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中考题
2006年锦州市义务教育新课程初中学业考试数学试题
※考试时间120分钟，试卷满分120分。
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，本题共7个小题，每小题3分，共21分）
1.下列一组几何体的俯视图是（ ）
2.下列运算正确的是（ ）
A.x2+x3=x5 B.（2x2）3=2x6 C.x6÷x2=x3 D.3x2·2x3=6x5
3.将下列各纸片沿虚线剪开后，能拼成右图的是（ ）
4.不等式组的解集为（ ）
A.-1＜x＜2 B.-1＜x≤2 C.x＜-1 D.x≥2
5.“五·一”黄金周过后，八年
（一）班班主任对全班52名学生外出旅游的天数进行了调查统计，结果如下表所示：
旅游天数（天）
0
1
2
3
4
5
6
7
人数（人）
5
6
12
11
10
5
3
0
则该班学生外出旅游天数的众数和中位数分别是（ ）
A.2,3 B.2,2 C.7,3.5 D.12,10.5
6.锦州市宝石广场占地面积约为12555米2，它的面积与一个班级教室面积的倍数关系，下列最接近的是（ ）
A.40倍 B.80倍 C.100倍 D.150倍
7.如图是水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），下列图象能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间函数关系的是（ ）
二、填空题（本题共9个小题，每小题3分，共27分）
8.若多项式4a2+M能用平方差公式分解因式，则单项式M=____（写出一个即可）。
9.2005年10月17日新华网报道：
“5天前从酒泉卫星发射中心启航的神舟六号飞船，在平安飞行115小时32分后重返神州。
”用科学记数法表示神舟六号飞船飞行的时间是____秒（保留三个有效数字）。
10.若反比例函
数的图象经过点（-2,3），则这个反比例函数的表达式为____。
11.锦州市住宅电话号码是由7位数字组成，某人到电信公司申请安装一部住宅电话，那么该公司配送给这部电话的号码末尾数字为6的概率是____。
12.已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式____。
13.体育老师对甲、乙两名同学分别进行了5次立定跳远测试，经计算这两名同学成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差是0.03，乙同学的成绩（单位：
m）如下：
2.32.22.52.12.4，那么这两名同学立定跳远成绩比较稳定的是____同学。
14.如图，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为____。
15.点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似.满足这样条件的直线最多有____条。
16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b.若E1、F1分别是AB、DC的中点，
则；若
分别是
的中点，则
；当
分别是
的中点，则
；若
分别是
的
中点，根据上述规律猜想
=____（n≥1，n为整数）。
三、解答题（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
17.计算：
。
18.如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”。
根据图形解答下列问题：
（1）图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？
（写出变换过程）
（2）在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标。
四、解答题（本题共3个小题，每小题6分，共18分）
19.锦州市疏港快速干道（锦州至笔架山）将于2006年8月正式通车。
届时锦州至笔架山的公路运行里程将由目前的34千米缩短至28千米，设计时速是现行时速的1.25倍，汽车运行时间将缩短0.145小时。
求疏港快速干道的设计时速。
20.某中学进行体育教学改革，同时开设篮球、排球、足球、体操课，学生可根据自己的爱好任选其一。
体育老师根据九年级学生的报名情况进行了统计，并绘制了下面尚未完整的频数分布直方图和扇形统计图。
请根据统计图解答下列问题：
（1）该校九年级共有多少名学生？
（2）将两个统计图补充完整；
（3）从统计图中你还能得到哪些信息？
（写出两条即可）
21.甲、乙两队进行拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪子、布”的手势方式选择场地位置。
规则是：
石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头，手势相同再决胜负。
请你说明裁判员的这种作法对甲、乙双方是否公平，为什么？
（用树状图或列表法解答）
五、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分）
22.在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是（如图）：
画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于
的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接
AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB，则△ABD就是直角三角形。
（1）请你说明其中的道理；
（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°（不写作法，保留作图痕迹）。
23.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，∠CAB的角平分线AE交BC于点D，交半圆O于
点E。
若AB=10，tan∠CAB=
，求线段BC和CD的长。
六、解答题（本题共9分）
24.小刚家装修，准备安装照明灯。
他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当。
假定电价为0.45元/度，设照明时间为x（小时），使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1（元）和y2（元）[耗电量（度）=功率（千瓦）×用电时间（小时），费用=电费+灯的售价]。
（1）分别求出y1、y2与照明时间x之间的函数表达式；
（2）你认为选择哪种照明灯合算？
（3）若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时，一盏节能灯的使用寿命为6000小时，如果不考虑其他因素，以6000小时计算，使用哪种照明灯省钱？
省多少钱？
七、解答题（本题共9分）
25.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD。
（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，
请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题
（1）中猜想的结论是否仍然成立？
若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由。
八、解答题（本题共12分）
26.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；
（3）在题
（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？
最大面积是多少？
参考答案及评分标准
一、选择题（本题共7个小题，每小题3分，共21分）
1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.C
二、填空题（本题共9个小题，每小题3分，共27分）
8.答案不惟一，只要符合要求即可.如：
-b2
9.4.16×105
10.
11.
12.答案不惟一，只要符合要求即可.如：
y=x2-2
13.乙
14.
15.4
16.
三、解答题（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
17.解：
原式=
……4分
……5分
18.解：
（1）答案不惟一，只要合理即可得2分，如：
方法一：
将△ABC以点C为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C，再将△A1B1C向右平移3个格就得到△DEF；
方法二：
将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1以点C1为旋转中心，按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF；
方法三：
将△ABC以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△A1BC1，再将△A1BC1向下平移4个格得到△A2B2C2，再将△A2B2C2向右平移7个格就得到了△DEF。
方法四：
将△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，再将△AB1C1向下平移4个格得到△A2B2C2，再将△A2B2C2向下平移5个格就得到了△DEF。
（2）答案不惟一，只要正确建立直角坐标系并正确写出各点坐标，即可得3分。
如：
方法一：
如图①建立直角坐标系，则点D（0，0）、E（2，-1）、F（2，3）；
方法二：
如图②建立直角坐标系，则点D（-2，0）、E（0，-1）、F（0，3）；
方法三：
如图③建立直角坐标系，则点D（-2，-3）、E（0，-4）、F（0，0）；
方法四：
如图④建立直角坐标系，则点D（-2，1）、E（0，0）、F（0，4）。
四、解答题（本题共3个小题，每小题6分，共18分）
19.解：
方法一：
设现行时速是x千米/时，则疏港快速干道的设计时速是1.25x千米/时，……1分
根据题意，得
……3分
解这个方程，得x=80， ……4分
经检验，x=80是所列方程的根。
1.25×80=100（千米/时）。
答：
疏港快速干道的设计时速是100千米/时。
……6分
方法二：
设疏港快速干道的设计时速是x千米/时，则现行时速是0.8x千米/时。
……1分
根据题意，得
，
解这个方程，得x=100 ……4分
经检验，x=100是所列方程的根。
答：
疏港快速干道的设计时速是100千米/时。
……6分
20.解：
（1）由统计图得，108÷30%=360，∴该校九年级共有360名学生。
……1分
（2）补全直方图得1分，补全扇形统计图得2分，两个统计图都补全可得3分。
补全的两个统计图如下：
（3）此题是开放性试题，答案不惟一，合理即可得分，写出一条信息得1分，本题共2分。
①九年级学生选学体操的人数最多；
②九年级学生选学排球的人数最少；
③选学篮球的人数是九年级学生总人数的25%（或
）；
④选学足球的人数是九年级学生总人数的25%（或
）；
⑤选学体操的人数是九年级学生总人数的30%；
⑥九年级学生选学体操的人数比选学足球的人数多18人；
⑦九年级学生选学体操的人数比选学篮球的人数多18人；
⑧九年级学生选学篮球的人数比选学排球的人数多18人；
⑨九年级学生选学足球的人数比选学排球的人数多18人；
⑩九年级学生选学体操的人数比选学排球的人数多36人；
九年级学生选学足球的人数与选学篮球的人数相同；
九年级学生选学项目的众数是体操；
九年级学生选学篮球、排球人数的比为5：
4；
九年级学生选学体操、足球人数的比为6：
5；
九年级学生选学篮球、排球、足球、体操人数的比为5：
4：
5：
6。
21.解：
裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的。
……1分
理由：
方法一：
用列表法得出所有可能的结果如下：
甲
乙
石头
剪子
布
石头
（石头，石头）
（石头，剪子）
（石头，布）
剪子
（剪子，石头）
（剪子，剪子）
（剪子，布）
布
（布，石头）
（布，剪子）
（布，布）
……3分
根据表格得，P（甲获胜）=
，P（乙获胜）=
。
……5分
∵P（甲获胜）=P（乙获胜），
∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的。
……6分
方法二：
用树状图得出所有可能的结果如下：
……3分
根据树状图，P（甲获胜）=
，P（乙获胜）=
……5分
∵P（甲获胜）=P（乙获胜），
∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的。
……6分
五、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分）
22.解：
（1）理由：
方法一：
连接BC，由作图可知，AC=BC=CD，
∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB ……1分
∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°
∴2∠ABC+2∠CBD=180°
∴∠ABC+∠CBD=90°，.即∠ABD=90°
∴△ABD是直角三角形 ……3分
方法二：
连接BC。
由作图可知，AC=BC=CD，AD=AC+CD ……1分
∴BC=
AD ……2分
∴△ABC是直角三角
形 ……3分
（2）如右图所示， ……7分
则△EFG就是所求作的直角三角形，其中∠EGF=30°。
23.解：
方法一：
∵AB是半圆O的直戏，∴∠C=90°
在Rt△ABC中，∵
，
∴
……1分
设AC=4k，BC=3k。
∵AC2+BC2=AB2，AB=10，
∴（4k）2+（3k）2=100，解得k1=2，k2=-2（舍去）。
∴AC=8，BC=6 ……3分
过点D作DF⊥AB于F。
∵AD是∠CAB的角平分线，∴CD=DF。
∵∠DFB＝∠ACB＝90°，∠DBF＝∠ABC，
∴△DBF∽△ABC ……5分
∴
，即
……6分
∴CD=
……7分
方法二：
求AC、BC的方法同上 ……3分
过点D作DF⊥AB于F。
∵AD是∠CAB的角平分线，∴CD=DF。
∵AD=AD，∴△ACD≌△AFD.∵AF=AC=8，BF=AB-AF=2。
……5分
∵∠CAB+∠B=90°，∠FDB+∠B=90°，∴∠FDB=∠CAB.
∴
……6分
∴
∴
……7分
六、解答题（本题共9分）
24.解：
（1）根据题意，得
，即
； ……2分
，即
……4分
（2）由y1=y2，得0.018x+1.5=0.0036x+22.38，解得x=1450； ……5分
由y1＞y2，得0.018x+1.5＞0.0036x+22.38，解得x＞1450； ……6分
由y1＜y2，得0.018x+1.5＜0.0036x+22.38，解得x＜1450。
……7分
∴当照明时间为1450小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过1450小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于1450小时时，选择白炽灯合算。
（3）由
（2）知当x＞1450小时时，使用节能灯省钱。
当x=2000时，y1=0.018×2000+1.5=37.5（元）；
当x=6000时，y2=0.0036×6000+22.38=43.98（元），
∴3×37.5-43.98=68.52（元）。
∴按6000小时计算，使用节能灯省钱，省68.52元.……9分
注：
如果把x=6000小时直接代入y1=0.018x+1.5中，扣1分。
七、解答题（本题共9分）
25.
（1）猜想：
AF=BD且AF⊥BD ……1分
证明：
设AF与DC交点为G
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF
∴△ACF≌△BCD
∴AF=BD ……4分
∴∠AFC=∠BDC
∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=DGA
∴∠BDC+∠DGA=90°
∴AF⊥BD ……7分
∴AF=BD且AF⊥BD
（2）结论：
AF=BD且AF⊥BD，
图形不惟一，只要符合要求即可。
画出图形得1分，写出结论得1分，此题共2分。
如：
① CD边在△ABC的内部时； ②CF边在△ABC的内部时。
① ②
八、解答题（本题共12分）
26.解：
（1）∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），
∴OA=AB=BC=CO=4，
过点A作AD⊥OC于D，
∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=2
∴A（2，2
），B（6，2
） ……3分
（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：
①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交（如图①），
∵MN⊥OC，∴ON=t.∴MN=ONtan60°=
t
∴
……4分
②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交（如图②）
S=
ON·MN=
×t×2
=
t ……6分
③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交（如图③）
方法一：
设直线l与x轴交于点H.
∵MN=2
-
（t-4）=6
-
t，
∴
……8分
方法二：
设直线l与x轴交于点H.
∵S=S△OMH-S△ONH，
∴
……8分
方法三：
设直线l与x轴交于点H.
∵S=S菱形OABC-S△OAM-S△ONC-S△BMN，
，
，
，
，
∴
……8分
（3）由
（2）知，当0≤t≤2时，
，
当2＜t≤4时，
……9分
当4＜t≤6时，配方得
，
∴当t=3时，函数
的最大值是
但t=3不在4＜t≤6内，
∴在4＜t≤6内，函数
的最大值不是
而当t＞3时，函数
随t的增大而减小，
∴当4＜t≤6时，S＜4
……11分
综上所述，当t=4秒时，
……12分
注：
若考生讨论时分为0≤t≤2，2≤t≤4，4≤t≤6情况，只要答案正确，即可按标准赋分。
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