解:
以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定:
针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角φ(见下图左).样本空间为Ω:
{(φ,x),0?
φ?
π,0?
x?
a/2},为一矩形.针与
g的面积lsinφ(见下图右).所求概率是P=平行线相交的充要条件是g:
x?
的面积2
,,(l/2)sind,2l0,.,,,a/2a,,
注:
因为概率P可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N次,(或一次投针若干枚,总计N枚),统计与平行线相交的次数n,则P?
n/N.又因a与l都可精确测量,故从2l/aπ?
n/N,可解得π?
2lN/an.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3408次,算得π?
3.1415929,其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.
课堂小结
几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件:
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.作业
课本习题3.3A组1、2、3.
设计感想
本节课首先对古典概型进行了复习,使学生掌握古典概型的适用条件,巩固了古典概型的概率计算公式,接着设计了多个试验,从课题的引入,到问题的提出都非常有针对性,引人入胜,接着从求概率不能问题引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型,并通过探究,归纳出几何概型的概率计算公式,同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系,通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次,加深理解和运用,由于它们与实际生活联系密切,所以要反复练习,达到为我们的工作与生活服务,然而这部分内容高考是新内容,因此同学们要高度重视,全面把握,争取好成绩.
备课资料
几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.
概率备课人:
焦阳
1.与长度有关的几何概型
例1有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大,
分析:
由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.
10,3,32,解:
记两段木棍都不小于3米为事件A,则P(A)=.105
2.与面积有关的几何概型
这里有一道十分有趣的题目:
例2郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下:
在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几
3边长的,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几4
上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大,
分析:
这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.
解:
不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个
11铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个×的小正方形内(如上44
3图),这时铜板中心到方几边缘的距离?
铜板边长的.整个方几的面积为1×1=1,而中央小正8
1
111116方形的面积为×=,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为.,4416116
例3甲、乙两人相约在上午9:
00至10:
00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大,
解:
设甲到的时间为(9+x)小时,乙到的时间为(9+y)小时,则0?
x?
1,0?
y?
1.点(x,y)形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)为
11顶点(如右图).由于两人都只能停留5分钟即小时,所以在|x-y|?
时,两人才能会面.1212
111由于|x-y|?
是两条平行直线x-y=与y-x=之间的带状区域,正方形在这两个带状区域121212
概率备课人:
焦阳
11112是两个三角形,其面积之和为(1-)×(1-)=().121212
23
2311232144从而带形区域在这个正方形内的面积为1-()=,因此所求的概率为.,1214411443.与体积有关的几何概型
例4在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大,分析:
病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的,取得的1升水可以看作构成事件的区域,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率.
取出的水的体积1,其中含有病毒”这一事件记作事件A,则P(A)==0.2.解:
“取出1升水,所有水的体积5从而所求的概率为0.2.
现在我们将这个问题拓展一下:
例5在5升水中有两个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大,分析:
此题目与上一题有一点区别,即现在在5升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒
1分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取1升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为,含有病毒5
1乙的概率也是,而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情5
况去掉.
解:
记“取1升水,含有病毒甲”为事件A;“取1升水,含有病毒乙”为事件B,则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB.
11119,,,,从而所求的概率为P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)==0.36.5555254.与角度有关的几何概型
例6在圆心角为90?
的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得?
AOC和?
BOC都不小于30?
的概率.
解:
设事件A是“作射线OC,求使得?
AOC和?
BOC都不小于30?
”.则μ=90?
-30?
-30?
=30?
a
30:
1A,,而μ=90?
由几何概型的计算公式得P(A)=.Ω,90:
3,
注意:
在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.