函数的图象与性质一解读.docx
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函数的图象与性质一解读
函数的图象与性质
（一）
[重温旧识感悟深]
函数性质是函数特征的基本反应，也是高考函数考查的知识要点；理解和掌握这一部分的知识，要从函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等多角度、多方面地对函数有系统地理解。
[查漏补缺达圆满]
1．函数在[0，1]上的最大值与最小值之和为，则的值为（）
A.B.C.2D.4
答案：
B
解析：
由.
2．定义在R上的函数满足=，当x∈[3,5]时，=2-,则（）
A.B.
C.D.
答案：
D
解析：
不成立。
排除（A），同理排除（B）（C）.
3．令是[-1，1]上的增函数，且则方程在[-1，1]内（）
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根 D．没有实数根
答案：
C
解析：
在[-1，1]上是增函数，又·，故函数的图象在[-1，1]内必有一交点且只有一个交点。
4．已知函数的定义域为R，且满足，当时，单调递减，已知,且则的值（）
A.可能为0 B.恒大于0 C.恒小于0 D.可正可负
答案：
C
解析：
由
，不妨令
且在上单调递减。
。
5．函数，已知，则。
答案：
解析：
令，显然为奇函数。
6．已知为偶函数，且在上为减函数，则的单调递增区间为.
答案：
解析：
可用特殊函数法：
令则
也可利用复合函数的单调性求解。
[交流探讨快乐学]
1．函数对于任意实数满足条件:
=,若,则.
答案：
解析：
2．对,记,函数=max，则的最小值为.
答案：
解析：
由图象
可得
3．令函数是定义在R上的以3为周期的奇函数，且满足则a的范围为.
答案：
解析：
4．令函数y=的最大值为M，最小值为m，则M+m=.
答案：
2
解析：
=
5．已知=是上的减函数,那么a的取值范围是（）
A.（0,1）B.（0,）C.[）D.[）
答案：
Ｃ
解析：
6．已知函数若,则（）
A.B.
C.D.
答案：
Ａ
解析：
由已知的图象开口向上，且对称轴
又
①若
②
即
7．设函数是定义在的奇函数，当时，
<1>当x∈（0,1]时，求的解析式。
<2>若a﹥-1，试判断在上的单调性，并证明．
<3>是否存在a，使时有最大值-6．
解析：
<1>令
又
<2>
从而在上单调递增.
<3>①若，由<2>可知，在上单调递增矛盾
（矛盾）
②若,
且当时有 当时有 ,
在时取极大值，又由极值的唯一性可知：
综合①②可知：
存在满足条件
[反思总结新发现]
函数的单调性既可以采用定义法进行判断和证明，同时对于具体函数，导数法的应用将可使问题更为简化，你能很快地独立解决好下面问题吗？
例：
（2006,天津）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，记.若在区间[,2]上为增函数，则实数的范围为（）
A.[2,+∞）B.（0,1）∪（1,2）C.[,1）D.（0,]
答案:
D
解析:
易知
①若在上恒成立
②若，则在上恒成立在上恒成立（舍去）
[下水冲浪成骄子]
1．函数的定义域为，则的定义域为（）
A.[0,]B.[-1,4]C.[-5,5]D.[-3,7]
答案：
A
解析：
2．已知是定义在R上的函数,满足，,则是（）
A.偶函数，周期函数 B.奇函数，周期函数
C.周期函数，无奇偶性 D.非周期函数，无奇偶性
答案：
A
解析：
又为奇函数
为周期函数。
3．设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使=.（为常数）成立，则称函数y=在上的均值为，给出下列四个函数:
①②③④
则满足在其定义域上均值为2的所有函数是（）
A.①②B.③④C.①③④D.①③
答案：
D
解析：
本题考查函数的单调性和值域，对于②：
若，显然不存在满足条件，对于④，若，显然不存在满足条件，答案选D。
4．函数与有相同的定义域，且对于定义域中的任意,有,且的解集为,则函数=是 （ ）
A．奇函数 B.偶函数
C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数
答案：
B
解析：
5．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则=,=.
答案：
。
解析：
，
。
6．函数的反函数为，又已知与互为反函数，则=.
答案：
2
解析：
与互为反函数，
又的反函数为，
令。
7．设是定义在上的以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间上，.
<1>求时，的解析式
<2>若矩形的两个顶点在轴上，在的图象上，求这个矩形面积的最大值。
解析：
<1>是以2为周期的周期函数，且为偶函数
同样以为对称轴，即:
<2>当时
当时,.
如图,矩形应关于对称
设矩形顶点,矩形面积为，则
令（舍）
当时,取到极大值,故.
8．设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且.
<1>求及
<2>证明是周期函数
<3>记,求
解析:
<1>解:
又显然
同理：
<2>证明：
是以2为周期的周期函数.
<3>解:
由可推广得:
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