到．

2．设想一个球由许多顶点在球心，底面都在球面上的“准锥体”组成，这些“准锥体”的底面并不是真正的多边形，但只要这些“准锥体”的底面足够地小，就可以把它们近似地看成棱锥．

这时，这些“准锥体”的高趋向于球半径，底面积……的和趋向于球面积，所有这些“准锥体”的体积的和趋向于球的体积，因此

…，所以．

三、数学运用

1．例题：

例1．如图是一个奖杯的三视图（单位：

），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积（精确到0．01）．

解：

采用斜二测画法．先画底座，这是一个正四棱台；再画杯身，是长方体；最后画出球体．

因为

，，

，所以这个奖杯的体积为：

．

说明：

计算组合体的体积时，考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积．

例2．一个正方体内接于半径为的球内，求正方体的体积．

解：

因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，

设正方体的棱长为，则．所以，正方体的体积为

．

2．练习：

（1）课本57页第5、6题．

（2）一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是，求该球的表面积和体积．

四、回顾小结：

1．球的表面积以及体积公式；

2．运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式求一些组合体的表面积和体积．

五、课外作业：

课本第60页第6、7题．

补充：

1.棱长为的正方体内有一个球与这个正方体的12条棱都相切，求这个球的体积．

2．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为的小球？

为什么？

五、课外作业：

课本第60页第6、7题．

补充：

1.棱长为的正方体内有一个球与这个正方体的12条棱都相切，求这个球的体积．

2．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为的小球？

为什么？

2019-2020年高中数学《空间几何体的表面积与体积-体积》教案9苏教版必修2

一、课标要求：

了解柱、锥、台的体积的计算公式（不要求记忆公式）及计算方法

二、教学目标：

（1）了解柱、锥、台的体积计算公式；

（2）能应用公式求解有关柱、锥、台的体积计算问题；

（3）让学生感知柱体体积度量的基本思路：

正方体长方体柱体，即特殊到一般的数学思想；

（4）让学生通过对柱体、锥体、台体体积公式的观察、分析，感受它们之间的转换关系.体会“数”和“形”的完美结合.

（5）通过探究柱体的体积计算公式，培养学生动手实验的能力，激发学习的热情.

三、教学重点、难点：

重点；柱、锥、台的体积计算公式及应用

难点；组合体的体积计算

四、设计思路：

由熟知的正方体、长方体的体积计算公式（类比）未知的柱、锥、台的体积计算公式。

由熟知的圆锥的体积计算公式（类比）未知的柱、锥、台的体积计算公式

五、活动设计

教学进程

教师活动

学生活动

活动目标及说明

1、创设情境

问题1、平面图形的面积可以用单位正方形的面积来度量，那么一个几何体的体积是否可以用单位正方体的体积来度量呢？

如何度量？

提出问题

一个几何体的体积是单位正方体的体积的多少倍，这个几何体的体积就是多少.

如：

某长方体纸盒的长、宽、高分别是7cm，5cm，4cm,每层有个单位正方体，共有4层，因此它的体积为.

思考问题

让学生懂得可以用单位正方体来度量一个几何体体积

2、学生活动

问题2：

长方体的长、宽、高分别为，，，那么它的体积是多少？

问题3：

已知了长方体的体积公式，你是否可以以此为基础来探求其他柱体的体积公式？

3、建构数学

问题4：

底面积，高分别相等的柱体体积之间有怎样的关系？

那么如何求柱体的体积？

它们的体积是多少？

数学实验：

取一摞书放在桌上，将它们堆放成长方体，再改变一下形状——平行六面体，这时高度没有改变，每页纸的面积也没变，因而这摞书的体积与变形前的体积相等.（祖暅原理）

教师引导学生实验并总结提炼学生结论

学生实验并思考得出结论

以长方体体积公式为基础来探究柱体体积

问题5：

底面积，高分别相等的锥体体积之间有怎样的关系？

棱锥的体积公式怎样？

多媒体演示

学生观察演示结果，归纳猜想结论

培养学生善于把要解决的问题转化为熟知的问题的能力

问题6：

台体与锥体之间的联系如何？

如果台体的上、下底面积分别为，高为，那么你能推导出台体的体积公式？

问题7：

观察柱、锥、台体的体积公式，你能发现它们之间的关系吗？

（学生思考后，多媒体演示柱、锥、台体）

提示、点拨台、锥之间的关系，多媒体演示

学生思考台、锥之间的关系，观察演示结果，归纳结论

培养学生转化的思想

4、数学应用

（1）例题

例1：

有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg.已知底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm.那么约有毛坯多少个？

（铁的比重是7.8g/cm3）

老师组织学生重点分析六角螺帽毛坯的结构特征，应用公式完成解答.

学生在老师的指导下解决问题

培养学生的应用能力

例2：

一几何体按比例绘制的三视图如图所示，（单位：

m）

（1）试画出它的直观图；

（2）求它的体积

进行个别辅导

画出直观图，给出该题解答

复习巩固已学知识

（2）练习

课本56页第1、2

5、回顾反思

（1）体积度量的基本思路：

正方体长方体柱体，即特殊到一般的数学思想.长方体体积公式是计算其他几何体体积的基础.

（2）柱、锥、台体积的计算公式及它们之间的关系

6、作业

课本53页第5、6题.，60页第1、4题

六、同行点评：

该设计由学生熟悉的长方体公式出发，引导学生进行探究活动，激发了学生的数学学习的兴趣，养成独立思考、积极探索的习惯，让学生体验数学发现和创造的历程，发展了学生创新意识。

柱、锥、台、球的体积

（2）

一、课标要求：

了解球的表面积及体积的计算公式（不要求记忆公式）

二、教学目标：

（6）了解球的表面积和体积计算公式的推导过程，能用公式解决有关问题；

（7）通过推导球的表面积计算公式让学生体会“无穷”“极限”的数学思想；

（8）通过学习探求球的体积公式培养学生动手能力，体会知识之间的联系，

（9）通过探求球面积的“积分”思想，让学生不断了解数学，走进数学，增强学生的数学素养，激发学习的热情.

三、教学重点、难点：

重点；

（1）球的体积、表面积公式；

（2）柱、锥、台、球的体积公式的综合应用.

难点；在球表面积公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的数学思想.

四、设计思路：

通过实验操作和多媒体演示让学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算研究数学问题的过程。

体会推导球的表面积计算公式中的“无穷”“极限”的数学思想，让学生不断了解数学，走进数学，增强学生的数学素养，激发学习的热情.

五、活动设计

教学进程

教师活动

学生活动

活动目标及说明

2、创设情境

问题1、柱、锥、台的侧面积和体积公式，你还记得吗？

在空间还有哪一类几何体的表面积和体积我们没研究呢？

回顾、思考、讨论

揭示目标

2、学生活动

问题2、球的体积公式是什么？

你能否用推导柱体、锥体体积的思想方法推导球的体积公式？

问题3、你能否找到这样的几何模型吗？

提出问题，引导、点拨

回顾、思考、交流

3、建构数学

倒沙实验：

将一个底面半径和高都为R的圆锥放入一个底面半径和高都为R的圆柱内，使圆锥的底和圆柱的底重合，并给这个模型内装满沙子，然后把这个模型中的沙子全倒进半球内，我们发现刚好装满.

指导学生归纳实验结果

学生实验，归纳总结，得出结论

实验验证

问题4、上述实验结果说明了什么？

你能从中得出体积公式吗？

问题5、我们已经通过实验求得球的体积公式，那么如何求得球的表面积呢？

能否将球面展开成平面图形呢？

（学生讨论，进行剥桔子实验）

指导学生实验

学生实验，小组交流，回答问题.

实验验证

问题6、这些“小准锥体”的底面是多边形吗？

怎样才能使得这些“小准锥体”更接近于锥体呢？

（引出极限的思想）

当这些“小准锥体”的底面足够小的时候，就可以近似的看作棱锥.

问题7、这些底面足够小的“小锥体”的高趋向于多少？

底面积、、……的和是多少？

体积又是多少？

这时你能求出球的面积吗？

多媒演示并指导学生完成球的表面积公式的推导

学生观察，展开想象并回答问题，学生尝试求出球的面积

渗透“无穷”“极限”的数学思想

4、数学应用

例3：

半径是R的球，如果半径发生了下述变化，则其面积、体积分别变为原来的几倍？

（1）半径增大到原来的2倍；

（2）半径增加了2倍.

教师提炼

独立完成

例4：

一个奖杯的三视图（单位：

cm）如图所示，试计算它的体积.（精确到0.01cm）

总结解决组合体问题常见的思考方法

学生分析组合体的结构特征，将组合体转化为柱、锥、台、球等常见的几何体

巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，熟练运用柱、锥、台、球等常见的几何体体积公式

（2）练习

课本57页第5、6题

5、回顾反思

（1）球表面积和体积计算公式的推导过程

（2）球的表面积计算公式中所体现的“无穷”“极限”的数学思想

（3）解组合体问题常见的思考方法

6、作业

课本第60页第6、7、8题.

六、同行点评：

该设计自然流畅、充分突出新课程理念。

具体的说，设计在引导学生运用已有数学知识解决问题时，不断经历直观感知、动手实践、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维过程，培养了学生数学理性思维能力、空间想象能力、观察能力以及判断能力，设计在知识的探究过程中，理解了“局部”和“整体”的关系，也让学生体会了“无穷”“极限”的数学思想，这为今后进一步学习数学和学生的终生发展打下良好的基础。