面角的平面角的种求解策略.docx
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面角的平面角的种求解策略
大小。
注：
o点在一个半平面上，用三垂线定理法。
面角的平面角的四种基本求法及训练
（1）定义法一一在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角
的大小就是二面角的平面角
注：
0点在棱上，用定义法。
（2）垂线法（三垂线定理法）一一利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的
（3）
垂面法一一通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角
注：
点0在二面角内，用垂面法。
S'，则二面
（4）射影面积法一一若多边形的面积是S,它在一个平面上的射影图形面积是角曲勺大小为COS千S'-S
例1如图，四面体ABCD中，0是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC<6
求二面角A-BC-D的余弦值.（三垂线定理法）
=ABBS=BC,求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。
（定义法）
例4如图△ABWABCD所在平面垂直，且AB=BC=BD,ZABC=ZDBC=120°，求二面角A-BD-C的余弦
值。
（补棱法和射影面积法）
例5.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，P从平面ABCDPA=AB=a，求平面PBA与平面PDC所成二面
角的大小。
（补棱法和射影面积法）
练习题
1如图，二面角a-l-B的大小是60°,线段AB?
a.B€l,AB与I所成的角为30°.则AB与平面B所成的角的正弦值是
B
2.山坡与水平面成30角，坡面上有一条与坡角水平线成30角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程
后升高了100米，则此人行走的路程为
3•在一个二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为_
4.在600的二面角的棱上有两点AB,ACBD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知:
AB=6,AC=3BD=4,贝UCD=。
5•若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和2a，到棱的距离为2a,则此二面角的度数
6.60的二面角：
•-I-：
内有一点P，点P到面〉的距离为2,点P到面1的距离为11,则点P到棱I
的距离为—
7.二面角〉1的面〉内有一条直线AB,它与丨的夹角为一，与平面一：
的夹角为一，则二面角
46
：
■的大小
8.在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10,则它到棱的距离是（）
A5B20C
102D
5、、2
2
9.在直—面角a-l-B中，
Rt△ABC在平面
a内，斜边
BC在棱1上，
若AB与面3所成的角为600,则
AC与平面3所成的角为（
）A30
0B45
0C60
0D1200
10.如图，三棱锥P-ABC中，已知PA丄平面ABC,PA=3,PB=PC=BC=6，求二面角P-BC-A的正
弦值•
1
11.如图，平面ABCD丄平面ABEF,ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=_AD=a,G是EF的中
2
点，
（1）求证：
AG丄平面BGC;
（2）求二面角B-AC-G的正弦值.
12.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄底面ABCD,M为PD的中点，PA=AB.
（I）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值；
（II）求平面PAB与平面ACM所成锐二面角的余弦值.
（3）
垂面法一一通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。
注：
点0在二面角内，用垂面法。
（4）射影面积法——若多边形的面积是S,它在一个平面上的射影图形面积是
（5）
S'，则二面角朋勺大小为
COS于S'十S
例1如图PCL平面ABCAB=BC=CA=PC,求二面角B—PA—C的平面角的正切值。
（三垂线定理法）
解•/PC丄平面ABC•平面PAC丄平面ABC交线为AC作BD丄AC于D点，据面面垂直性质定理，BD
丄平面PAC作DEIPA于E,连BE,据三垂线定理，则BE!
PA从而/BED是二面角
中.ED=AD•sin450=-•—=—a,
•在Rt△DEA---
BD2^3—
则在RtABED中.tgZBED二石一卡二〃
ED农
分析设PAPB分别为点P到平面MN的距离，过PAPB作平面a,分别交MN于AQ
又AQ、BQ二平面PAQB：
AQ丄a,BQLa.•/AQB是二面角M—a—N的平面角。
•/AQB=
60°连PQ贝UPQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有/PAQ=ZPBQ=90
•••P、A、QB四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2尺在厶PAB中，tPA=1,PB=2/
AB3fiZBPA=2R=PQ
BPA=180°-60°=120°,由余弦定理得aB"=1+4-2X1X2cos120°=7由正弦定理：
一
例3如图在三棱锥S-ABC中，SA丄底面ABCAB丄BC,DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E,
又SA=AB,BS=BC,求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。
（定义法）解：
•••BS=BC，又DE垂直平分SC•BE丄SC,SC丄面BDE
BD丄SC,又SU面ABC•••SA丄BD,BD丄面SAC
BD丄DE且BD丄DC（定义法）则/EDC就是所要求的平面角
设SA=AB=a,贝UBC=SB=2a且AC=,3
易证△SA3ADEC•/CDE=ZSAC=60°
求二面角A-BD-C的余弦
例4如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD,/ABC=ZDBC=120°,
值。
（补棱法和射影面积法）
同时，BC丄平面BPA于B,故厶PBA>^PCD在平面PBA上的射影，设平面PBA与平面PDC所成二面角大
练习题
1如图，二面角a-l-B的大小是60°,线段AB?
a.B€l,AB与I所成的角为30°.则
AB与平面B所成的角的正弦值是
2.山坡与水平面成30角，坡面上有一条与坡角水平线成30角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程
后升高了100米，则此人行走的路程为400米
3.在一个二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为_
4.在600的二面角的棱上有两点AB,ACBD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知:
AB=6,AC=3BD=4,贝UCD。
7cm
的距离为
10.如图，三棱锥P-ABC中，已知PA丄平面ABC,PA=3，PB=PC=BC=6，
3
3
1
11.如图，平面ABCD丄平面ABEF,ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=-AD=a,G是EF的中
2
点，
（1）求证：
AG丄平面BGC;
（2）求二面角B-AC-G的正弦值.
（1）证明：
•/G是矩形ABEF的边EF的中点/•AG=BG=2、,2/•AG^+BG^AB2/•AG丄BG
又•••平面ABCD丄平面ABEF,平面ABCDQ平面ABEF=AB,且BC丄AB
•••BC丄平面ABEF,又•/AG?
平面ABEF,/•BC丄AG：
BCABG=B「.AG丄平面BGC;
（2）解：
作GM丄AB于M,贝UM为AB中点，M为G的射影，作GH丄AC于H,连接MH，则所求角/GHM•/GM=a,MH=-BD=
2
12.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄底面ABCD,M为PD的中点，PA=AB.
（I）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值；
（II）求平面PAB与平面ACM所成锐二面角的余弦值.
13.女口图，在四面体ABCD中，AB丄平面ACD,BC=BD=5,AC=4,CD=4.2.
（I）求该四面体的体积；8
5^/34
（n）求二面角A-BC-D大小的正弦值.“——
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14.在四面体ABCD中，平面ABC丄平面ADC,AB丄BC,AD=CD,/CAD=30°.若二面角C-AB-D为
60°,求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值.
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