正弦函数和余弦函数图像与性质.docx

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正弦函数和余弦函数图像与性质

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质

一、复习引入

1、复习

（1）函数的概念

在某个变化过程中有两个变量

、

，若对于

在某个实数集合

内的每一个确定的值，按照某个对应法则

，

都有唯一确定的实数值与它对应，则

就是

的函数，记作

，

。

（2）三角函数线

设任意角

的顶点在原点

，始边与

轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点

，过

作

轴的垂线，垂足为

；过点

作单位圆的切线，设它与角

的终边（当

在

第一、四象限角时）或其反向延长线（当

为第二、三象限角时）相交于

.

规定：

当

与

轴同向时为正值，当

与

轴反向时为负值；

当

与

轴同向时为正值，当

与

轴反向时为负值；

当

与

轴同向时为正值，当

与

轴反向时为负值；

根据上面规定，则

由正弦、余弦、正切三角比的定义有：

；

；

；

这几条与单位圆有关的有向线段

叫做角

的正弦线、余弦线、正切线。

二、讲授新课

【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对于每一个给定的角和它的正弦值（或余弦值）之间是否也存在一种函数关系？

若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由．

1、正弦函数、余弦函数的定义

（1）正弦函数：

；

（2）余弦函数：

【问题驱动2】——如何作出正弦函数

、余弦函数

的函数图象？

2、正弦函数

的图像

（1）

的图像

【方案1】——几何描点法

步骤1：

等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；

步骤2：

描点——平移定点，即描点

；

步骤3：

连线——用光滑的曲线顺次连结各个点

小结：

几何描点法作图精确，但过程比较繁。

【方案2】——五点法

步骤1：

列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标；

步骤2：

描点——定出五个关键点；

步骤3：

连线——用光滑的曲线顺次连结五个点

小结：

的五个关键点是

、

、

、

、

。

（2）

的图像

由

，所以函数

在区间

上的图像与在区间

上的图像形状一样,只是位置不同.

于是我们只要将函数

的图像向左、右平行移动（每次平行移动

个单位长度），就可以得到正弦函数

的图像。

3、余弦函数

的图像

（1）

的图像

（2）

的图像

图像平移法

由

，可知只须将

的图像向左平移

即可。

三、例题举隅

例、作出函数

的大致图像；

【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像

【解】

①列表

②描点

在直角坐标系中，描出五个关键点：

、

、

、

、

③连线

练习、作出函数

的大致图像

二、性质

1．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或（－∞，＋∞）］，

分别记作：

y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R

2．值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，

｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

其中正弦函数y=sinx，x∈R

①当且仅当x＝

＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝－

＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1

而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝（2k＋1）π，k∈Z时，取得最小值－1

3．周期性

由sin（x＋2kπ）＝sinx，cos（x＋2kπ）＝cosx（k∈Z）知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ（k∈Z且k≠0）都是这两个函数的周期

对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。

4．奇偶性

由sin（－x）＝－sinx，cos（－x）＝cosx

可知：

y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数

∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

5．单调性

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－

＋2kπ，

＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［

＋2kπ，

＋2kπ］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1。

余弦函数在每一个闭区间［（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1

y=sinx

y=cosx

图象

定义域

R

R

值域

[-1,1]

[-1,1]

最值

当且仅当x＝

＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1

当且仅当x＝－

＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1

当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1

当且仅当x＝（2k＋1）π，k∈Z时，取得最小值－1

周期性

2π

2π

奇偶性

奇函数

偶函数

单调性

在闭区间［－

＋2kπ，

＋2kπ］（k∈Z）上单调递增，；在闭区间［

＋2kπ，

＋2kπ］（k∈Z）上单调递减

在闭区间［（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）上单调递增；在每一个闭区间［2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）上单调递减

典型例题（3个，基础的或中等难度）

例1：

求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。

（1）y＝cosx＋1，x∈R；

（2）y＝sin2x，x∈R

解：

（1）使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝。

∴函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2。

（2）令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝

＋2kπ，k∈Z｝

由2x＝Z＝

＋2kπ，得x＝

＋kπ

即使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝

＋kπ，k∈Z｝

∴函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1。

例2：

求下列函数的单调区间

（1）y＝－cosx

（2）y=

sin（4x-

）（3）y=3sin（

-2x）

解：

（1）由y＝－cosx的图象可知：

单调增区间为［2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）

单调减区间为［（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）

（2）当2kπ-

≤4x-

≤2kπ+

，

∴函数的递增区间是[

-

，

+

]（k∈Z）

当2kπ+

≤4x-

≤2kπ+

∴函数的递减区间是[

+

+

]（k∈Z）

（3）当2kπ-

≤

-2x≤2kπ+

时，函数单调递减，

∴函数单调递减区间是[kπ-

，kπ+

]（k∈Z）

当2kπ+

≤

-2x≤2kπ+

时，函数单调递增，

∴函数单调递减区间是[kπ+

，kπ+

]（k∈Z）

例3：

求下列三角函数的周期：

（1）y=sin（x+

）

（2）y=cos2x（3）y=3sin（

+

）

解：

（1）令z=x+

而sin（2π+z）=sinz即：

f（2π+z）=f（z）

f[（x+2π）+

]=f（x+

）∴周期T=2π.

（2）令z=2x∴f（x）=cos2x=cosz=cos（z+2π）=cos（2x+2π）=cos[2（x+π）]

即：

f（x+π）=f（x）∴周期T=π。

（3）令z=

+

则

f（x）=3sinz=3sin（z+2π）=3sin（

+

+2π）=3sin（

）=f（x+4π）

∴周期T=4π。

注：

y＝Asin（ωx＋φ）的周期T=

。

（四）课堂练习（2个，基础的或中等难度）

1、求使下列函数y=3-cos

取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。

解：

当cos

=-1，即

=2kπ+π，k∈Z，∴{x|x=4kπ+2π，k∈Z}，

y=3-cos

取得最大值。

2、求y=

的周期。

解：

∵y=

=

（1-cos2x）=

-

cos2x，∴T=π。

3、求函数y=3cos（2x+

）的单调区间。

解：

当2kπ≤2x+

≤2kπ+π时，函数单调递减，

∴函数的单调递减区间是[kπ-

，kπ+

]（k∈Z）

当2kπ-π≤2x+

≤2kπ时，函数单调递增，

∴函数的单调递增区间是[kπ-

，kπ-

]（k∈Z）

（五）拓展探究（2个）

1、求下列函数的周期：

（1）y=sin（2x+

）+2cos（3x-

）

（2）y=|sinx|（3）y=2

sinxcosx+2cos2x-1

解：

（1）y1=sin（2x+

）最小正周期T1=π

y2=2cos（3x-

）最小正周期T2=

∴T为T1,T2的最小公倍数2π∴T=2π

（2）T=π

（3）y=

sin2x+cos2x=2sin（2x+

）∴T=π

2、求下列函数的最值：

（1）y=sin（3x+

）-1

（2）y=sin2x-4sinx+5（3）y=

解：

（1）当3x+

=2kπ+

即x=

（k∈Z）时，ymax=0

当3x+

=2kπ-

即x=

（k∈Z）时，ymin=-2

（2）y=（sinx-2）2+1∴当x=2kπ-

k∈Z时，ymax=10

当x=2kπ-

k∈Z时，ymin=2

（3）y=-1+

当x=2kπ+πk∈Z时，ymax=2

当x=2kπk∈Z时，ymin=

作业

一、填空题

1、函数y=cos（x-

）的奇偶性是_________________。

2、函数y=-5sinx+1的最大值是__________，此时相应的x的值是________________。

3、函数y=sinxcosx的最小正周期是_________。

4、函数y=sinxcos（x+

）+cosxsin（x+

）的最小正周期是________。

5、函数y=3cos（2x+

）的单调递减区间是___________________。

6、函数y=sinx和y=cosx都为减函数的区间是___________________。

7、函数y=sin（

-2x）的单调递增区间是________________________。

8、已知函数y=f（x）是以

为周期，且最大值为3，最小值为-1，则这个函数的解读式可以是________________。

二、选择题

1、函数y=sinx，x∈[

，

]的值域是（）

（A）[-1，1]（B）[

，1]（C）[

，

]（D）[

，1]

2、下列函数中，周期是

的函数是（）

（A）y=sinπx（B）y=cos2x（C）y=sin

（D）y=sin4kπ

3、下列函数是奇函数的是（）

（A）y=sin|x|（B）y=xsin|x|（C）y=-|sinx|（D）y=sin（-|x|）

4*、函数y=sin（2x+

）+cos（2