届广州市第一次模拟数学文科.docx

1、届广州市第一次模拟数学文科秘密 启用前 试卷类型： A2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学本试卷共 6 页，23 小题， 满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，

2、先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效4. 考生必须保证答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合U = 1, 2,3, 4,5, 6, 7 ， M = 3, 4,5 ， N = 1,3, 6 ，则集合2,7等于NU (M N )U (M N )A M B C D M N2. 某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为 4800 人，4000 人，2400 人现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本

3、中，初中学生人数为 70 人，则该样本的高中学生人数为A42 人 B84 人 C126 人 D196 人3. 直线kx - y +1 = 0 与圆 x2 + y2 + 2x - 4y +1 = 0 的位置关系是A. 相交 B相切 C相离 D不确定ln x,x 0, 1 4. 已知函数 f (x) = ex , x 0, 则 f f 4 的值为 A 4 B 2 C 1 D 12 45已知向量a = (2, 1) ， b = ( x,- 2) ，若 a + b =2a - b ，则实数 x 的值等于A. 49B. 12C. 94D. 26. 开始是否输出 s结束i = i +1n = n + 2s

4、 = s + 1ns = 0 ， n = 2 ， i = 1如图所示，给出的是计算 1 + 1 + 1 + 1 的值2 4 6 22的程序框图，其中判断框内应填入的条件是A. i 9B. i 10C. i 11D. i 127. 设函数 f (x) = 2 cos 1 x - ，若对任意 x R 都有 f (x ) f (x) f (x ) 成立，则2 3 1 2 x1 - x2 的最小值为A 4 B 2 C D 28. 刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则提出了“割圆术

5、”，并用“割圆术”求出圆周率 为3.14 刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积， 第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依次类推若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为3 33( 6 - 2 ) 33( 6 - 2 )A 2 B 2 C D 9已知sin - cos = 1 ， 0 )11. 已知O 为坐标原点，设双曲线C ： 2 2 1 a 0, b 0 的左，右焦点分别为 F1 ，F2 ，a b点 P 是双曲线C 上位于第一象限内的点，过点 F2 作F

6、1PF2 的平分线的垂线，垂足为 A ，若b = F1F2A. 54- 2 OA ，则双曲线C 的离心率为B. 43C. 53D. 212. 在三棱锥 A - BCD 中， ABD 与 CBD 均为边长为2 的等边三角形，且二面角A - BD - C 的平面角为120，则该三棱锥的外接球的表面积为A 7 B 8 C16328D3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知复数 z = 2 - 2 i ，则 z2 + z4 = 2 214. xkx已知函数 f ( x) = + 在区间(0, +)上有最小值4 ，则实数k = 15. 已知直线a 平面 ，直线b 平面 ，给出

7、下列五个命题：若 ，则a b ；若 ，则a b ；若 ，则a / /b ；若 a / /b ，则 ；若a b ，则 ， 其中正确命题的序号是 16. 如图，在平面四边形 ABCD 中，BAC = ADC = ， A2 D ABC = ， ADB = ，则tanACD = 6 12B C三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共 60 分17（12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn ，且满足an = n - Sn ，设bn = an -1（1）求a1 ， a2

8、， a3 ；（2） 判断数列bn 是否是等比数列，并说明理由；（3） 求数列an的前 n 项和 Sn 18（12 分）如图 1，在边长为2 的等边 ABC 中， D ， E 分别为边 AC ， AB 的中点将 ADE 沿 DE 折起，使得 AB AD ，得到如图 2 的四棱锥 A - BCDE ，连结 BD ，CE ，且 BD 与CE 交于点 H （1） 证明： AH BD ；（2） 设点 B 到平面 AED 的距离为h ，点 E 到平面 ABD 的距离为h ，求 h1 的值h1 22E DAAEHDB C B C图1 图219（12 分）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 1

9、 天到第 5 天的日产卵数据：第 x 天12345日产卵数 y（个）612254995对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值yx5 xii=15 x 2ii=15(ln yi )i=15( xi ln yi )i=1155515.9454.75（1） 根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数 y 关于 x 的回归方程为 y = ea+bx（其中e 为自然对数的底数），求实数a ， b 的值（精确到 0.1）；（2） 根据某项指标测定，若产卵数在区间(e6, e8 )上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵

10、期的概率附：对于一组数据(v1, 1 ) ， (v2, 2 ) ， (vn , n ) ，其回归直线 = +v 的斜率和截nvi i - nv n距的最小二乘估计分别为 = i=1 ， = - v.iv 2 - nv 2i=1M20（12 分）已知过点 A (3, 0)，且与： (x +3)2 + y2 = 16 内切，设的圆心 M 的NM轨迹为曲线C （1） 求曲线C 的方程；（2） 设直线l 不经过点 B (0, 1)且与曲线C 相交于 P ，Q 两点若直线 PB 与直线QB 的1斜率之积为- ，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明4理由21（12 分）已知

11、函数 f (x) = (x + a)ebx (b 0) 的最大值为 1 ，且曲线 y = f (x) 在 x = 0 处的切线与e直线 y = x - 2 平行（其中e 为自然对数的底数）（1）求实数a ， b 的值；（2）如果0 x1 3 （二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为x = 3 + t, （ t 为参数），曲线C 的x = 3 ,1 3 y = 1+ 2t 2参数方程为cos ( 为参数，且 , )2 2 y =3 tan （1） 求曲线C

12、1 和C2 的普通方程；（2） 若 A ， B 分别为曲线C1 ， C2 上的动点，求 AB 的最小值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 f ( x) = 3x - 6 + x - a ， a R （1） 当a = 1时，解不等式 f (x) 3 ；（2） 若不等式 f (x) 11- 4x 对任意 x -4, - 3 恒成立，求实数a 的取值范围 2 绝密 启用前2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 文科数学试题答案评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2. 对计算题，当考生的

13、解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4. 题号123456789101112答案BAADCCBCABCD只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题二、填空题13 -1 - i14 4 15 16 3 - 34说明：第15题填给5分，若只填1个序号且正确（即只填或）给3分，但填有错误序号（如填或等）均不给分。三、解答题17. 解：（1）因为an = n - Sn ，所以a = 1- S = 1

14、- a ，得a = 1 1 1 1 1 2由 a2= 2 - S2= 2 - a1- a2= 3 - a2 2，得a2= 3 4由 a = 3 - S = 3 - a - a - a = 7 - a ，得a = 7 3 3 1 2 3 4 3 3 8（2）因为an = n - Sn ， 所以an-1 = (n -1) - Sn-1 (n 2) -得2an = an-1 +1因为bn = an -1，即an = bn + 1，1所以2b = bbn = b2因为b1n= a1n-1 ，即n-1-1 = - 1 2所以数列b 是以- 1 为首项， 1 为公比的等比数列 n 21 1 n-12 1

15、n（3）由（2）知bn = - 2 2 = - 2 ， 1 n则 an= b + 1=1- n 2 1 n 所以 Sn = n - an = n -1+ 2 18（1）证明 1：在图1中，因为 ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点， 所以 BD AC 3在 BCD 中， BD CD ， BC = 2， CD =1，所以 BD = 因为 D, E 分别为边 AC, AB 的中点，所以 ED / /BC 在图2 中，有 DH = ED = 1 ，所以 DH = 1 BD = 3 HB BC 2 3 3因为 AB AD ，所以 ABD 为直角三角形 3因为 AD = 1 ， BD = ，

16、所以cosADB = AD =BD3 3在 ADH 中，由余弦定理得 AH 2 = AD2 + DH 2 - 2AD DH cosADB = 1+ 1 - 2 13 3 = 2 ， 所以 AH =6 33 3 3 3在 ADH 中，因为 AH 2 + DH 2 = 2 + 1 = 1 = AD2 ， 3 3所以 AH BD 证明 2：在图1中，因为 ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点， 所以 BD AC 3在 BCD 中， BD CD ， BC = 2， CD =1，所以 BD = 因为 D, E 分别为边 AC, AB 的中点，所以 ED / /BC DH ED 1 1 3在图

17、 2 中，有 = = ，所以 DH = BD = HB BC 2 3 33在RtBAD 中， BD = ， AD = 1 ， 3在 BAD 和 AHD 中，因为 DB = DA = , BDA = ADH , DA DH所以 BAD AHD 所以AHD = BAD = 900 所以 AH BD （2）解法 1：因为VB- AED = VE- ABD ，所以 1 S h = 1 S h 3 AED 1 3 ABD 2所以 h1h2= SABD 3SAED因为 AED 是边长为 1 的等边三角形，所以 SAED = 4 32在Rt ABD 中，BD = ，AD = 1 ,则 AB = ,【或利用（

18、1）证明 1 中 AH = 6 】 23所以 SABD = 2 .所 以 h1 = 2 6 h2 3所以 h1 的值为 2 6 h2 3解法 2：因为VB- AED = VA-BDE ，所以 1 S h = 1 S AH 3 AED 1 3 BDE所以 h1= SBDE AH S3AED因为 AED 是边长为 1 的等边三角形，所以 S3AED = 4 因为 BDE 是腰长为 1，顶角为120 的等腰三角形，所以 SBDE = 4 由（1）证明 1 中求得 AH = 6 ，所以 h = 6 3 1 3由V = V ，同理求得h = 1 E- ABD A-BDE 2 2所 以 h1 = 2 6

19、h2 3所以 h1 的值为 2 6 h2 319解：（1）因为 y = ea+bx ，两边取自然对数，得ln y = a + bx 令v = x ， = ln y ，得 = a + bv 54.75 - 5 15 15.94因为b = 5 5 = 6.93 =0.693 ，55 - 5 32 10所以b 0.7 因为a = - bv = 15.94 - 0.7 3 = 1.088 ，5【或 a = - bv = 15.94 - 0.693 3 = 1.109 】5所以a 1.1所以a 1.1， b 0.7 （2）根据（1）得 y = e1.1+0.7x 由e6 e1.1+0.7 x e8 得7

20、 x 69 7所以在第6 天到第10 天中，第8 ， 9 天为优质产卵期从未来第 6 天到第 10 天中任取 2 天的所有可能事件有：(6，7) ，(6，8) ，(6，9)，(6，10)，(7，8) ， (7，9) ， (7，10) ， (8，9) ， (8，10) ， (9，10)共 10 种其中恰有 1 天为优质产卵期的有： (6，8) ， (6，9)， (7，8) ， (7，9) ， (8，10) ， (9，10)共 6种设从未来第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的事件为 A ，则 P ( A) = 6 = 3 10 53所以从未来第 6 天到第 10 天中

21、任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率为 MN5M20（1）解：设R = MA ,的半径为 R ，因为过点 A (3, 0)，且与相切，所以 MN= 4 - R,即 MN + MA = 4 因为 NA b 0) ，a2 b2a2 - b2则 2a = 4，且c = =x2 + 23 ，所以a = 2 ， b =1所以曲线C 的方程为4y = 1（2）解法 1：依题意，直线 BP, BQ 的斜率均存在且不为 0，设直线 BP 斜率为k (k 0) ，则直线 BP 的方程为 y = kx +1， y = kx +1,由 x2+ y2 = 1,得(1+ 4k 2 ) x2 + 8kx = 0

22、4解之得 x = 0 ， x =-8k1 2 1+ 4k 2 -8k1- 4k 2 因此点 P 的坐标为 1+4k 2 ,1+ 4k2 因为直线 BQ 斜率为- 1 ，4k 8k4k 2 -1 所以同理可得点Q 的坐标为 1+ 4k因为 P ， Q 两点关于原点对称2 ,1+ 4k2 【或求出直线l 的方程为 y =所以直线l 过定点(0,0) 4k 2 -1x 】8k解法 2：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为： x = x1 设点 P(x1, y1 ) ，则点Q(x1, - y1 ) ，依题意 x1 0 ，y -1 - y -1 y 2 -1 1因为kBPkBQ = 1 1 =

23、- 1 = - ，x x x421 1 11所以 y 2x 2= 1+ 1 4y2x 2因 为 1 +41 = 1，且 x1 0 ，无解，此时直线l 不存在当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为： y = kx + m y = kx + m,由 x2+ y2 = 1得(4k 2 +1) x2 + 8kmx + 4(m2 -1) = 0 4需要满足 = (8km)2 -16(4k2 +1)(m2 -1) 0 ，即m2 4k 2 +1 设点 P(x1, y1) ， Q(x2, y2 ) ，则 有 x + x = - 8km ， x x =1 2 4k 2 +1 1 24(m2 -1)4k 2

24、+1因为 y1 = kx1 + m ， y2 = kx2 + m ，( )( )所以 y + y = k ( x + x ) + 2m = 2m ， y y = kx + m kx + m =1 2 1 2 4k 2 +1 1 2 1 2m2 - 4k 24k 2 +1因为k k= y1 -1 y2 -1 = y1 y2 -( y1 + y2 ) +1 = - 1 ， BP BQx1 x2 x1x2 4所以 y y - ( y + y) +1 = - 1 x x 1 2 1 24 1 2m2 - 4k 2 2m1 4(m2 -1)即 4k 2 +1 - 4k 2 +1 +1 = - 4 4k 2 +1 ，即 m2 - m = 0 所以m = 0或 m =1当 m = 0时，满足m2 4k 2 +1 ，直线l 的方程为 y = kx ，恒过定点(0, 0) 当 m =1时，满足m2 0，则当 x - 1 时， f (x) - 1 时， f (x) 0 ，b b所以函数 f (x) 在 -, - 1 上单调递减，在 - 1 , + 上单调递增 b b 此时函数有最小值，无最大值不合题意若b 0 ，则当 x 0 ，当 x