届广州市第一次模拟数学文科.docx

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届广州市第一次模拟数学文科

秘密★启用前试卷类型：

A

2020年广州市普通高中毕业班综合测试

（一）

文科数学

本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，M={3,4,5}，N={1,3,6}，则集合{2,7}等于

N

U（MN）

U（MN）

A．MB．C．D．MN

2.某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本的高中学生人数为

A．42人B．84人C．126人D．196人

3.直线kx-y+1=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的位置关系是

A.相交B．相切C．相离D．不确定

⎧lnx,

x>0,

⎡⎛1⎫⎤

4.已知函数f（x）=⎨ex,x≤0,则f⎢fç4⎪⎥的值为

⎩⎣⎝⎭⎦

A．4B．2C．1D．1

24

5．已知向量a=（2,1），b=（x,

-2），若a+b=

2a-b，则实数x的值等于

A.4

9

B.

1

2

C.

9

4

D.2

6.

开始

是

否

输出s

结束

i=i+1

n=n+2

s=s+1

n

s=0，n=2，i=1

如图所示，给出的是计算1+1+1+⋅⋅⋅+1的值

24622

的程序框图，其中判断框内应填入的条件是

A.i>9

B.i>10

C.i>11

D.i>12

7.设函数f（x）=2cos⎛1x-π⎫，若对任意x∈R都有f（x）≤f（x）≤f（x

）成立，则

23

ç⎪12

⎝⎭

x1-x2的最小值为

A．4πB．2πC．πD．π

2

8.刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产．刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，„，依次类推．若在圆内随机取一点，则该点取

自该圆内接正十二边形的概率为

33

3（6-2）3

3（6-2）

A．2πB．2πC．πD．π

9．已知sinα-cosα=1，0<α<π，则cos2α=

5

A.-7

25

B.

7

25

C.

24

25

D．-24

25

10.已知点P（x0,y0）在曲线C：

y=x-x+1上移动，曲线C在点P处的切线的斜率为k，

32

若k∈⎡-1,21⎤，则x的取值范围是

⎣⎢3⎥⎦0

A．⎡-7,5⎤

B．⎡-7,3⎤

C．⎡-7,+∞⎫

D．[-7,9]

⎣⎢37⎥⎦

⎣⎢3⎥⎦

⎣⎢3⎪

⎭

x2-y2=（

>>）

11.已知O为坐标原点，设双曲线C：

221a0,b0的左，右焦点分别为F1，F2，

ab

点P是双曲线C上位于第一象限内的点，过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，

若b=F1F2

A.5

4

-

2OA，则双曲线C的离心率为

B.4

3

C.5

3

D.2

12.在三棱锥A-BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角

A-BD-C的平面角为120

，则该三棱锥的外接球的表面积为

A．7πB．8πC．

16π

3

28π

D．

3

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知复数z=2-2i，则z2+z4=．

22

14.

x

k

x

已知函数f（x）=+在区间（0,+∞）上有最小值4，则实数k=．

15.已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面β，给出下列五个命题：

①若α∥β，则a⊥b；②若α⊥β，则a⊥b；③若α⊥β，则a//b；

④若a//b，则α⊥β；⑤若a⊥b，则α∥β，其中正确命题的序号是．

π

16.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=，A

2D

ππ

∠ABC=，∠ADB=，则tan∠ACD=．

612

BC

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．

（一）必考题：

共60分．

17．（12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=n-Sn，设bn=an-1．

（1）求a1，a2，a3；

（2）判断数列{bn}是否是等比数列，并说明理由；

（3）求数列{an}的前n项和Sn．

18．（12分）

如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如图2的四棱锥A-BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．

（1）证明：

AH⊥BD；

（2）设点B到平面AED的距离为h，点E到平面ABD的距离为h，求h1的值．

h

12

2

ED

A

A

E

H

D

BCBC

图1图2

19．（12分）

某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1天到第5天的日产卵数据：

第x天

1

2

3

4

5

日产卵数y（个）

6

12

25

49

95

对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．

y

x

5

∑xi

i=1

5

∑x2

i

i=1

5

∑（lnyi）

i=1

5

∑（xilnyi）

i=1

15

55

15.94

54.75

（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x的回归方程为y=ea+bx

（其中e为自然对数的底数），求实数a，b的值（精确到0.1）；

（2）根据某项指标测定，若产卵数在区间（e6,e8）上的时段为优质产卵期，利用

（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．

附：

对于一组数据（v1,μ1），（v2,μ2），„，（vn,μn），其回归直线μ=α+βv的斜率和截

n

∑viμi-nv⋅μ

n

距的最小二乘估计分别为βˆ=i=1，αˆ=μ-βˆ⋅v.

i

∑v2-nv2

i=1

M

20．（12分）已知

过点A（

3,0），且与

：

（x+

3）2+y2=16内切，设

的圆心M的

N

M

轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）设直线l不经过点B（0,1）且与曲线C相交于P，Q两点．若直线PB与直线QB的

1

斜率之积为-，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明

4

理由．

21．（12分）

已知函数f（x）=（x+a）ebx（b≠0）的最大值为1，且曲线y=f（x）在x=0处的切线与

e

直线y=x-2平行（其中e为自然对数的底数）．

（1）求实数a，b的值；

（2）如果0

3x1+x2>3．

（二）选考题：

共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4－4：

坐标系与参数方程]（10分）

⎩

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎧x=3+t,（t为参数），曲线C的

⎧x=3,

1

ç

⎛π3π⎫

⎨y=1+2t2

⎪

参数方程为⎨

cosθ（θ为参数，且θ∈,⎪）．

22

⎩

⎪y=

3tanθ⎝⎭

（1）求曲线C1和C2的普通方程；

（2）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求AB的最小值．

23．[选修4－5：

不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=3x-6+x-a，a∈R．

（1）当a=1时，解不等式f（x）<3；

（2）若不等式f（x）<11-4x对任意x∈⎡-4,-3⎤恒成立，求实数a的取值范围．

⎣⎢2⎥⎦

绝密★启用前

2020年广州市普通高中毕业班综合测试

（一）

文科数学试题答案

评分说明:

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

A

A

D

C

C

B

C

A

B

C

D

只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题

二、填空题

13．-1-i

14．415．①④16．3-3

4

说明：

第15题填①④给5分，若只填1个序号且正确（即只填①或④）给3分，但填有错误序号

（如填①②或①④⑤等）均不给分。

三、解答题

17.解：

（1）因为an=n-Sn，

所以a=1-S=1-a，得a=1．

11112

由a2

=2-S2

=2-a1

-

a2

=3-a

22

，得a2

=3．

4

由a=3-S=3-a-a-a=7-a，得a=7．

331234338

（2）因为an=n-Sn，…①

所以an-1=（n-1）-Sn-1（n≥2）．…②

①-②得2an=an-1+1．

因为bn=an-1，即an=bn+1，

1

所以2b=b

bn=．

b

2

因为b1

n

=a1

n-1，即

n-1

-1=-1．

2

所以数列{b}是以-1为首项，1为公比的等比数列．

n2

1⎛1⎫n-1

2

⎛1⎫n

（3）由

（2）知bn=-2⨯ç2⎪=-ç2⎪，

⎝⎭⎝⎭

⎛1⎫n

则an

=b+1=1-ç⎪

n2

⎝⎭

．

⎛1⎫n

⎝⎭

所以Sn=n-an=n-1+ç2⎪．

18．

（1）证明1：

在图1中，因为△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，所以BD⊥AC．

3

在△BCD中，BD⊥CD，BC=2，CD=1，所以BD=．因为D,E分别为边AC,AB的中点，所以ED//BC．

在图2中，有DH=ED=1，所以DH=1BD=3．

HBBC233

因为AB⊥AD，所以△ABD为直角三角形．

3

因为AD=1，BD=，所以cos∠ADB=AD=

BD

3

．

3

在△ADH中，由余弦定理得

AH2=AD2+DH2-2AD⋅DH⋅cos∠ADB=1+1-2⨯1⨯

3⨯3=2，

所以AH=

6

．

3

3333

在△ADH中，因为AH2+DH2=2+1=1=AD2，

33

所以AH⊥BD．

证明2：

在图1中，因为△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，所以BD⊥AC．

3

在△BCD中，BD⊥CD，BC=2，CD=1，所以BD=．因为D,E分别为边AC,AB的中点，所以ED//BC．

DHED113

在图2中，有==，所以DH=BD=．

HBBC233

3

在Rt∆BAD中，BD=，AD=1，

3

在△BAD和△AHD中，因为DB=DA=,∠BDA=∠ADH,

DADH

所以△BAD△AHD．

所以∠AHD=∠BAD=900．所以AH⊥BD．

（2）解法1：

因为VB-AED=VE-ABD，

所以1Sh=1Sh．

3∆AED13∆ABD2

所以h1

h2

=S∆ABD．

3

S∆AED

因为△AED是边长为1的等边三角形，所以S

∆AED=4．

3

2

在Rt△ABD中，BD=，AD=1,则AB=,【或利用

（1）证明1中AH=6】

2

3

所以S

∆ABD=2.

所以h1=26．

h23

所以h1的值为26．

h23

解法2：

因为VB-AED=VA-BDE，

所以1Sh=1S

⨯

AH．

3∆AED13∆BDE

所以h1

=S∆BDE⨯AH．

S

3

∆AED

因为△AED是边长为1的等边三角形，所以S

3

∆AED=4．

因为△BDE是腰长为1，顶角为120︒的等腰三角形，所以S

∆BDE=4．

由

（1）证明1中求得AH=6，所以h=6．

313

由V=V，同理求得h=1．

E-ABDA-BDE22

所以h1=26．

h23

所以h1的值为26．

h23

19．解：

（1）因为y=ea+bx，两边取自然对数，得lny=a+bx．令v=x，μ=lny，得μ=a+bv．

54.75-5⨯15⨯15.94

因为bˆ=55=6.93=0.693，

55-5⨯3210

所以b≈0.7．

因为aˆ=μ-bv=15.94-0.7⨯3=1.088，

5

【或aˆ=μ-bv=15.94-0.693⨯3=1.109】

5

所以a≈1.1．

所以a≈1.1，b≈0.7．

（2）根据

（1）得y=e1.1+0.7x．

由e6

7

所以在第6天到第10天中，第8，9天为优质产卵期．

从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：

（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），

（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种．

其中恰有1天为优质产卵期的有：

（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，10），（9，10）共6

种．

设从未来第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A，

则P（A）=6=3．

105

3

所以从未来第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为．

M

N

5

M

20．

（1）解：

设

⎧⎪R=MA,

的半径为R，因为

过点A（

3,0），且与

相切，

⎩

所以⎨⎪MN

=4-R,

即MN+MA=4．

因为NA<4，所以点M的轨迹是以N，A为焦点的椭圆．

设椭圆的方程为x2+y2=1（a>b>0），

a2b2

a2-b2

则2a=4，且c==

x2+2

3，所以a=2，b=1．

所以曲线C的方程为

4

y=1．

（2）解法1：

依题意，直线BP,BQ的斜率均存在且不为0，

设直线BP斜率为k（k≠0），则直线BP的方程为y=kx+1，

⎧y=kx+1,

⎪

由⎨x2

+y2=1,

得（1+4k2）x2+8kx=0．

⎪⎩4

解之得x=0，x=

-8k

．

121+4k2

⎛-8k

1-4k2⎫

⎝

因此点P的坐标为ç1+

4k2,

1+4k

2⎪．

⎭

因为直线BQ斜率为-1，

4k

⎛8k

4k2-1⎫

⎝

所以同理可得点Q的坐标为ç1+4k

因为P，Q两点关于原点对称．

2,1+4k

2⎪．

⎭

【或求出直线l的方程为y=

所以直线l过定点（0,0）．

4k2-1

x】

8k

解法2：

当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为：

x=x1．设点P（x1,y1），则点Q（x1,-y1），依题意x1≠0，

y-1-y-1y2-11

因为kBPkBQ=1⨯1=-1=-，

xxx

4

2

111

1

所以y2

x2

=1+1．

4

y

2

x2

因为1+

4

1=1，且x1≠0，无解，

此时直线l不存在．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：

y=kx+m．

⎧y=kx+m,

⎪

由⎨x2

+y2=1

得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0．

⎪⎩4

需要满足∆=（8km）2-16（4k2+1）（m2-1）>0，即m2<4k2+1．设点P（x1,y1），Q（x2,y2），

则有x+x=-8km，xx=

124k2+112

4（m2-1）

．

4k2+1

因为y1=kx1+m，y2=kx2+m，

（）（）

所以y+y=k（x+x）+2m=2m，yy=kx+mkx+m=

12124k2+11212

m2-4k2

．

4k2+1

因为kk

=y1-1⨯y2-1=y1y2-（y1+y2）+1=-1，

BPBQ

x1x2x1x24

所以yy-（y+y

）+1=-1xx．

1212

412

m2-4k22m

14（m2-1）

即4k2+1-4k2+1+1=-4⨯4k2+1，

即m2-m=0．所以m=0或m=1．

当m=0时，满足m2<4k2+1，直线l的方程为y=kx，恒过定点（0,0）．

当m=1时，满足m2<4k2+1，直线l的方程为y=kx+1，恒过定点（0,1），不合题意．综上所述，直线l过定点（0,0）．

21．

（1）解：

因为f（x）=（x+a）ebx，所以f'（x）=（bx+ab+1）ebx．由条件可知f'（0）=ab+1=1，得ab=0．

因为b≠0，所以a=0．

此时f（x）=xebx（b≠0），f'（x）=（bx+1）ebx．

若b>0，则当x<-1时，f'（x）<0，当x>-1时，f'（x）>0，

bb

所以函数f（x）在⎛-∞,-1⎫上单调递减，在⎛-1,+∞⎫上单调递增．

çb⎪çb⎪

⎝⎭⎝⎭

此时函数有最小值，无最大值．不合题意．

若b<0，则当x<-1时，f'（x）>0，当x>