浙教版八年级上册 全等三角形中几种模型.docx
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浙教版八年级上册全等三角形中几种模型
一、手拉手模型:
1手的判别:
判断左右,将等腰三角形顶角顶点朝上,左边为左手顶点,右边为右手顶点。
2手拉手的定义
两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。
(左手拉左手,右手拉右手)
3手拉手基本结论
①△ABC≌△AB'C'(SAS)
②∠BAB'=∠BOB'
③AO平分∠BOC'
二、例题
例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:
(1)△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60。
(4)△AGB≌△DFB
(5)△EGB≌△CFB
(6)BH平分∠AHC
(7)GF∥AC
1、△ABE和△ACF均为等边三角形
结论:
(1)△ABF≌△AEC.
(2)∠BOE=∠BAE=60°.
(3)OA平分∠EOF.(四点共圆证)
拓展:
△ABC和△CDE均为等边三角形
结论:
(1)AD=BE;
(2)∠ACB=∠AOB;
(3)△PCQ为等边三角形;
(4)PQ∥AE;
(5)AP=BQ;
(6)CO平分∠AOE;(四点共圆证)
(7)OA=OB+OC;
(8)OE=OC+OD.
((7),(8)需构造等边三角形证明)
变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:
(1)△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
变式练习2:
如果两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:
(1)△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
变式训练3:
两个等腰三角形ABD与BCE,其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a
连接AE与CD.
问
(1)△ABE≌△DBC是否成立?
(2)AE是否与CD相等?
(3)AE与CD之间的夹角为多少度?
(4)HB是否平分∠AHC?
例2:
如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H
问:
(1)△ADG≌△CDE是否成立?
(2)AG是否与CE相等?
(3)AG与CE之间的夹角为多少度?
(4)HD是否平分∠AHE?
例3:
如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连接AG,CE,二者相交于H.
问
(1)△ADG≌△CDE是否成立?
(2)AG是否与CE相等?
(3)AG与CE之间的夹角为多少度?
(4)HD是否平分∠AHE?
二、半角模型
条件:
两边相等.
思路:
1、旋转
辅助线:
①延长CD到E,使ED=BM,连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF
②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF,
注意:
旋转需证F、B、M三点共线
结论:
(1)MN=BM+DN;
(2);
(3)AM、AN分别平分∠BMN、∠MND.
2、翻折(对称)
辅助线:
①作AP⊥MN交MN于点P
②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折,但一定要证明M、P、N三点共线.
例1、在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM+DN,
求证:
①.∠MAN=
②.
③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.
例2拓展:
在正方形ABCD中,已知∠MAN=,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动,
①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.
②.求证:
AB=AH.
例3.在四边形ABCD中,∠B+∠D=,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD上,且满足EF=BE+DF.
求证:
变式:
在四边形ABCD中,∠B=90°,∠D=90°,AB=AD,若E、F分别为边BC、CD上的点,且,求证:
EF=BE+DF.
练习巩固1:
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:
;
(2)如图2,若把
(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD”,则
(1)问中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)在
(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,
如图3所示,其它条件不变,则
(1)问中的结论是否发生变化?
若变化,请给出结论并予以证明..
练习巩固2:
已知:
正方形中,,绕点顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.
(1)如图1,当绕点旋转到时,有.当绕点旋转到时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?
如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;
(2)当绕点旋转到如图3的位置时,线段和之间有怎样的等量关系?
请写出你的猜想,并证明.
练习巩固3:
如图,已知在正方形ABCD中,=45°,连接BD与AM,AN分别交于E、F两点。
求证:
(1)MN=MB+DN;
(2)点A到MN的距离等于正方形的边长;
(3)的周长等于正方形ABCD边长的2倍;
(4);
(5)若=20°,求;
(6)若,求;
(7);
(8)与是等腰三角形;
(9)。
三、三垂直模型(一线三等角)(K型)
1、常见的一线三垂直的模型。
例1:
如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AE⊥BF,垂足为点G.
求证:
AE=BF.
变式训练:
等腰Rt△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,点D是AC的中点,AF⊥BD于点E,交BC于点F,连接DF,求证:
∠1=∠2。
例2:
.如图,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A.B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE, PE交边BC于点F.连接BE、DF。
求证:
∠ADP=∠EPB;
求∠CBE的度数;
例3:
等腰直角△ABC,其中AB=AC,∠BAC=90°,过B、C作经过A点直线L的垂线,垂足分别为M、N.
(1)你能找到一对三角形的全等吗?
并说明.
(2)BM,CN,MN之间有何关系?
若将直线l旋转到如图2的位置,其他条件不变,那么上题的结论是否依旧成立?
A、例题
已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC中点,AF⊥BD于点E,交BC于F,连接DF.
求证:
∠ADB=∠CDF.
变式1、已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,AM=CN,AF⊥BM于E,交BC于F,连接NF.
求证:
(1)∠AMB=∠CNF;
(2)BM=AF+FN.
变式2、在变式1的基础上,其他条件不变,只是将BM和FN分别延长交于点P,
求证:
(1)PM=PN;
(2)PB=PF+AF.
四、角平分线模型
1、角平分线的性质模型
如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作
PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B。
结论:
PB=PA
例1:
(1)如图①,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6,BD=4,那么点D到直线AB的距离是;
(2)如图②,∠1=∠2,∠3=∠4。
求证:
AP平分∠BAC。
例2:
如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点
P,若∠BPC=40°,则∠CAP=。
例3:
.如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC。
求证:
∠BAD+∠BCD=180°。
2、翻折全等(对称)
如图,P是∠MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON
上截取OB=OA,连接PB。
结论:
△OPB≌△OPA。
两个图形辅助线都是在射线ON上取点B,使OB=OA,从而使△OAC≌△OBC.
A、例题
1、如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:
AB+BP=BQ+AQ.
2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.
B、模型巩固
1、在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,P是线段AD上任意一点(不与A重合).
求证:
AB-AC>PB-PC.
2、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=100°,∠B的平分线交AC于D,
求证:
AD+BD=BC.
3、如图,△ABC中,BC=AC,∠C=90°,∠A的平分线交BC于D,
求证:
AC+CD=AB.
3、角平分线+垂线→等腰(三线合一)
如图,P是∠MO的平分线上一点,AP⊥OP于P点,延长AP于点B。
结论:
△AOB是等腰三角形。
例1:
如图,已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,
CE⊥BD,垂足为E。
求证:
BD=2CE。
例2:
如图,在△ABC中,BE是角平分线,AD⊥BE,垂足为D。
求证:
∠2=∠1+∠C。
例3:
(1)如图①,BD、CE分别是△ABC的外角平分,过点A作AD⊥BD、
AE⊥CE,垂足分别为D、E,连接DE。
求证:
(1)AB+AC+BC=MN
(2)如图②,BD、CE分别是△ABC的内角平分,其它条件不变。
上述结论是否成立?
成立请说明理由,若不成立,那MN与△ABC三边又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并进行证明。
(3)如图③,BD是△ABC的内角平分,CE是△ABC的外角平分,其它条件不变。
MN与△ABC三边又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并进行证明。
4、角平分线+平行线→等腰(底角相等)
如图,P是∠MO的平分线上一点,过点
P作PQ∥ON,交OM于点Q。
结论:
△POQ是等腰三角形。
例1:
如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交
于点E,过点E作EF∥BC,交AB于点M,交AC
于点N。
若BM+CN=9,则线段MN的长为。
例2:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD,BE平分∠ABC。
求证:
AD=AB-BC。
二、等腰直角三角形模型
(一)旋转中心为直角顶点,在斜边上任取一点的旋转全等:
操作过程:
(1)将△ABD逆时针旋转90°,得△ACM≌△ABD,从而推出△ADM为等腰直角三角形.
(2)辅助线作法:
过点C作MC⊥BC,使CM=BD,连结AM.
(二)旋转中心为斜边中点,动点在两直角边上滚动的旋转全等:
操作过程:
连结AD.
(1)使BF=AE(或AF=CE),导出△BDF≌△ADE.
(2)使∠EDF+∠BAC=180°,导出△BDF≌△ADE.
A、例题
1、如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,点M、N在斜边BC上滑动,且∠MAN=45°,试探究BM、MN、CN之间的数量关系.
2、两个全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC,按如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC.
试判断△EMC的形状,并证明你的结论.
B、模型巩固
1、已知,如图所示,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点,若M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持AN=CM.
(1)试判