七年级上册《有理数》知识点总结及培优练习.docx

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七年级上册《有理数》知识点总结及培优练习

《有理数》知识点总结主讲:

王老师

1．数轴：

（1）数轴的概念：

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．

数轴的三要素：

原点，单位长度，正方向．

（2）数轴上的点：

所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）

（3）用数轴比较大小：

一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．

2．相反数

（1）相反数的概念：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

（2）相反数的意义：

掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．

（3）多重符号的化简：

与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．

（4）规律方法总结：

求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．

3．绝对值：

（1）概念：

数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

③有理数的绝对值都是非负数．

（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；

③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）

4．非负数的性质：

绝对值：

任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．

5．倒数:

（1）倒数：

乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1／a=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1／a．

（2）方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．

【规律方法】求相反数、倒数的方法：

注意：

0没有倒数．

求一个数的相反数

求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可

求一个数的倒数

求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

6．有理数的加减混合运算

（1）有理数加减混合运算的方法：

有理数加减法统一成加法．

（2）方法指引：

①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．

②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．

7．有理数的乘法

（1）有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．

（2）任何数同零相乘，都得0．

（3）多个有理数相乘的法则：

①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．

②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

（4）方法指引：

①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．

②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．

8．有理数的乘方:

（1）有理数乘方的定义：

求n个相同因数积的运算，叫做乘方．

乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）

（2）乘方的法则：

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．

（3）方法指引：

①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．

9．有理数的混合运算

（1）有理数混合运算顺序：

先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧：

1．转化法：

一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．

2．凑整法：

在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．

3．分拆法：

先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式再进行计算．

4．巧用运算律：

在计算中巧妙运用加法或乘法运算律往往使计算更简便．

10．近似数和有效数字：

（1）有效数字：

从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．

（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．

（3）规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．

11．代数式求值；

（1）代数式的：

用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫代数式的值．

（2）代数式的求值：

求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．

题型简单总结以下三种：

①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．

12．幂的乘方与积的乘方：

（1）幂的乘方法则：

底数不变，指数相乘．（am）n=amn（m，n是正整数）

注意：

①幂的乘方的底数指的是幂的底数；

②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

（2）积的乘方法则：

把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=anbn（n是正整数）

注意：

①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；

②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

七年级上册《有理数》培优

一．选择题（共10小题）

1．若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（　　）

A．

﹣8

B．

2

C．

8或﹣2

D．

﹣8或2

2．下列各组数中，数值相等的是（　　）

A．

34和43

B．

﹣42和（﹣4）2

C．

﹣23和（﹣2）3

D．

（﹣2×3）2和﹣22×32

3．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（　　）

A．

2002或2003

B．

2003或2004

C．

2004或2005

D．

2005或2006

4．某种鲸的体重约为1.36×105kg．关于这个近似数，下列说法正确的是（　　）

A．

精确到百分位，有3个有效数字

B．

精确到个位，有6个有效数字

C．

精确到千位，有6个有效数字

D．

精确到千位，有3个有效数字

5．（﹣2）100比（﹣2）99大（　　）

A．

2

B．

﹣2

C．

299

D．

3×299

6．下列说法正确的是（　　）

A．

倒数等于它本身的数只有1

B．

平方等于它本身的数只有1

C．

立方等于它本身的数只有1

D．

正数的绝对值是它本身

7．两个互为相反数的有理数相乘，积为（　　）

A．

正数

B．

负数

C．

零

D．

负数或零

8．一个有理数与它的相反数的乘积（　　）

A．

一定是正数

B．

一定是负数

C．

一定不大于0

D．

一定不小于0

9．

的所有可能的值有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

10．若|a﹣3|﹣3+a=0，则a的取值范围是（　　）

A．

a≤3

B．

a＜3

C．

a≥3

D．

a＞3

二．填空题（共6小题）

11．如果数轴上的点A对应的数为﹣1，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为　　　　　　．

12．如图，在长方形草地内修建了宽为2米的道路，则草地面积为　　　　　　米

13．平方等于

的数是　　　　　　．

14．若n为自然数，那么（﹣1）2n+（﹣1）2n+1=　　　　　　．

15．760340（精确到千位）≈　　　　　　，640.9（保留两个有效数字）≈　　　　　　．

16．近似数0.002350精确到　　位，有　　　有效数字；近似数3.45万精确到　　　　位．

三．解答题（共14小题）

17．.在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任取三个数相乘，其中最大的积是a，最小的积是b，

（1）求a，b的值；

（2）若|x+a|+|y﹣b|=0，求（x﹣y）÷y的值．

18．观察下列等式：

，

，

，将以上三个等式两边分别相加得：

（1）猜想并写出：

=　　　　　　；

（2）直接写出下列各式的计算结果：

①

=　　　　　　；

②

=　　　　　　．

（3）探究并计算：

．

19．小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：

（单位：

元）

星期

一

二

三

四

五

每股涨跌（元）

+2

﹣0.5

+1.5

﹣1.8

+0.8

根据上表回答问题：

（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？

（2）本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？

（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？

20．

（1）阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|

当A、B两点都不在原点时，

①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是　　　　　　，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　　　　　　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　　　　　　；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　　，如果|AB|=2，那么x为　　　；

③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　　　　　　．

21．阅读下列材料，解答问题．

饮水问题是关系到学生身心健康的重要生活环节，东坡中学共有教学班24个，平均每班有学生50人，经估算，学生一年在校时间约为240天（除去各种节假日），春、夏、秋、冬季各60天．原来，学生饮水一般都是购纯净水（其它碳酸饮料或果汁价格更高），纯净水零售价为1.5元/瓶，每个学生春、秋、冬季平均每天买1瓶纯净水，夏季平均每天要买2瓶纯净水，学校为了减轻学生消费负担，要求每个班自行购买1台冷热饮水机，经调查，购买一台功率为500w的冷热饮水机约为150元，纯净水每桶6元，每班春、秋两季，平均每1.5天购买4桶，夏季平均每天购买5桶，冬季平均每天购买1桶，饮水机每天开10小时，当地民用电价为0.50元/度．

问题：

（1）在未购买饮水机之前，全年平均每个学生要花费　　　　元钱来购买纯净水饮用；

（2）请计算：

在购买饮水机解决学生饮水问题后，每班当年共要花费多少元？

（3）这项便利学生的措施实施后，东坡中学一年要为全体学生共节约　　　　　　元．

22．商场为了促销，推出两种促销方式：

方式①：

所有商品打7.5折销售：

方式②：

一次购物满200元送60元现金．

（1）杨老师要购买标价为628元和788元的商品各一件，现有四种购买方案：

方案一：

628元和788元的商品均按促销方式①购买；

方案二：

628元的商品按促销方式①购买，788元的商品按促销方式②购买；

方案三：

628元的商品按促销方式②购买，788元的商品按促销方式①购买；

方案四：

628元和788元的商品均按促销方式②购买．

你给杨老师提出的最合理购买方案是　　　　　　．

（2）通过计算下表中标价在600元到800元之间商品的付款金额，你总结出商品的购买规律是　　　　　　．

商品标价（元）付款金额（元）

628

638

648

768

778

788

方式①

方式②

23．水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力．据报道，现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果、据研究表明：

适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用．若在适宜条件下，　　　　（不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）．

（1）假设江面上现有1株水葫芦，填写下表：

第几天

5

10

15

…

50

…

5n

总株数

2

4

…

…

（2）假定某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益．若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？

此后就必须开始定期打捞处理水葫芦．（要求写出必要的尝试、估算过程！

）

24．某市有一块土地共100亩，某房地产商以每亩80万元的价格购得此地，准备修建“和谐花园”住宅区．计划在该住宅区内建造八个小区（A区，B区，C区…H区），其中A区，B区各修建一栋24层的楼房；C区，D区，E区各修建一栋18层的楼房；F区，G区，H区各修建一栋16层的楼房．为了满足市民不同的购房需求，开发商准备将A区，B区两个小区都修建成高档，每层800m2，初步核算成本为800元/m2；将C区，D区，E区三个小区都修建成中档住宅，每层800m2，初步核算成本为700元/m2；将F区，G区，H区三个小区都修建成经济适用房，每层750m2，初步核算成本为600元/m2．

整个小区内其他空余部分土地用于修建小区公路通道，植树造林，建花园，运动场和居民生活商店等，这些所需费用加上物业管理费，设置安装楼层电梯等费用共计需要9900万元．

开发商打算在修建完工后，将高档，中档和经济适用房以平均价格分别为3000元/m2，2600元/m2和2100元/m2的价格销售．若房屋全部出售完，请你帮忙计算出房地产开发商的赢利预计是多少元？

25某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆．由于各种原因，实际上每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产为正，减产为负）：

星期

一

二

三

四

五

六

日

增减

+5

﹣2

﹣4

+13

﹣10

+16

﹣9

（1）根据记录可知，前三天共生产了　　　　　　辆自行车；

（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了　　　　　　辆自行车；

（3）该厂实行计件工资制，每生产一辆得60元，超额完成则每辆奖15元，少生产一辆则扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？

26．某单位需以“挂号信”或“特快专递”方式向五所学校各寄一封信．这五封信的重量分别是72g，90g，215g，340g，400g．根据这五所学校的地址及信件的重量范围，在邮局查得相关邮费标准如下：

业务种类

计费单位

资费标准（元）

挂号费（元/封）

特制信封

（元/个）

挂号信

首重100g，每重20g

0.8

3

0.5

续重101～2000g，每重100g

2.00

特快专递

首重1000g内

5.00

3

1.0

（1）重量为90g的信若以“挂号信”方式寄出，邮寄费为多少元？

若以“特快专递”方式寄出呢？

（2）这五封信分别以怎样的方式寄出最合算？

请说明理由．

（3）通过解答上述问题，你有何启示？

（请你用一、两句话说明）

27．甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时．

（1）如果甲乙丙三人同时改卷，那么需要多少时间完成？

（2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙，…的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时，那么需要多少小时完成？

（3）能否把

（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？

（答题要求：

如认为不能，需说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）

28．某学校为改善办学条件，计划购置至少40台电脑，现有甲，乙两家公司供选择：

甲公司的电脑标价为每台2000元，购买40台以上（含40台），则按标价的九折优惠；乙公司的电脑标价也是每台2000元，购买40台以上（含40台），则一次性返回10000元给学校．

（1）假如你是学校负责人，在电脑品牌，质量，售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？

请说明理由；

（2）甲公司发现乙公司与他竞争（但甲公司不知乙公司的销售方案），便主动与该校联系，提出新的销售方案；标价为每台2000元，购买40台以上（含40台），则按标价的九折优惠，在40台的基础上，每增加15台，便赠送一台．问：

该学校计划购买120台（包括赠送），至少需要多少元？

29．若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，求a+b﹣c的值．

30．已知|a|=3，|b|=5，且a＜b，求a﹣b的值．

七年级第一章《有理数》培优解析

一．选择题（共10小题）

1．（2006•哈尔滨）若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（　D　）

A．

﹣8

B．

2

C．

8或﹣2

D．

﹣8或2

2．（2013秋•曲阜市期中）下列各组数中，数值相等的是（　C　）

A．

34和43

B．

﹣42和（﹣4）2

C．

﹣23和（﹣2）3

D．

（﹣2×3）2和﹣22×32

解：

A、34=81，43=64，81≠64，故本选项错误，

B、﹣42=﹣16，（﹣4）2=16，﹣16≠16，故本选项错误，

C、﹣23=﹣8，（﹣2）3=﹣8，﹣8=﹣8，故本选项正确，

D、（﹣2×3）2=36，﹣22×32=﹣36，36≠﹣36，故本选项错误，故选C．

3．（2012秋•安徽期中）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（C　）

A．

2002或2003

B．

2003或2004

C．

2004或2005

D．

2005或2006

解：

依题意得：

①当线段AB起点在整点时覆盖2005个数；

②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2004个数．

4．（2011•青岛）某种鲸的体重约为1.36×105kg．关于这个近似数，下列说法正确的是（　D　）

A．

精确到百分位，有3个有效数字

B．

精确到个位，有6个有效数字

C．

精确到千位，有6个有效数字

D．

精确到千位，有3个有效数字

分析：

有效数字的计算方法：

从左边第一个不是0的数字起，后面所有数字都是有效数字．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

解答：

解：

1.36×105kg最后一位的6表示6千，共有1、3、6三个有效数字．

故选：

D．

点评：

此题考查了科学记数法表示的数的有效数字的确定方法，要注意10的n次方限定的乘号前面的最后一位数表示的数位．

5．（2010秋•德州校级期末）（﹣2）100比（﹣2）99大（　D　）

A．

2

B．

﹣2

C．

299

D．

3×299

解：

（﹣2）100﹣（﹣2）99=2100+299=299×（2+1）=3×299．故选D．

求（﹣2）100比（﹣2）99大多少，用减法．

6．（2008秋•鄞州区期末）下列说法正确的是（D　　）

A．

倒数等于它本身的数只有1

B．

平方等于它本身的数只有1

C．

立方等于它本身的数只有1

D．

正数的绝对值是它本身

7．（2010秋•莱州市期末）两个互为相反数的有理数相乘，积为（　D　）

A．

正数

B．

负数

C．

零

D．

负数或零

8．（2013秋•滨湖区校级期末）一个有理数与它的相反数的乘积（　C　）

A．

一定是正数

B．

一定是负数

C．

一定不大于0

D．

一定不小于0

9．（2004•南平）

的所有可能的值有（　C　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

分析：

由于a、b的符号不确定，应分a、b同号，a、b异号两种情况分类求解．

解：

①a、b同号时，

、

也同号，即同为1或﹣1；故此时原式=±2；

②a、b异号时，

、

也异号，即一个是1，另一个是﹣1，故此时

原式=1﹣1=0；所以所给代数式的值可能有3个：

±2或0．故选C．

10．（2003•黑龙江）若|a﹣3|﹣3+a=0，则a的取值范围是（　A　）

A．

a≤3

B．

a＜3

C．

a≥3

D．

a＞3

分析：

移项，|a﹣3|﹣3+a=0可变为，|a﹣3|=3﹣a，根据负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0可知，a﹣3≤0，则a≤3．

解答：

解：

由|a﹣3|﹣3+a=0可得，|a﹣3|=3﹣a，

根据绝对值的性质可知，a﹣3≤0，a≤3．故选A．

二．填空题（共6小题）

11．（2013秋•赵县期末）如果数轴上的点A对应的数为﹣1，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为　﹣4或2　．

分析：

考虑在A点左边和右边两种情形解答问题．

12．如图，在长方形草地内修建了宽为2米的道路，则草地面积为　144　米2．

13．（2012秋•靖江市期中）平方等于

的数是　

　．

14．（2008秋•雁江区期