最新中考数学专题复习第12讲 一次函数.docx

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最新中考数学专题复习第12讲一次函数

第12讲　一次函数

目录：

考点知识梳理

中考典例精析

基础巩固训练

考点训练

考点知识梳理

考点一一次函数的定义

一般地，如果y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．

特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx（k是常数，k≠0），这时，y叫做x的正比例函数.

温馨提示

正比例函数是一次函数，但一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）不一定是正比例函数，只有当b＝0时，它才是正比例函数.

考点二一次函数的图象

1．一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条过（0，b），（－

，0）的直线．

2．正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条过（0,0）的直线．

3．一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的图象与k，b符号的关系

温馨提示

直线y＝kx＋b的位置由k和b的符号决定，其中b是截距（截距不是距离，是直线与y轴交点的纵坐标）.

（1）k决定直线从左至右呈上升趋势还是呈下降趋势：

当k＞0时，直线呈上升趋势；当k＜0时，直线呈下降趋势.

（2）b决定直线与y轴的交点的位置：

当b＞0时，交点在y轴的正半轴上；当b＝0时，交点是原点；当b＜0时，交点在y轴的负半轴上.

4．两条直线的位置与系数的关系

设直线l1与l2的解析式分别为l1：

y1＝k1x＋b1，l2：

y2＝k2x＋b2，则它们的位置关系可由系数决定：

（1）k1＝k2，b1≠b2⇔l1与l2平行；

（2）k1＝k2，b1＝b2⇔l1与l2重合；

（3）k1·k2＝－1⇔l1与l2垂直.

温馨提示

当直线y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2，当k1＝k2，b1≠b2时，两条直线平行，这样的两条直线可通过平移得到.

考点三一次函数的性质

一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而增大，图象一定经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象一定经过第二、四象限．

考点四待定系数法求一次函数解析式

用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤

（1）设出含有待定系数的函数解析式y＝kx＋b；

（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组；

（3）解二元一次方程组，求出待定系数k，b；

（4）将求得的待定系数的值代入y＝kx＋b.

考点五用函数观点看方程（组）与不等式

1．一次函数与一元一次方程：

求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0⇔解方程ax＋b＝0.

2．一次函数与一元一次不等式：

（1）解不等式ax＋b＞0⇔求自变量x在什么范围内，一次函数y＝ax＋b的值大于0；

（2）解不等式ax＋b＜0⇔求自变量x在什么范围内，一次函数y＝ax＋b的值小于0.

3．一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.

温馨提示

函数值y＞0时对应函数的图象在x轴上方；y＜0时对应函数的图象在x轴下方.

考点六一次函数的应用

1．用一次函数解决实际问题的一般步骤：

（1）设定实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）答．

2．一次函数的应用有如下常用题型

（1）根据实际问题中给出的数据列相应的函数解析式，解决实际问题；

（2）利用一次函数对实际问题中的方案进行比较；

（3）结合实际问题的函数图象解决实际问题．

温馨提示

运用一次函数的有关知识解决实际问题的关键是结合方程、不等式的有关知识求解，在确定一次函数的解析式时，要注意自变量的取值范围应受实际条件的限制.

中考典例精析

考点一　一次函数的图象和性质

例1已知函数y＝3x的图象经过点A（－1，y1）、点B（－2，y2），则y1_____y2（填“＞”“＜”或“＝”）．

【点拨】∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大．又∵－1＞－2，∴y1＞y2.

【答案】＞

方法总结

比较函数值的大小常用的方法有三种：

性质法、求值法和图象法，其中性质法简单实用.

考点二　待定系数法求一次函数解析式

例2李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是_______升．

【点拨】设一次函数的解析式为y＝kx＋35，将（160,25）代入，得160k＋35＝25，解得k＝－

，所以一次函数的解析式为y＝－

x＋35.再将x＝240代入y＝－

x＋35，得y＝－

×240＋35＝20，即到达乙地时油箱剩余油量是20升．

【答案】20

方法总结

确定一次函数解析式常用的方法是待定系数法，具体步骤是：

首先设出一次函数的一般形式，然后把已知条件代入所设解析式，得到关于待定系数的方程或方程组，解方程或方程组求出待定系数的值，从而写出一次函数的解析式.

考点三　一次函数图象的平移

例3把直线y＝－x－3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　）

A．1

C．m>1D．m<4

【点拨】解法一：

把直线y＝－x－3向上平移m个单位后，所得直线的解析式为y＝－x－3＋m.当x＝0时，y＝2x＋4＝4，即直线y＝2x＋4与y轴的交点为（0,4）；当y＝0时，0＝2x＋4，x＝－2，即直线y＝2x＋4与x轴的交点为（－2,0）．将点（0,4），（－2,0）分别代入y＝－x－3＋m中，解得m＝7，m＝1，所以1

解法二：

把直线y＝－x－3向上平移m个单位后，所得直线解析式为y＝－x－3＋m,解方程组

得

∵交点在第二象限，

∴

解得

∴1＜m＜7.故选A.

【答案】A

方法总结

一次函数y＝kx＋b向上、向下平移m（m＞0）个单位得到y＝kx＋b±m；一次函数y＝kx＋b向左、向右平移n（n＞0）个单位得到y＝k（x±n）＋b.

考点四　一次函数的应用

例4（2013·黔东南）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．

当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．

（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；

（2）求甲、乙两种品牌文具盒的进货单价；

（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元．问该超市有几种进货方案？

哪种方案能使获利最大？

最大获利为多少元？

【点拨】本题考查建立一次函数模型解决方案设计问题．

解：

（1）由图象可设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，因为点（50,250），（200,100）在函数图象上，∴

解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋300.

（2）设甲品牌文具盒的进货单价为m元，则乙品牌文具盒的进货单价为2m元，∵当x＝120时，y＝180，

∴120m＋180×2m＝7200，解得m＝15,2m＝30.

答：

甲品牌文具盒的进货单价为15元，乙品牌文具盒的进货单价为30元．

（3）设进甲品牌的文具盒a个，则进乙品牌的文具盒（－a＋300）个，

根据题意，得

解得180≤a≤181.∴整数a＝180或181.∴该超市有两种进货方案：

方案①：

进甲品牌文具盒180个，乙品牌文具盒120个；

方案②：

进甲品牌文具盒181个，乙品牌文具盒119个．∵总获利w＝4a＋9（－a＋300）＝2700－5a，∵－5＜0，∴w随着a的增大而减小．故当a＝180时，w最大，w最大＝2700－5×180＝1800（元）．

答：

方案①获利最大，最大获利为1800元．

方法总结

确定最值，一般是分析数量关系，列出一次函数，然后通过一次函数的性质和实际问题中的自变量的取值确定最值；确定不同方案，一般需要分析数量关系，列出不等式组，通过不等式组求出自变量的取值范围，从而确定方案.

基础巩固训练

1．一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴的交点坐标是（　A　）

A．（0,4）　　　B．（4,0）　　　

C．（2,0）　　　D．（0,2）

2．一次函数y＝－x＋2的图象经过（　B　）

A．第一、二、三象限

B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限

D．第二、三、四象限

3．已知直线y＝kx＋b经过点（k,3）和（1，k），则k的值为（　B　）

A.

　　　B．±

C.

　　　D．±

解析：

∵直线y＝kx＋b经过点（k,3）和（1，k），

∴将这两点代入y＝kx＋b中，得

解得

故选B.

4．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（　C　）

A．x＞0　　　　　　

B．x＜0

C．x＞2　　　　　　

D．x＜2

5．若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是（　A　）

解析：

因为a＋b＋c＝0，所以a，b，c中有正数有负数．又因为a＜b＜c，所以a是负数，c是正数．所以y＝ax＋c的图象经过第一、二、四象限．故选A.

6．将直线y＝2x向上平移1个单位长度后得到的直线是y＝2x＋1.

解析：

根据平移的规律：

左加右减自变量，上加下减常数项．故可得平移后的直线为y＝2x＋1.

7．如果点P1（3，y1），P2（2，y2）在一次函数y＝2x－1的图象上，则y1＞y2（填“＞”“＜”或“＝”）．

解析：

∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大.又∵3>2，∴y1>y2.

8．黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富，一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼，捕捞一段时间后，发现一艘外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航．渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛，下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔政船及渔船沿同一航线航行）

（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式；

（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离；

（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？

解：

（1）当0≤t≤5时，s＝30t；　　

当5＜t≤8时，s＝150；　　　　　　　

当8＜t≤13时，s＝－30t＋390.　　

（2）设渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式为s＝kt＋b，则

解得k＝45，b＝－360.

∴s＝45t－360.

∵两船相遇，

∴

解得t＝10，s＝90.

∴两船与黄岩岛的距离为150－90＝60（海里）.

答：

渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离为60海里．

（3）s渔＝－30t＋390，s渔政＝45t－360，

分两种情况：

①s渔－s渔政＝30，

－30t＋390－（45t－360）＝30，

解得t＝

（或9.6）．

②s渔政－s渔＝30，

45t－360－（－30t＋390）＝30，

解得t＝

（或10.4）．

答：

当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里．

考点训练

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．一次函数y＝x－2的图象不经过（　B　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

2．下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（　A　）

A．（2，－3），（－4,6）

B．（－2,3），（4,6）

C．（－2，－3），（4，－6）

D．（2,3），（－4,6）

3．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（　B　）

A．y＝2xB．y＝－2x

C．y＝

D．y＝－

x

4．在同一平面直角坐标系中，若一次函数y＝－x＋3与y＝3x－5的图象交于点M，则点M的坐标为（　D　）

A．（－1,4）B．（－1,2）

C．（2，－1）D．（2,1）

5．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n,3），那么一定有（　D　）

A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0

C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0

解析：

因为A，B是不同象限的点，而正比例函数的图象在第一、三象限或在第二、四象限，由点A与点B的横、纵坐标可知：

当点A与点B在第一、三象限时，横、纵坐标的符号应一致，显然此题不可能；当点A与点B在第二、四象限时，由点A在第四象限，得m<0，由点B在第二象限，得n<0.故选D.

6．（2013·菏泽）一条直线y＝kx＋b，其中k＋b＝－5，kb＝6，那么该直线经过（　D　）

A．第二、四象限B．第一、二、三象限

C．第一、三象限D．第二、三、四象限

解析：

∵k＋b＝－5，kb＝6，∴k＜0，b＜0，∴直线y＝kx＋b经过第二、三、四象限．故选D.

7．A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x＋a，y＋b），B（x，y），下列结论正确的是（　B　）

A.a＞0

B．a＜0

C．b＝0

D．ab＜0

8．如图，直线y＝kx＋b经过点A（－1，－2）和点B（－2,0），直线y＝2x过点A，则不等式2x

A．x<－2　　　　

B．－2

C．－2

D．－1

9．如图，一次函数y＝（m－2）x－1的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（　D　）

A．m＞0B．m＜0

C．m＞2D．m＜2

10．若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝cx＋a的图象可能是（　C　）

　A　　　　　B　　　　　C　　　　D

解析：

∵a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，∴c＞0，a＜0，∴函数y＝cx＋a的图象经过第一、三、四象限．

故选C.

11．如图，点A的坐标为（－

，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时点B的坐标为（　A　）

A．（－

，－

）　　　B．（－

，－

）

C．（

，－

）　　　D．（0,0）

解析：

当AB⊥OB时，线段AB最短．∵直线y＝x是第一、三象限的角平分线，故△ABO是等腰直角三角形，∵OA＝

，∴点B的坐标为（－

，－

）．故选A.

12．一个矩形被直线分成面积为x和y的两部分，则y与x之间的函数关系图象只可能是（　A　）

解析：

设矩形的面积为k（k＞0），则由x＋y＝k，得y＝－x＋k，因为0＜x＜k,0＜y＜k.故选A.

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．一次函数y＝（m＋2）x＋1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是m＞－2　.

14．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（1，－1），B（－1,3）两点，则k<0（填“>”或“<”）．

15．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：

①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为a＜c＜b　.

解析：

∵y＝ax经过第二、四象限，∴a＜0；∵y＝bx和y＝cx经过第一、三象限，∴b＞0，c＞0，又∵取同一个x的任意值代入②、③可得b＞c，∴a＜c＜b.

16．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程数x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是20升．

解析：

由题意，得y＝－

x＋35.当x＝240时，y＝－

×240＋35＝20.所以到达乙地时油箱剩余油量是20升．

17．已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，－2）和点B（1,0），则

k＝2，b＝－2.

解析：

把（0，－2），（1,0）分别代入y＝kx＋B，得

解得

18．无论a取什么实数，点P（a－1,2a－3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的点，则（2m－n＋3）2的值等于16.

解析：

令a＝0，则P（－1，－3）；再令a＝1，则P（0，－1）．由于不论a为何值，点P都在直线l上，设直线l的解析式为y＝kx＋b（k≠0），∴

解得

∴直线l的解析式为y＝2x－1.∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1＝n，即2m－n＝1，∴（2m－n＋3）2＝（1＋3）2＝16.

三、解答题（共40分）

19．（6分）如图，直线AB与x轴交于点A（1,0），与y轴交于点B（0，－2）．若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．

解：

设直线AB的解析式为y＝kx＋b，

∵直线AB过点A（1,0）、点B（0，－2），

∴

解得

∴直线AB的解析式为y＝2x－2.设点C的坐标为（x，y），∵S△BOC＝2，∴

×2×x＝2，解得x＝2，∴y＝2×2－2＝2，∴点C的坐标是（2,2）．

20．（10分）已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过点（0,2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式．

解：

∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过点（0,2），∴B＝2.令y＝0，则x＝－

.∵函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为2，∴

×2×|－

|＝2，即|－

|＝2，当k>0时，

＝2，解得k＝1；当k<0时，－

＝2，解得k＝－1.故此函数的解析式为y＝x＋2或y＝－x＋2.

21．（12分）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120时，具有一次函数的关系，如下表所示.

x

50

60

90

120

y

40

38

32

26

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米．因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划平均每天的修建费．

解：

（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋B，

∵点（50,40），（60,38）满足函数解析式，

∴

解得

∴y关于x的函数解析式为y＝－

x＋50.

（2）设原计划x天修完这条路，根据题意，得

＝

，解得x＝45.当x＝45时，y＝－

x＋50＝－

×45＋50＝41（万元）．

答：

原计划平均每天的修建费为41万元．

22．（12分）运动会将于我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A，B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：

两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：

A公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．

（1）分别写出学校购买A，B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；

（2）问：

该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？

请说明理由．

解：

（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：

y1＝0.7[120x＋100（2x－100）]＋2200＝224x－4800，

y2＝0.8[100（x＋2x－100）]＝240x－8000.

（2）令y1＞y2，即224x－4800＞240x－8000，解得x＜200；

令y1＝y2，即224x－4800＝240x－8000，解得x＝200；

令y1＜y2，即224x－4800＜240x－8000，解得x＞200.

即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任选一家公司购买；当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．